第一章 数学模型概论与初等模型

1. 第一章 数学模型概论与初等模型 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模步骤和示例 1.4 数学建模的分类 1.5 数学模型与能力的培养 1.6 初等方法数学建模

2. 1.1 从现实对象到数学模型 我们常见的模型 • 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征

3. 求解 你碰到过的数学模型——“航行问题” 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x表示船速，y 表示水速，列出方程： x =20 y =5 答：船速每小时20千米/小时.

4. 航行问题建立数学模型的基本步骤 • 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 • 时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。

5. 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学建模

6. 1.2数学建模的重要意义 • 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。

7. 如虎添翼 描述药物浓度在人体内的变化,跨音速空气流和激波的数学模型,用数值模拟设计新的飞机翼型 生产过程中产品质量指标的预报,气象预报,人口预报,经济增长预报 数学建模的具体应用 • 分析与设计 • 预报与决策 • 控制与优化 • 规划与管理 数学建模 计算机技术 电力,化工生产过程的最优控制,零件设计中的参数优化 生产计划,资源配置,运输网络规划,水库优化调度,以及排队策略,物资管理 知识经济

8. 1.3数学建模步骤和示例 实体信息(数据) 建模 求解 应用 假设 验证 在难以得出解析解时，也应当借助 计算机 求出数值解。 • 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 • 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 • 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即建立数学模型。 • 4.模型求解。 • 5.模型的分析与检验。

9. 示例:可口可乐饮料罐的形状 可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的?

11. 示例:可口可乐饮料罐的形状 找一个雪碧饮料罐具体测量一下:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约为6厘米和12厘米.中间胖的部分的直径约为6.6厘米,胖的部分高约为10.2厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米).根据有关的数据,要求通过数学建模的方法来回答相关的问题.

12. “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数的应用(极值问题)部分的一道例题).“用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数的应用(极值问题)部分的一道例题). 实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径和高)为多少? 我们先看这样的数学题:

13. 表面积用S表示, 体积用V表示, 则 即圆柱的直径和高之比为1:1 ,

14. 问题分析和模型假设 • 饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比. • 实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.

15. 模型的建立 饮料罐的半径为(因此,直径为), 罐的高为. h 罐内体积为. V 除顶盖外的材料的厚度.b 顶盖的厚度为 (顶盖就能感觉到更硬) 其中,r,h是自变量, 所用材料的体积SV是因变量, 而b和V是固定参数, 是待定参数

16. 饮料罐侧面所用材料的体积 顶盖和底部所用材料 所用材料的体积 罐内体积

17. 因 ,所以带 , 的项可以忽略,所以 其中是S目标函数, 是约束条件, V是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的r,h和 使得r,h和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 这是极其重要的合理假设或简化! ,

18. 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 使原问题化为:求 使 S 最小,即,求r 使下式最小. 模型的求解

19. 求临界点:令其导数为零 得 测量数据为 , 即 即 顶盖厚度是其他材料厚度3倍 本题还可Lagrange乘子法来解 (增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)

20. 模型验证及进一步的分析 • 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为 装不下那么多饮料，为什么？ 模型到底对不对 ？

21. 测量结果为:未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐确实重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料(365克),而是留有10立方厘米的空间余量. • 实际上,饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的立体. • 可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3 厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为 31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.

22. 此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3 + 0.4 + 0.2 = 3.6平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐压. 进一步讨论 所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.因此,我们也可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程,只依靠数学知识是不够的,必须和实际工作者的经验紧密结合.

23. 数学建模的一般步骤 在难以得出解析解时，也应当借助 计算机 求出数值解。 • 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 • 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 • 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构建模——即建立数学模型。 • 4.模型求解。 • 5.模型的分析与检验。

24. 模型评价 模型应用 模型检验

25. 1.4 数学模型的分类 应用领域 人口,生态,交通,环境,经济等 数学方法 初等数学,网络,微分方程, 运筹,随机模型等 确定和随机 表现特性 静态和动态 离散和连续 线性和非线性 建模目的 描述,分析,预报,决策,控制等 了解程度 白箱 灰箱 黑箱

26. 1.5数学建模与能力的培养 开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 题的本领。撰写论文的初步方法. ①数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 数学建模与其说是一门技术,不如说是一门艺术. 技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则.

