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§19.1 .6 三角形中位线及平行 线间的距离

§19.1 .6 三角形中位线及平行 线间的距离. 三角形中位线. A. D. M. A. D. N. O. B. C. B. C. Q. P. 回顾与思考. 平行四边形的 性质 与判定. ① 两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形. 平行四边形 的① 两组对边分别平行 ② 两组对边分别相等. 平行四边形 的① 对角相等 ② 邻角互补. 两组对角分别相等的四边形. 平行四边形 的 对角线互相平分. 对角线互相平分的四边形. 夹在两条平行线间的平行线段相等.

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§19.1 .6 三角形中位线及平行 线间的距离

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Presentation Transcript


  1. §19.1 .6 三角形中位线及平行 线间的距离 三角形中位线

  2. A D M A D N O B C B C Q P 回顾与思考 平行四边形的性质与判定 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 平行四边形的①两组对边分别平行②两组对边分别相等 平行四边形的①对角相等②邻角互补 两组对角分别相等的四边形 平行四边形的对角线互相平分 对角线互相平分的四边形 夹在两条平行线间的平行线段相等

  3. 1、已知在四边形ABCD中,AD∥BC,要使这个四边形为平行四边形,则需添加一个你认为正确的条件为( ) 练一练 A B∥DC,或∠A =∠C或AD=BC 2、能判定一个四边形是平行四边形的条件是( ) B A、一组对角相等 B、一组对边平行且相等 C、一对邻角互补 D、两条对角线互相垂直 3、四边形ABCD中,若∠A = ∠C,∠B = ∠D,则下列结论中错误的是( ) C A、AB = CD B、AD∥BC C、∠A = ∠B D、对角线互相平分

  4. F E D 1、什么叫三角形的中线?有几条? 连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线. 2、三角形的中线有哪些性质? A B C ①三角形的每一条中线把三角形的面积平分. ②三角形的中线相交于同一点.……

  5. A C F B 定义: 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 DE是△ABC的中位线 E D 思考: 1、一个三角形有几条中位线? 2、这三条中位线把三角形分成几个三角形?

  6. 思考: 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别? 中位线是两个中点的连线,而中线是一个顶点和对边中点的连线。

  7. 1.三角形的中位线和中线有什么不同呢? 定义 中位线是连结两边中点的线段 中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 2.三角形的中位线定义的两层含义: A (1) ∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE为△ABC的中位线 E D (2) ∵ DE为△ABC的中位线 ∴ D、E分别为AB、AC的中点 C B F

  8. 探究与思考 三角形的中位线有什么性质? 如图,EF是△ABC 的一条中位线. (1)量一量EF,BC的长是多少?你能作出什么猜测? (2)观察图形中的EF与BC,猜测EF与BC位置关系吗? A E F B C

  9. A B C 观察猜想 在△ABC中,中位线DE和边BC什么关系? E D DE∥BC 平行 位置关系: DE和边BC关系 数量关系: DE是BC的一半

  10. 猜想:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。猜想:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 如何证明?

  11. 证明:如图,延长DE至F, 使EF=DE, 连接CD、AF、CF ∵AE=EC ∴DE=EF ∴四边形ADCF是平行四边形∴AD FC 又D为AB中点, ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC A D E F B C 返回

  12. ∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC且 (位置关系)(数量关系) A D E B C 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 数学语言: 用 途 ① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半

  13. A 小试 牛刀 D E B C F 三角形中位线定理的运用 如图,已知△ABC中,D,E,F分别为三边的中点,你能从图中找出几个平行四边形?为什么?

  14. A D E B C F 驶向胜利的彼岸 我来应战P90 三角形中位线性质的运用 • 利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等. 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. • 分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明三角形全等. 证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点. (三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).

  15. 概念复习 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 A 一个三角形共有几条中位线?怎样画出来? 三条中位线围成一个新的三角形,它与原来的 三角形有无关系?哪方面有关系? D E (1) △DEF的周长与 △ABC的周长有什么关系? △DEF的周长是△ABC周长的一半 B C F (2) 面积呢? 四分之一

  16. 若在△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点, AB、AC、BC的长分别为6cm、8cm和10cm.则△DEF的周长是______ △DEF的面积是______ C 10cm 8cm F E A B D 6cm 12cm

  17. A M N B C 试试看,我能行! 1.如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61°则∠AMN =, 若MN =12 ,则BC =. 61° 24

  18. B D A E C 试试看,我能行! 2.[2007长沙中考] 如图, △ABC 中, D ,E 分别为AB, AC 的中点,当BC =10㎝时,则DE =. 5㎝

  19. A D E C B F 3.如图,已知△ABC中, AB = 3㎝,BC=3.4 ㎝ AC=4㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长 是㎝. 5.2

  20. 初显身手 (2)如图,E是平行四边形ABCD的AB边上的中点,且AD=10cm,那么OE=cm。 5 D A E O B C

  21. A D E G H B C (3)如图:如果AE= AB,AD= AC, DE=2cm,那么BC=cm。 8

  22. A . . B 如图:A、B两地被池塘隔开,现要测量出A,B两地的距离,给你的工具只有皮尺,你能想办法测量出来吗? 在空地上取一点O,分别连接AO、BO,并延长,使A0=DO,BO=CO,量出CD的长即为A,B两地的距离。 C O D

  23. A M C B N 随堂练习P91 已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗? 其中的道理是: 连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN. 测量两点之间不能到达的距离的方法:------中位线法

  24. A D 20 B C E 练 习 3. 如图,A、B两地被建筑物阻隔,为测量A、B两地间的距离,在地面上选一点C,连结AC和BC,分别取AC和BC的中点D、E, ①如果DE=20m,那么A、B两点间的距离是多少? 为什么? ②如果D、E两点之间还有阻隔, 你有什么解决办法?

