Курс: Общий физический практикум

1. Сегодня: _________________ 2009 г. Склярова Елена Александровна Курс: Общий физический практикум

2. Лекция № 13 Сегодня: ______________ 2009 г. Тема: Применение теории вероятности при обработке результатов физических экспериментов Содержание лекции: • Вспомним! Ошибки измерения. • Показатели точности измерения. • Средние значения и их оценки, проверка гипотез. • Вычисление средних для интервального ряда. • Оценки истинного значения измеряемой величины. • Сравнение средних при неизвестной дисперсии. • Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов: • -- отыскание параметров линейной функции; • -- отыскание параметров квадратичной функции.

3. Ошибки измерения Численное значение физической величины получается в результате ее измерения, т.е. сравнения ее с другой величиной того же рода, принятой за единицу. При выбранной системе единиц результаты измерений выражаются определенными числами. Известно, что при достаточно точных измерениях одной и той же величины результаты отдельных измерений отличаются друг от друга, и, следовательно, содержат ошибки.

4. Ошибки измерения Ошибкой измерения называется разностьх – а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой величины. Ошибка измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому одной из основных задач математической обработки результатов эксперимента как раз и является оценка истинного значения измеряемой величины по получаемым результатам.

5. Ошибки измерений Ошибки бывают: • систематические; • случайные; • грубые.

6. Пример 1 Таблица 1

7. Пример 1 В табл. 1 первые два столбца дают результаты десяти измерений некоторой величины (х – результаты измерений, m – число получений соответствующего результата). Выбирая за начало отсчета с = 36,0 и полагая h = 0,1, подсчитываем значения для третьего столбца. Сумма чисел четвертого и пятого столбцов дают все данные для расчета и s*. В последних трех столбцах проведены контрольные расчеты при другом начале отсчета с1= 36,1, что соответствует сдвигу u = v + 1.

8. Пример 1 С помощью полученных сумм подсчитываем средние: Контрольные расчеты дают те же результаты:

9. Пример 2 Таблица 2

10. Пример 2 В табл. 2. приведен расчет средних значений и средних квадратичных отклонений для интервального ряда. Здесь длина интервала h = 0,050. Для выбранного начала отсчетас = 8,600 имеем Для контрольного начала отсчета с1 = 8,650 имеем что убеждает в отсутствии ошибок в вычислениях.

11. Пример 3 Для ста измерений, результаты которых приведены в примере 2 (табл. 2), были подсчитаны значения х= 8,63 и s* = 0,128 причем длина интервала h = 0,05. Требуется приближенно оценить истинное значение а измеряемой величины по правилу трех сигм. Подсчитываем сначала исправленный эмпирический стандарт затем применяем правило трех сигм Можно считать, что а лежит в интервале (8,592; 8,668).

12. Пример 4 Пусть две серии 25 и 50 равноточных измерений дали средние значения соответственно и и средние квадратичные отклонения от них и . Требуется сравнить средние значения и решить вопрос о значимости их расхождения с надежностью Р = 0,99. Решение. Подсчитываем сначала величину и затем отношение:

13. Пример 4 По табл. Стьюдента при заданной надежности Р = 0,99 и числе степеней свободы k = 25 + 50 – 2 = 73 находим значение t (0,99; 73) = 2,65. Так как вычисленное отношение оказалось меньше этого числа, то мы не можем считать расхождение средних значимым. С другой стороны, по той же табл.Стьюдента, но при надежности 0,98 мы находим значение t (0,98; 73) = 2,38, которое уже меньше вычисленного отношения t. Если бы нас могла удовлетворить надежность вывода 0,98, то мы могли бы считать расхождение средних значимым.

14. Пример 4 Если же нас такая надежность не удовлетворяет, то пробуем увеличить число измерений. Например, если в первой серии довести число измерений с 25 до 28 и если при этом сохранятся те же значения и , то мы получим что позволит сделать вывод о значимости расхождений средних с заданной надежностью Р = 0,99, так как t (0,99; 76) = 2,64.

