1. Introduction

1. 1. Introduction

2. Introduction • Modeling Use a set of mathematical relations to represent mathematically a real life situation Compromise between a closer image of the reality and thedifficulty of solving the model

3. Mathematical model • Three items to identify • The set of actions (activities) of the decision maker (variables) • The objective of the problem specified in terms of a mathematical fonction (objective fonction) • The context of the problemspecified in terms of mathematical relations (contraint functions)

4. Three items to identify The set of actions (activities) of the decision maker (variables) The objective of the problem specified in terms of a mathematical fonction (objective fonction) The context of the problemspecified in terms of mathematical relations (contraint functions) Solvng method Use a procedure (algorithm) to determine the values of the variables indicating how the different activities are used to optimise the objective fonction (to reach the objective) and satisfyingthe contraints Solving the problem

5. Linear model Two specific properties • Additivity of the values of the variables: the total effect of any set of actions (variables) is equal to the sum of the individual effect of each action (variable) in the set. There is no cross action of the variables 2. The variables are always non negative

6. Exemple 1: diet problem • 3 types de grains are available to feed an herb: g1, g2, g3 • Each kg of grain includes 4 nutritional elements: ENA, ENB, ENC, END • The weekly quantity required for each nutritional element is specified • The price per kg of each grain is also specified. • Problem: Determine the quantity (in kg) of each grain to specify the minimum cost diet for the herb satisfying the nutritional requirement of the diet

7. 3 types de grains are available to feed the herb: g1, g2, g3 Each kg of grain includes 4 nutritional elements: ENA, ENB, ENC, END The weekly quantity required for each nutritional element is specified The price per kg of each grain is also specified. Problem: Determine the quantity (in kg) of each grain to specify the minimum cost diet for the herb satisfying the nutritional requirement of the diet quantité g1 g2 g3 hebd. ENA 2 3 7 1250 ENB 1 1 0 250 ENC 5 3 0 900 END 0.6 0.25 1 232.5 $/kg 41 35 96 Problem data

8. 3 types de grains are available to feed the herb: g1, g2, g3 Each kg of grain includes 4 nutritional elements: ENA, ENB, ENC, END The weekly quantity required for each nutritional element is specified The price per kg of each grain is also specified. Problem: Determine the quantity (in kg) of each grain to specify the minimum cost diet for the herb satisfying the nutritional requirement of the diet weekly g1 g2 g3 quantity ENA 2 3 7 1250 ENB 1 1 0 250 ENC 5 3 0 900 END 0.6 0.25 1 232.5 $/kg 41 35 96 Problem data

9. 3 types de grains are available to feed the herb: g1, g2, g3 Each kg of grain includes 4 nutritional elements: ENA, ENB, ENC, END The weekly quantity required for each nutritional element is specified The price per kg of each grain is also specified. Problem: Determine the quantity (in kg) of each grain to specify the minimum cost diet for the herb satisfying the nutritional requirement of the diet i) Activities or actions of the model Actionsvariables # kg de g1 x1 # kg de g2 x2 # kg de g3 x3 Problem variables

10. ii)Objective function Weekly cost of the diet = 41x1 + 35x2 + 96x3 to minimise iii) Contraints ENA: 2x1 + 3x2 +7x3≥ 1250 ENB: 1x1 + 1x2≥ 250 ENC: 5x1 + 3x2≥ 900 END: 0.6x1 + 0.25x2 +x3≥ 232.5 Non negativity constraints: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3≥ 0 weekly g1 g2 g3 quantity ENA 2 3 7 1250 ENB 1 1 0 250 ENC 5 3 0 900 END 0.6 0.25 1 232.5 $/kg 41 35 96 Objective function and constraints

11. ii)Objective function Weekly cost of the diet = 41x1 + 35x2 + 96x3 to minimize iii) Contraints ENA: 2x1 + 3x2 +7x3≥ 1250 ENB: 1x1 + 1x2≥ 250 ENC: 5x1 + 3x2≥ 900 END: 0.6x1 + 0.25x2 +x3≥ 232.5 Non negativity constraints: x1≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 min z = 41x1 + 35x2 + 96x3 s.t. 2x1 + 3x2 +7x3≥ 1250 1x1 + 1x2≥ 250 5x1 + 3x2≥ 900 0.6x1+ 0.25x2 +x3≥ 232.5 x1 ≥ 0, x2≥ 0, x3≥ 0 Mathematical model

12. Exemple 2: problème d’entreposage • Entreposage d’une commodité pour vente future. • Problème s’échelonnant sur 3 périodes successives. • À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les prix unitaires d’achat et de vente sont les mêmes • Coût unitaire d’entreposage = $1 par période. • Capacité de l’entrepôt = 60 unités. • 30 unités disponibles initialement • Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maximiser les profits au cours des 3 périodes.

13. Données du problème • Entreposage d’une commodité pour vente future. • Problème s’échelonnant sur 3 périodes successives. • À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les prix unitaires d’achat et de vente sont les mêmes • Coût unitaire d’entreposage = $1/ période. • Capacité de l’entrepôt = 60 unités. • 30 unités disponibles initialement • Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maximiser les profits au cours des 3 périodes.

