第三节全微分

R H △R △H 第三节全微分一. 全微分的概念由一元函数可微的定义知,若函数y=f(x)在点x处可微,则对固定的x,自变量的增量△x所对应的函数增量△y=f(x+ △x)- f(x)可表成: △y=A· △x+o(△x) 即因变量增量△y看作△x的函数,它能用自变量增量△x的线性函数A· △x(其中A=f ' (x)) 来近似代替,误差为△x的高阶无穷小.

对于二元函数,我们用一个例子来说明 例1 用钢板制造一个园柱形无盖容器,该容器底面的内半径为2米,内侧面高为5米,侧壁厚为1厘米,底厚为1.5厘米,试计算所用钢的重量.

这表示二元函数的微分也可以象一元函数的微分一样.下面这表示二元函数的微分也可以象一元函数的微分一样.下面我们把二元函数的微分用数学语言叙述:

一般地,设函数z=f(x,y)在区域D内有定义,点p(x,y)∈D,当自变一般地,设函数z=f(x,y)在区域D内有定义,点p(x,y)∈D,当自变量x取得增量△x,自变量y取得增量△y时,得到p’(x+△x,y+△y), 假设p’∈D,函数在点p与p’处的函数值之差f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 称为函数在点(x,y)对应于自变量增量△x,△y的全增量,记作△z, 即定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量△z可表示为

定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量△z可表示为其中A,B不依赖于△x,△y而仅与x,y有关,ρ为点p到p’的距离, 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分. 而A·△x+B ·△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即 dz=A△x+B△y (1)下面我们看可微与连续的关系. 知道,如果函数f(x,y)在点(x,y) 可微分,则当ρ→0时(当然同时有△x→0,△y→0

)就有△z→0,于是由 ∵ 得到即函数z=f(x,y)在点P(x,y)处连续.因此如果函数在点P(x,y)处不连续(当ρ→0时, △z不趋向0).则函数在该点一定不可微.这就是说,连续是可微的必要条件.

(2). 函数可微分与偏导数存在的关系 若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,那么(3)式对于任意△x和 △y成立令△y=0,这时ρ=|△x|,(3)式变为把上式两边除以△x,再令△x→0取极限,得

由偏导数定义,知函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x的偏导数存由偏导数定义,知函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x的偏导数存 .同样可得在,并且等于A,即如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,那么函数z=f(x,y)在点必存在,并且 (x,y)处的偏导数从而函数z=f(x,y)在点(x,y) 的全微分可写为 (全微分的必要条件) 上述结论的逆命题不成立.例如,在第二节中已经知道,函数

这表示函数在(0,0)点存在两个偏导数但在(0,0)处不可微.因为这表示函数在(0,0)点存在两个偏导数但在(0,0)处不可微.因为如果z在(0,0)处可微,则必有它不是ρ的高阶无穷小,因为当点p(△x,△y)沿着x=y直线趋向(0,0)有

在点(0,0)处的两个偏导数存在,且fx( 0,0)=0,fy(0,0)=0.但函数在 (0,0)处不连续, 因此是不可微分的,从而全微分不存在.尽管这时能形式地写出但它与△z之差并不是高阶无穷小.因而偏导数存在只是全微分存在的必要条件.但是,如果再假定函数的各个偏导数连续,则全微分一定存在.有下面定理. 定理2如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)处连续, 则函数在该点可微. (全微分的充分条件)

证明:因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于证明:因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于偏导数也同样),所以假定偏导数在点(x,y)连续,就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思(以后凡说到偏导数在某一点连续都是这样理解).设点(x+△x,y+△y)为这邻域内任意一点,考察函数的全增量在第一方括号内的表达式,由于y+△y不变,因而可看作是x的一元函数f(x,y+△y)的增量,于是应用拉格朗日中值定理,得到

又依假设,fx(x,y)在点(x,y)连续,所以上式可写成 其中ε1为△x, △y的函数,且当△x→0, △y→0时, ε1→0 同理可证明第二个方括号内的表达式可写成其中ε2为△y的函数,且当△y→0时, ε2→0 由(4),(5)式可见,在偏导数连续的假定下,全增量△z表示为容易看出

它是随着(△x,△y)→(0,0)即ρ →0而趋于零的.这就证明了 z=f(x,y)在点(x,y)是可微分的以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数. 习惯上,我们把自变量的增量△x,△y分别记为dx,dy,并称为自变量x,y的微分, 这样函数z=f(x,y)的全微分可写成

通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.而叠加原理也适合于三元以上的函数. 例2求函数z=xsin(x+y)的全微分. 解:

例3求z=x2y2+xy3-2y4.在点(3,1)处的全微分. 解: 例4求函数u=cos(x+y)+exz的全微分.

这几个函数的全微分并不难求,可作为公式记忆,在以后的这几个函数的全微分并不难求,可作为公式记忆,在以后的微分方程中给我们带来方便.

二元函数的极限,连续,偏导数和可微,它们之间的关系是:二元函数的极限,连续,偏导数和可微,它们之间的关系是: 二.全微分在近似计算上的应用由上面讨论知道,可微函数z=f(x,y)的全增量可以表示为解题步骤是: (1)选函数 (2)选(x0,y0) (3)代入上面公式计算

例6用全微分计算例1中园柱形容器所用钢的重量的近似值.例6用全微分计算例1中园柱形容器所用钢的重量的近似值. 解:

在工程上,常常需要分析误差,其思路就是利用微分的近似计算在工程上,常常需要分析误差,其思路就是利用微分的近似计算例7 已知圆柱体的高与底半径的相对误差分别为δh与δR, 求其体积的相对误差δV 解:

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