15. Пример 4 Примечание. В табл. Стьюдента нет значений t ни для числа степеней свободы k = 73, ни для k = 76. Соответствующие значения вычислены с помощью линейной интерполяции. При Р = 0,99 в таблице находим два значения: для k = 70 имеем t = 2,648, для k = 80 имеем t = 2,639. С помощью этих значений вычисляем: для k = 73 значение t = 2,648 – 0,30,009 = 0,645, для k = 76 значение t = 2,648 – 0,60,009 = 0,643.

16. Пример 5 Пусть десять измерений, результаты которых приведены в таблице 1, выполнены для определенной точности измерений. В той же таблице были подсчитаны средние и . Оценить среднюю квадратичную ошибку измерений с надежностью Р = 0,99. Решение. Рассмотрим сначала более простой случай, когда истинное значение измеряемой величины известно и равно а = 36. Тогда для дисперсии надо применить оценку , которую удобно рассчитать по формуле что дает = (0,1)26,24 + (0,06)2 = (0,1)26,60.

17. Пример 5 Отсюда получаем приближенное равенство s* = 0,12,57 = 0,257. Для оценки этого приближенного равенства с доверительной вероятностью 0,99 найдем из табл. Стьюдента при k = 10 коэффициенты z1 = 0,630 и z2 = 2,154, что дает 0,257  0,630 < < 0,257  2,154, т.е. доверительный интервал (0,162; 0,554). Если истинное значение измеряемой величины неизвестно, то оценку дисперсии производим с помощью эмпирической дисперсии

18. Пример 5 Отсюда получаем приближенное равенство s = 0,12,63 = 0,263. Для оценки этого приближенного равенства с доверительной вероятностью 0,99 воспользуемся снова табл. Стьюдента, но теперь уже при значении k = 9. Это дает z1 = 0,618; z2 = 2,277 и, следовательно, доверительную оценку 0,163 = 0,263  0,618 < < 0,263  2,277 = 0,599. Отметим, что здесь ошибка в определении  может достигать 128 %.

19. Пример 6 Пусть одним и тем же измерительным прибором произведено m= 20 серий измерений по n = 10 измерений в каждой. Эмпирическая дисперсия в i-й серии измерений равна (i = 1, 2, …, m). Требуется оценить среднюю квадратичную ошибку измерительного прибора с надежностью Р = 0,99. Решение. Так как число измерений в каждой серии одно и то же, то применяем оценку для дисперсий. Отсюда получаем приближенное равенство

20. Пример 6 Доверительная оценка этого приближенного равенства производится здесь при числе степеней свободы k = mn – m = 180. Поэтому при надежности Р = 0,99 по табл. Стьюдента находим q = 0,143 (что дает относительную ошибку в определении  только 14 %). Таким образом, доверительная оценка средней квадратичной ошибки имеет вид 0,857S <  < 1,143S с доверительной вероятностью 0,99.

21. Пример 7. Отыскание параметров линейной функции Пример расчета линейной зависимости. Во втором столбце приведенной далее таблицы 3. даны значения функции у.

22. Пример 7 Таблица 3

23. Пример 7. Отыскание параметров линейной функции График

24. Пример 7. Отыскание параметров квадратичной функции Пример расчета квадратичной зависимости. Во втором столбце приведенной далее таблицы 4 даны значения функции yk для равноотстоящих значений аргумента (сами значения аргумента в таблице не приведены, так как они не нужны для расчета). Для сравнения расчет выполнен по семи и по восьми точкам. Для расчета квадратичной зависимости по семи точкам имеем Найдя по табл. Х при N = 7 значения H1(N) = 28; 3H2(N) = 252

25. Пример 8 Таблица 4

26. Пример 8 и вычислив (N2 – 1) / 4 = 12, получаем следовательно, y = 0,275u2 + 0,882u + 0,771, где

27. Пример 8 Для расчета квадратичной зависимости по восьми точкам имеем Найдя по табл. Х при N = 8 значения 2H1(N) = 84; 12H2(N) = 2016, получаем следовательно, y = 0,321u2 + 1,249u + 1,178, где

28. Пример 8 Обе рассчитанные параболы вместе с заданными точками изображены на рисунке.

29. Лекция окончена Нажмите клавишу <ESC> для выхода