Презентация по геометрии на темы "Касательная к окружности" и "Вписанные, центральные углы."

1. Презентация по геометрии на темы "Касательная к окружности" и "Вписанные, центральные углы." в Оглавление

2. касательная к окружности • Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу , то прямая и окружность имеют только одну общую точку. H M r O в Оглавление

3. Касательная к окружности • Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. А точка касания. о p A в Оглавление

4. Касательная к окружности. • Теорема: касательная окружности перпендикулярна к радиусу,проведенному в точку касания. • Доказательство:пусть p- касательная к окружности с центром O,А- точка касания.Докажем,что касательнаяpперпендикулярна к радиусу ОА. • Предположим,что это не так. Тогдарадиус ОА является наклонной к прямой p.Так как перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой p, меньше наклонной OA, то расстояние от центра О окружности до прямой p меньше радиуса. Следовательно, прямая p и окружность имеют две общие точки.Но это противоречит условию: прямая p-касательная.Таким образом,прямая p перпендикулярна к радиусу OA. Теорема доказана. A O P в Оглавление

5. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. • По теореме о свойстве касательной 1 и 2 прямые, поэтому АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу АО и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и 3 =4, что и требовалось доказать. A 3 4 B C 2 1 O в Оглавление

6. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной • Из условия теоремы следует, что радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и следовательно, прямая и окружность имеет только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана в Оглавление

7. Центральные углы • Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному АОВ соответствуют две дуги с концами А и В. • Если АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности.ALB = 180º O A B L в Оглавление

8. Если АОВ (центральный) неразвернутый, то говорят, что АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. Про дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности. L O B A в Оглавление

9. Дугу окружности можно измерять в градусах. Если АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального АОВ. L O B A O B A L в Оглавление

10. L • Если же АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360º -АОВ (центральный). • ALB = 360º -  АОВ. O B A в Оглавление

11. Вписанный угол • Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный АВС опирается наАМС. B O A C M в Оглавление

12. Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается • Пусть АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на АС. Докажем, что АВС= половине АС(на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно АВС.Рассмотрим их. в Оглавление

13. Рассмотрим 1 случай расположения луча ВО относительно АВС. • Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае АС меньше полуокружности, поэтому АОС= АС. Так как АОСвнешний угол равнобедренного  АВО, а  1 и  2 при основании равнобедренного треугольника равны, то АОС= 1+ 2 = 21. Отсюда следует, что 21 =АС или АВС=  1=1/2АС. B 2 O 1 A C в Оглавление

14. Рассмотрим 2 случай, когда луч ВО делит АВС на два угла. • В этом случае луч ВО пересекает АС в некоторой точке D. Точка D разделяет АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1  АВD = 1/2 AD и DBC= 1/2 DC. Складывая эти равенства попарно, получаем: ABD + DBC = 1/2 АD + 1/2 DC, или  АВС= 1/2 АС. B A C D в Оглавление

15. Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно  АВС •  АВDравнобедренный, AOD - внешний, т.к.  ABD - равнобедр. То  1= 2 => AOD = 1+  2= 21 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. • Аналогично: ВСО равнобедр.  COD - внешний, следовательно  СВD= 1/2 CD. • Следовательно,  АВС=1/2 АС B O A C D в Оглавление

16. РАССМОТРИМ 1 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ • Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. в Оглавление

17. Рассмотрим 2 следствие из теоремы • Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой. в Оглавление