1 / 20

Grafové algoritmy

Grafové algoritmy. Opakování z minulé přednášky. Co je to strom, les, kostra? Co je to kotřenový strom? Co je to binární vyhledávací strom? Co je to AVL strom? Jak funguje? Jak funguje řazení haldou?. Osnova dnešní přednášky. Prohledávání grafu do hloubky, do šířky Bloudění v bludišti

laban
Download Presentation

Grafové algoritmy

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Grafové algoritmy

  2. Opakování z minulé přednášky • Co je to strom, les, kostra? • Co je to kotřenový strom? • Co je to binární vyhledávací strom? • Co je to AVL strom? Jak funguje? • Jak funguje řazení haldou?

  3. Osnova dnešní přednášky • Prohledávání grafu • do hloubky, do šířky • Bloudění v bludišti • Tarryho algoritmus • Hledání nejkratší cesty • Moorův, Dijkstrův, Bellman-Fordův, Floyd-Warshallův algoritmus • Hledání nejdelší / nejširší / nejbezpečnější cesty • Hledání minimální kostry • Kruskalův-Borůvkův, Jarníkův-Primův algoritmus

  4. Prohledávání grafu • Systematické navštívení / zpracování všech uzlů v grafu • Prohledávání do šířky • datová struktura fronta • Prohledávání do hloubky • datová struktura zásobník

  5. Obecný algoritmus prohledávání • Vstup: Souvislý graf G • Výstup: Posloupnost všech uzlů grafu G • Inicializace: Vlož libovolný uzel do D • Dokud je D neprázdné, opakuj • Vyber uzel, který je na řadě • Zpracuj / vypiš jej • Všechny jeho neoznačkované následovníky • označkuj a vlož do D • D = fronta / zásobník podle způsobu prohledávání • Díky značkování zpracujeme každý uzel právě jednou

  6. Tarryho algoritmus bloudění • Hledání cesty z bludiště pomocí prohledávání do hloubky • Bludiště je tvořeno místnostmi, z nichž vedou dveře do chodeb spojujících jednotlivé místnosti • Nemáme k dispozici mapu • V každé místnosti je kousek křídy • můžeme uchovávat lokální informaci

  7. Tarryho algoritmus: popis • Založen na značkování dveří podle následujících pravidel: • vstoupíš-li do místnosti, kde žádné dveře nejsou označeny, označkuj vstupní dveře “IN” • jsi-li v místnosti s alespoň jedněmi neoznačkovanými dveřmi, označ je “OUT” a projdi chodbou za nimi do následující místnosti • jsi-li v místnosti, kde jsou všechny dveře označeny, vstup do dveří označených “IN” • vstoupíš-li do místnosti, kde jsou všechny dveře označeny “OUT”, z bludiště není východ

  8. Tarryho algoritmus: vlastnosti • Nemá-li bludiště východ, po skončení bude každá chodba projítá právě dvakrát • jednou tam a jednou zpátky • nikdy nejdeme stejnou chodbou stejným směrem dvkarát • Backtracking nastává teprve tehdy, není-li jiná alternativa • Existuje-li východ, po konečném počtu kroků je najdeme

  9. Hledání nejkratší cesty • Moorův algoritmus • pro neohodnocené grafy • Dijkstrův algoritmus • pro nezáporně ohodnocené grafy • Bellman-Fordův algoritmus • pro grafy bez cyklu záporné délky • Floyd-Warshallův algoritmus • umožňuje detekci cyklu záporné délky

  10. Moorův algoritmus • Prohledávání grafu do šířky • Každý uzel má značku (p,d), kde d je délka cesty (počet hran) a p je předcházející uzel • Počáteční uzel s dostane značku (-,0), ostatní (-,). V0 = {s}, k=0 • Pro iVk uděláme • každého neoznačkovaného následníka uzlu i označkujeme (i, k+1) a vložíme jej do množiny Vk+1 • Zvýšíme k o 1 a pokud Vk  , opakujeme • Výsledkem je distanční rozklad množiny uzlů

  11. Dijkstrův algoritmus • Prohledávání grafu do šířky • Každý uzel má značku (p,d), kde d je délka cesty (součet délek hran) a p je předcházející uzel • Značky jsou trvalé (množina S) a netrvalé (množ. Š) • Počáteční uzel s dostane trvalou značku (-,0), jeho následníci (s, d), ostatní (-,). S = {s}, Š=U-S • Dokud Š   • V množině Š vybereme uzel k s nejmenší vzdáleností od S • Přesuneme jej do S • Prověříme značky všech následníků uzlu k z množiny Š a v případě potřeby je aktualizujeme • Proč není možné mít záporně ohodnocené hrany?