27. 1.6 初等方法建模 1 雨中行走 2 实物交换 3 汽车刹车距离 4 公平的席位分配 5 发射卫星为什么用三级火箭系统?

28. 1 雨中行走 一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

29. 1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 由于人身体的表面非常复杂,为了使问题简化,假设将人视为长方体. 2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。 2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。

30. 由于人身体的表面非常复杂,为了使问题简化,假设将人视为长方体.由于人身体的表面非常复杂,为了使问题简化,假设将人视为长方体. 2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。 2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。

31. 3 模型建立与计算 1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 雨中行走的时间 降雨强度 模型中 结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。

32. 从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。

33. 2）考虑降雨方向。 若记雨滴下落速度为 （米/秒） 雨滴的密度为 雨滴下落的反方向 表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内，由雨滴所占的 空间的比例数，也 称为降雨强度系数。 人前进的方向 所以， 因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。

34. 顶部的淋雨量 • 前表面淋雨量 • 总淋雨量（基本模型）

35. 可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。 情形1 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得

36. 情形2 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得 情形3 此时，雨滴将从后面向你身上落下。

37. 出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形。 因此，对于这种情况要另行讨论。 • 当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是 淋雨总量为

38. 再次代如数据，得 结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角 从背后落下，你应该以 此时，淋雨总量为 这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

39. 当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 若雨是迎着你前进的方向向你落下,这时的策略很简单,应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下,你应控制你在雨中的行走速度,让它刚好等于落雨速度的水平分量。 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是 淋雨总量为

40. y yo • . p y • 0 x xo x 2 实物交换 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 问题 用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图： 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y)

41. y yo M . M1 . y1 p1 p3(x3,y3) . 将所有与p1, p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN, p2 N1 y2 N 0 x1 x2 xo x 分析与建模 甲的无差别曲线 如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的， 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度， 比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。

42. y f(x,y)=c1 c1 . p2 0 x . p1 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度 （f ~等满意度曲线） 无差别曲线族的性质： • 单调减(x增加, y减小) • 下凸(凸向原点) • 互不相交 在p2点占有y少、x多，就要以较多的x换取较少的 y。 在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;

43. y y g(x,y)=c2 yo c2 O x f=c1 O xo x’ O‘ B p P’ A g=c2 x y’ 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同） 双方的交换路径 甲的无差别曲线族 f=c1 两族曲线切点连线记作AB 乙的无差别曲线族 g=c2(坐标系x’O’y’, 且反向） 双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上 因为在AB外的任一点p’, (双方)满意度低于AB上的点p

44. B A 双方的无差别曲线族 . y D yo . C 0 xo x 交换方案的进一步确定 交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y) 交换路径AB 0xx0, 0yy0矩形内任一点 AB与CD的交点p 等价交换原则 X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为 p (x0,0), (0,y0) 两点的连线CD 设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0+by0)

45. 3 汽车刹车距离 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： • 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， • 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 背景与问题 • 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ： • 后车司机从前车经过某一标志开始默数 • 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。

46. 反应距离 制动距离 常数 常数 常识：刹车距离与车速有关 问题分析 10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺( 9米) >>车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同 司机状况 制动系统灵活性 反应时间 车速 刹车距离 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。

47. 假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 F m 且F与车的质量m成正比

48. 模 型 计算刹车距离、刹车时间 • 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 参数估计 • 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 最小二乘法  k=0.06

49. 模 型 “2秒准则”应修正为 “t 秒准则”

50. 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 21席的分配 比例 结果 10.815 6.615 3.570 21.000 21 21席的分配 比例 结果 10.815 11 6.615 7 3.570 3 21.000 21 4 公平的席位分配 问题 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。 对丙系公平吗 比例加惯例