14. Entreposage d’une commodité pour vente future. Problème s’échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les prix unitaires d’achat et de vente sont les mêmes Coût unitaire d’entreposage = $1/période. Capacité de l’entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maximiser les profits au cours des 3 périodes. i) Activités ou actions du modèle Actionsvariables à chaque période t Acheter Entreposer Vendre Variables du problème

15. Entreposage d’une commodité pour vente future. Problème s’échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les prix unitaires d’achat et de vente sont les mêmes Coût unitaire d’entreposage = $1/période. Capacité de l’entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maximiser les profits au cours des 3 périodes. ii) Fonction économique Revenu net Fonction économique

16. Entreposage d’une commodité pour vente future. Problème s’échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les prix unitaires d’achat et de vente sont les mêmes Coût unitaire d’entreposage = $1/période. Capacité de l’entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maximiser les profits au cours des 3 périodes. ii) Contraintes Deux contraintes pour chaque période Contraintes

17. Entreposage d’une commodité pour vente future. Problème s’échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les prix unitaires d’achat et de vente sont les mêmes Coût unitaire d’entreposage = $1/période. Capacité de l’entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maximiser les profits au cours des 3 périodes. ii) Contraintes Contraintes

18. Contraintes ii) Contraintes

20. Problème du restaurateur • Disponibilités du restaurateur: 30 oursins 24 crevettes 18 huîtres • Deux types d’assiettes de fruits de mer offertes par le restaurateur: à $8 composée de 5 oursins, 2 crevettes et 1 huître à $6 composée de 3 oursins, 3 crevettes et 3 huîtres • Problème: déterminer le nombre d’assiettes de chaque type à offrir pour que le restaurateur maximise son revenu en respectant les disponibilités de fruits de mer

21. Disponibilités du restaurateur: 30 oursins 24 crevettes 18 huîtres Deux types d’assiettes de fruits de mer offertes par le restaurateur: à $8 composée de 5 oursins, 2 crevettes et 1 huître à $6 composée de 3 oursins, 3 crevettes et 3 huîtres Problème: déterminer le nombre d’assiettes de chaque type à offrir pour que le restaurateur maximise son revenu en respectant les disponibilités de fruits de mer ii) Activités ou actions du modèle Actionsvariables # ass. $8 x # ass. $6 y Variables du problème

22. Disponibilités du restaurateur: 30 oursins 24 crevettes 18 huîtres Deux types d’assiettes de fruits de mer offertes par le restaurateur: à $8 composée de 5 oursins, 2 crevettes et 1 huître à $6 composée de 3 oursins, 3 crevettes et 3 huîtres Problème: déterminer le nombre d’assiettes de chaque type à offrir pour que le restaurateur maximise son revenu en respectant les disponibilités de fruits de mer i) Activités ou actions du modèle ii) Fonction économique revenu du restaurateur = 8x + 6y à maximiser iii) Contraintes oursins: 5x + 3y≤ 30 crevettes: 2x + 3y≤ 24 huîtres: 1x + 3y≤ 18 non négativité des variables: x,y ≥ 0 Fonction économique et contraintes

23. i) Activités ou actions du modèle ii) Fonction économique revenu du restaurateur = 8x + 6y à maximiser iii) Contraintes oursins: 5x + 3y≤ 30 crevettes: 2x + 3y≤ 24 huîtres: 1x + 3y≤ 18 non négativité des variables: x,y ≥ 0 max 8x + 6y Sujet à 5x + 3y≤ 30 2x + 3y≤ 24 1x + 3y≤ 18 x,y ≥ 0 Modèle mathématique

24. Cutting Stock Problem • Problem of cutting an unlimited number of pieces of material (paper rolls, for instance) of length l to produce nipieces of length li, i = 1, 2, …, I. • The objective is to minimizethe number of pieces of material to meet the demands. • Note: minimize number of pieces ≡ minimize total waste

25. Cutting pattern Pj(j = 1, 2, …, NJ) corresponds to a specific way of cutting a piece of material: aij = number of pieces of length liproduced with cutting pattern Pj where aij≥ 0 and integer, i = 1, 2, …, I

26. Mathematical Model where xjrepresents the number of pieces of material cut with the pattern j

27. HeuristicTechniques to Assign Judges in Competitions Amina Lamghari Jacques A. Ferland Computer science and OR dept. University of Montreal

28. Problem background • The John Molson Business School International Case Competition. • Takes place every year for the last 25 years at Concordia University in Montreal. • 30 teams of business school students coming from top international universities. • Partitioned in 5 groups of 6 teams. • First part of the competition is a round-robin tournament including 5 rounds where each team competes against each of the other 5 teams of its group. • The three best teams move to the finals. • Problem: Judge Assignment to the competitions.

29. Problem constraints Constraints Objective function

30. Mathematical Model Maximize number of competitions with 5 judges Cost for assigning two judges of same expertise to a competition Mi= set of admissible competitions for judge i At least one lead judge 3 or 5 judges assigned