  12. Bellman-Fordův algoritmus • Každý uzel dostává značku (a, p, d), kde a je počet hran nejkratší cesty, d její délka a p předposlední uzel • Počátek s dostane značku (0, -, 0), ostatní uzly (0, -, ). k=0 • Dokud je k<|U| • Pro každý uzel j, kde a=k • Prověříme značky všech následníků uzlu j a v případě potřeby je aktualizujeme • Zvýšíme k o 1

  13. Floyd-Warshallův algoritmus • Graf zadaný maticí sousednosti (D(0)) obsahující délky hran nebo  • Výstupem je matice, z níž lze zjistit nejkratší cesty mezi všemi uzly • Konstruujeme posloupnost matic D(1), D(2), … D(n) tak, že • Každý prvek matice obsahuje délku nejkratší cesty z i do j, obsahující vnitřní uzly 1..k • Pro všechna k = 1..|U| konstruujeme k-tou matici z k-1-ní po řádcích, k-tý řádek se nemění • Cestu z i do j pak rekonstruujeme rekurzivně, hledajíce postupně taková l, kde dij = dil + dlj

  14. Hledání nejdelší cesty • Dané území, v němž chceme uspořádat cyklistický závod tak, aby byl co nejatraktivnější • tj. vedl co nejbotížnějšími úseky • Jak převést problém nejdelší cesty na problém nejkratší cesty? • nelze přičítat konstantu ani odečítat od konstanty, byť sebevětší • Graf nesmí obsahovat cyklus kladné délky • pak lze hranové ohodnocení vynásobit -1 • najít nejkratší cestu • ta odpovídá nejdelší cestě v původním grafu

  15. Hledání nejbezpečnější cesty • Hranové ohodnocení odpovídá pravděpodobnosti bezpečného průchodu hranou • tj. h  <0,1> • Hledáme cestu s maximálním součinem hranových ohodnocení • Přepočítáme hranové ohodnocení: h’ = - log h • logaritmus převede součin na součet • obrácení znaménka převádní hledání maxima na hledání minima • V nově ohodnoceném grafu hledáme nejkratší cestu

  16. Hledání nejširší cesty I. • Ohodnocení hran odpovídají šířce • Šířka cesty je minimum šířek hran na této cestě • Algoritmus podobný Dijkstrovu • uzly dostávají značky (p, b) • p = předchůdce • b = šířka cesty z počátku do daného uzlu • značky jsou dočasné a trvalé • v každém kroku označíme jeden uzel trvale

  17. Hledání nejširší cesty II. • Inicializace • S := {s}, Š = U – {s} • Označkuj počátek (-, ∞) • Označkuj následovníky počátku (s, b) • kde b je šířka příslušné hrany • Zbývající vrcholy označkuj (s, 0) • Iterace • Najdi vrchol j  Š, do nějž se lze z některého uzlu i  S dostat po nejširší cestě • tj. má maximální hodnotu min{bi, bij} • Pro všechny následovníky uzlu j bez trvalé značky • přepočítáme značku, pokud jsme našli širší cestu

  18. Hledání minimální kostry • Jarníkův-Primův-Dijkstrův algoritmus • založen na „růstu stromu“ • k okamžitému stromu přidáváme vždy nejkratší možnou hranu • Kruskalův-Borůvkův algoritmus • postupné spojování komponent lesa do jediného stromu • Analogicky lze hledat také maximální kostry. K čemu jsou dobré?

  19. Kruskalův – Borůvkův algoritmus • Množinu hran seřadíme vzestupně podle hranového ohodnocení • Postupně budujeme nový graf • začínáme pouze s uzly (tj. „diskrétní faktor“) • přidáváme hrany dle pořadí délek • pokud by přidáním hrany vznikla kružnice, hranu nepřidáváme • spojujeme tedy jen uzly ležící v různých komponentách • pokusíme se přidat všechny hrany

  20. Primův algoritmus • Opět začínáme s diskrétním faktorem původního grafu • Vybereme libovolný uzel • triviální počáteční strom • K okamžitému stromu připojíme uzel s nejmenší vzdáleností od tohoto stromu • Opakujeme, dokud nejsou připojeny všechny uzly

More Related