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5.1 自然對數函數:微分 5.2 自然對數函數:積分 5.3 反函數 5.4 指數函數:微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數:微分

5.1 自然對數函數:微分 5.2 自然對數函數:積分 5.3 反函數 5.4 指數函數:微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數:微分 5.7 反三角函數:積分 5.8 雙曲函數. P.258. Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數. 5.6 反三角函數:微分. 反三角函數的定義 函數 定義域 值域

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5.1 自然對數函數:微分 5.2 自然對數函數:積分 5.3 反函數 5.4 指數函數:微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數:微分

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  1. 5.1 自然對數函數:微分 5.2 自然對數函數:積分 5.3 反函數 5.4 指數函數:微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數:微分 5.7反三角函數:積分 5.8雙曲函數

  2. P.258 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 5.6 反三角函數:微分 反三角函數的定義 函數 定義域 值域 y = arcsin x iff sin y = x –1 ≤ x ≤ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2 y = arccos x iff cos y = x –1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤π y = arctan x iff tan y = x –∞ < x <∞ –π/2 < y <π/2 y = arccot x iff cot y = x –∞ < x <∞ 0 < y <π y = arcsec x iff sec y = x |x| ≥ 1 0 ≤ y ≤π, y≠π/2 y = arccsc x iff csc y = x |x| ≥ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2, y≠0

  3. P.258 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.29

  4. P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 1計算反三角函數 計算下列各題的值。a. arcsin(–½) b. arccos 0 c.d. arcsin(0.3) 解 a.由定義,從 y = arcsin(–½) 可得 sin y = –½,在區間 [–π/2,π/2] 中,y 的正確答案是 –π/6,因此 arcsin(–½) = –π/6 b.由定義,從 y = arccos 0 可得 cos y = 0,在區間 [0,π] 中,y 的正確答案是 y =π/2,因此 arccos 0 = π/2

  5. P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 1(續) c.由定義,從     可得      ,在區間 (–π/2,π/2) 中,y 的正確答案是 y =π/3,因此 d.以計算機求出 arcsin(0.3) ≈ 0.305

  6. P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 反三角函數的性質 如果 –1 ≤ x ≤ 1 並且 –π/2 ≤ y ≤ π/2,則有 sin(arcsin x) = x和 arcsin(sin y) = y 如果 –π/2 < y < π/2,則有 tan(arctan x) = x和 arctan(tan y) = y 如果 |x| ≥ 1 並且 0 ≤ y <π/2 或者 π/2 < y ≤π,則有 sec(arcsec x) = x和 arcsec(sec y) = y 其他反三角函數也有類似的性質。

  7. 原式 兩邊取正切 tan(arctan x) = x 解 x P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 2解方程式

  8. P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 3利用直角三角形 a.已知 y = arcsin x, 0 < y <π/2,求 cos y。 b.已知 y = arc ,求 tan y。 解 a.從 y = arcsin x,可知 sin y =x,所以以一個直角三角 形表示 x 和 y 的關係,如圖5.30 所示。 (此結果亦適用於 –π/2 < y < 0)。 b.以圖5.31 中的直角三角形來看

  9. P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.30

  10. P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.31

  11. P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 定理5.16反三角函數的導函數

  12. P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 4求反三角函數的微分 a. b. c. d. 因為 e2x > 0,絕對值記號是多餘的。

  13. P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 5一個可以化簡的導函數 微分 。 解

  14. P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 6分析一個反三角函數的圖形 分析 y = (arctan x)2的圖形。 解 先求導函數 可看出 x = 0 是唯一的臨界數。由一階導數檢定, x = 0 對應的是一個相對極小,再由二階導數 反曲點出現在 2x arctan x = 1 處,可利用牛頓法求出 x 的近似值大概是 x ≈±0.765。最後,由於 得知圖形以 y =π2/4 為水平漸近線,見圖5.32。

  15. P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.32y = (arctan x)2的圖形,以y = π2/4 為水平漸近線。

  16. P.262 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 7求攝影角度的最大值 攝影機的鏡頭對準一輻掛在牆上,上下高度 4 呎的畫, 鏡頭的位置在畫的下緣之下 1 呎,如圖5.33 所示。攝影 機應該距畫多遠才能使攝角最大? 解 在圖5.33 中,令β是攝角。 β=θ–α = arccot x/5 – arccot x 微分得到 由於當x =時,dβ/dx = 0,從一階導數檢定得知β 會有最大值。因此,x ≈ 2.236 呎,而最大角β≈ 0.7297 弧度 ≈41.81°。

  17. P.262 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.33攝影機要距離牆壁2.236 英呎才能得到最大的攝角 。

  18. P.263 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 基本函數的微分規則

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