  25. 1 2 周长是 (a+b+c) 运用巩固 ①已知三角形三边长分别为6,8,10,顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少? 周长是12 如果三边的长分别为a、b、c,那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少? ②已知三角形的面积是S, 顺次连接各边中点所得的三角形面积是多少? 面积是 S

  26. A 巩固训练 F E B C D P94习题3.3 2题. 2.已知:已知三角形各边长分别是8cm,10cm和12cm. 求以各边中点为顶点的三角形的周长.

  27. A 巩固训练 F E B C D P94习题3.3 1题. 1.已知:在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点. 求证:四边形AFDE的周长等于AB+AC.

  28. 例3:已知 ABCD中,AC、BD相交于点O,E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求 证:∠HEF= ∠FGH。

  29. 例5:已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于 点F、G,连接AC交BD于O,连结OF. 求证: AB= 2 OF A 提示:证明△ABF≌ △ECF, 得BF=CF,再证OF是 △ABC的中位线. D O G B C F E

  30. 用一用 • 1。已知:如果,点D、E、F分别是△ABC的三边的中点. • (1)若AB=8cm,求EF的长; • (2)若DE=5cm,求BC的长. • (3)若增加M、N分别是BD、BF • 的中点,问MN与AC有什么关系? • 为什么?

  31. 已知:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. A 求证:四边形EFGH是平行四边形. H D E G C B F 合作学习 证明:如图,连接AC ∵EF是△ABC的中位线 同理得: ∴四边形EFGH是平行四边形 E,F是AB,BC的中点,你联想到什么? 要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线? 这时候,你都能得出哪些结论?

  32. 应用三角形中位线定理 要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线

  33. A H D E G B C F 1.连结 AC, 说明:EF∥ HG, EF=HG 2.连结 BD 说明:EH ∥FG, EH=FG 3.连结AC、BD ,说明:EF∥HG, EH∥FG 4.连结AC、BD, 说明:EF=HG, EH=FG A H D E G C B F

  34. A H D E G C B F 合作学习 从例题中你能得到什么结论? 顺次连接四边形各边中点的线段组成一个 平行四边形

  35. A O D E C B F 如图,DE是⊿ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.

  36. . F C D . . G H . A B E 已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点. 求证:四边形EGFH是平行四边形.

  37. R D C F Q E A B 在矩形ABCD中,Q是BC边上的一个动点,R是CD边上的一个定点,点E、F分别是AQ、RQ的中点。在Q点由B向C点运动的过程中,线段EF的长怎样变化?为什么?

  38. 3.思考题:DE是RtΔABC的中位线,AF是斜边BC上的中线,则DE与AF有何数量关系?3.思考题:DE是RtΔABC的中位线,AF是斜边BC上的中线,则DE与AF有何数量关系?

  39. 例4:已知如图:在△ABC中,AB、BC、CA的中点分别是E、F、G,AD是高。求 证:∠EDG= ∠EFG。 分析:EF是△ABC的中位线 DG是Rt△ADC斜边上的中线 ∴EF=DG 你还想到了什么?

  40. M A N D F C B E 挑战自我: 已知:如图,△ABC是锐角三角形。分别以AB,AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。D,E,F分别是MB,BC,CN的中点,连结DE,EF。 求证:DE=EF

  41. 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是 AC的中点,F是BD的中点,求证:(1)EF∥AD(2)EF= (BC-AD) A D F E B C H

  42. 在△ABC中,中线BE、CF相交于O,M、N分别是0B、0C的中点.求证:四边形MNEF的周长等于AO+BC在△ABC中,中线BE、CF相交于O,M、N分别是0B、0C的中点.求证:四边形MNEF的周长等于AO+BC A F E O M N B C

  43. A F E M N B C D 已知:AD是三角形ABC的中线,E是AD的中点,F是BE延长线于AC的交点求证:AF= FC A F E B C D

  44. 延伸与拓展 例3:在四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别是BC、AD的中点,BA及MN的延长线相交于P,CD及MN的延长线相交于Q, 求证:∠APN=∠DQN Q P D A N · E B M C

  45. 课堂小结 知识方面: 三角线的中位线, 三角线中位线定理 技能方面: 中位线定理证明过程中辅助线的添加 证明 “中点四边形”的辅助线的方法,连接对角线。

  46. A D。 。E 。F B C ①三角形的中位线是三角形中一种重要的线段,它与三角形的中线不同: 定义 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 ②理解三角形的中位线定义的两层含义: ⑴∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE为△ABC的中位线 ⑵∵ DE为△ABC的中位线 ∴ D、E分别为AB、AC的中点 ∴ D、E分别为AB、AC的中点 ③一个三角形共有三条中位线。

  47. 新定理的应用意义: ⑴新定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵新定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径 方法应用技巧点拨: 在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线

  48. A H D E G 证明:连结AC ∵ AE=EB、CF=FB, C B F (三角形中位线定理) ∴EF∥AC,EF= AC 同理: HG∥AC,HG= AC ∴EF ∥HG,且EF=HG ∴四边形EFGH是平行四边形 例1 求证:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。

  49. E C A l 1 l 2 F D B 猜 一 猜 如图,l1 // l2, 线段AB//CD//EF, 且点A、C、E在l1上,B、D、F在l2上,则AB、CD、EF的长短相等吗?为什么? 夹在两平行线间的平行线段相等。

  50. E C A l 1 l 2 B F D 一条直线上的任一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离。 它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别 ∟ ∟ ∟ 如图,l1 // l2 ,点A、C、E在l1上,线段AB、CD、EF都垂直与l2,垂足分别为B、D、F,则AB、CD、EF的长短相等吗?为什么? 平行线间的距离处处相等

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