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数 学 分 析

数 学 分 析. § 9.4 任意项级数. 教学目标：. 1 使学生深刻理解任意项级数的概念及其性质。 2 通过知识学习，使学生掌握判别任意项级数收敛的方法，从而培养分析应用的能力。. 一、绝对收敛和条件收敛. 定义 1 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 则称原级. 若. 定义 2: 对任意项级数. 收敛 ,. 数. 绝对收敛. 若原级数收敛 , 但取绝对值以后的级数发散 , 则称原级. 数. 条件收敛. 例如 ：. 为条件收敛. 均为绝对收敛. 定理 绝对收敛级数必为收敛级数 . 但反之不然.

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数 学 分 析

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  1. 数 学 分 析 § 9.4 任意项级数 教学目标： 1 使学生深刻理解任意项级数的概念及其性质。 2 通过知识学习，使学生掌握判别任意项级数收敛的方法，从而培养分析应用的能力。

  2. 一、绝对收敛和条件收敛 定义1正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 则称原级 若 定义2:对任意项级数 收敛 , 数 绝对收敛 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛. 例如 ： 为条件收敛 . 均为绝对收敛.

  3. 定理 绝对收敛级数必为收敛级数.但反之不然. 证法一： 设级数 为绝对收敛,也就是级数 收敛.按照柯西收敛原则,对于任意 ,存在 ,当 时,对于一切正整数 成立着 再对级数 应用柯西收敛原理,由于 根据柯西收敛原理,级数 为收敛. 定理的第二个论断:反之不然,可以由 得知.

  4. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证法二:设 收敛 , 令 显然 且 根据比较审敛法 收敛, 收敛 也收敛

  5. 上定理的作用： 任意项级数 正项级数

  6. 从定义可见,判别一个级数 是否绝对收敛,实际就是判别一个正项级数 的收敛性. 但注意,当级数 为发散时,只能判定 非绝对收敛,而不能判定它必为发散.我们判断出级数 为发散时,还得进一步重新判断级数 的收敛性,若它为收敛,就是条件收敛.

  7. 解 故由定理知原级数绝对收敛.

  8. 例2.证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 收敛 , 而 收敛 因此 绝对收敛 .

  9. (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛.

  10. 二、交错级数 定义1 正、负项相间的级数称为交错级数.

  11. ( Leibnitz判别法 ) 莱布尼茨定理 如果一个交错级数 的项满足以下两个条件: (i) 单调减少 (ii) 则 1. 级数 收敛 2. 它的余和 的符号与余和第一项的符号相同,并且余和的绝对值不超过余和的第一项的绝对值:

  12. 证明 (i) 设级数 的部分和为 ,现在考察由偶数个项所组成的部分和数列 及由奇数个项所组成的部分和数列 对于偶数个项的部分和数列 有 由定理的条件(i),即对一切 成立 ,所以数列 为单调增加的数列.另一方面

  13. 可见数列 是有界的.按照单调有界数列必有极限的定理,数列 极限存在 对于奇数个项的部分和数列 有 再由定理的条件(ii),得到 证明了对数列 而言,它的两个子列 及 都收敛于 ,不难证明数列 本身亦应收敛于 .

  14. 再证（ii) 对于莱布尼茨型的级数 必有 同样的,对于形如 的级数,只要上式乘上一个 的因子,就得到 获得一个重要的事实:莱布尼茨型的级数,其和的符号与这个级数的第一项的符号相同,其和的绝对值将不超过第一项的绝对值.

  15. 第二个论断:因为莱布尼茨型级数 的余和 也是一个莱布尼茨型级数,所以余和 的符 号与余和的第一项的符号相同.并且 证毕.

  16. 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 收敛 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛

  17. 解 原级数收敛.

  18. 解 因为 ，而 所以 又因为 由定理知： 级数 收敛． 例4 试判定交错级数 的敛散性

  19. 练习1 判别级数 的敛散性. 2 级数 3 考虑级数

  20. 三、 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 1.阿贝尔变换 对下面的和数 阿贝尔给出了一个初等的变换.设: 于是

  21. 这样,就可以把和数 写为 这个变换式 就是阿贝尔变换.

  22. 阿贝尔引理 如果 (i) 为单调的； (ii) 有界， 则 证明 利用阿贝尔变换 由于每一个 都是同号的,

  23. 于是有 直接利用阿贝尔变换又可得到下面的推论 推论 如果 那么

  24. 2. 阿贝尔判别法 如果 (i)级数 收敛; (ii)数列 单调有界, 则级数 收敛.

  25. 证明 利用阿贝尔引理来估计和数 由条件(i),级数 是收敛的,按照柯西收敛原理,对任何 ,存在 ,使当 时,对不论怎样的正整数 ,成立

  26. 因而,可以取这个 为引理中提到的数 ,于是当 时,对任何正整数 ,应用引理,有 这样便证明了级数 收敛.

  27. 四、狄利克雷判别法 如果(i)级数 的部分和 有界, (ii)数列 单调趋于0, 则级数 收敛.

  28. 证明 仍旧应用阿贝尔引理来估计和数 .由条件 ,则对任何给定正数 ,存在 ,当 时,有 此外,由于条件(i),显然有 于是引理中的数 就是这里的 ,所以当 时,对任何正整数 成立 这就证明了级数 的收敛性.

  29. 练习 1.若级数 收敛, 则级数 都收敛.

  30. 2 若数列 单调趋于0,那么级数 和 前者对任何 都收敛,后者对任何 都收敛. 而当 时,需根据 的性质进一步判别之.

  31. 小结 概念: 为收敛级数 绝对收敛 条件收敛 Leibniz判别法: 收敛 则交错级数

  32. 则级数 练习 C (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 分析: ∴ (B) 错 ; 又

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