三角比 / 三角恒等式

1. 三角比/三角恒等式 §5.3 同角三角比的关系 Dir 张昊昱

2. 设p（x,y)是角α终边上一点，r= （一）复习：回忆六个三角比的定义 • sinα= cosα= tgα= • cscα= secα= ctgα= 且r > 0，则

3. （二）关系引进 • 例 已知角α是第四象限角，且cosα = 求角α的另外五个三角比。 • 解：（方法一）在角α的终边上取点p ，∣op∣=r=5，设p 点横坐标为4，则由r2= x2+y2，并由α是第四象限 角，可得y=-3，所以设p(-3,4)，再由三角比定义可求得各解。 • 思考：能否直接利用六个三角比之间的关系进行计算？

4. 观察六个三角比定义，比较、分析并回答： • 1、哪些三角比所取的两个量相同，仅仅是前、后项不同？（即倒数关系） • 2、经过乘除法运算，可以发现三角比之间有什么关系？（即商数关系） • 3、由r2= x2+y2 ，可发现三角比之间存在怎样的关系？（即平方关系）

5. （三）新授：同角三角比关系 • 一、三种关系八个关系式： • 1、倒数关系： • sinα·cscα=1；cosα· secα=1；tgα·ctgα=1 • 2、商数关系: • 3、平方关系：sin2α+ cos2α=1； • 1+ tg2α=sec 2α；1+ ctg2α=csc2α • 二、各个关系式成立的条件： • 1、角α的取值要使关系式的两边都有意义。 • 2、各个关系式中出现的三角比不同，但是角都是同角。

6. （四）公式应用 一、已知角α的一个三角比，求角α的其它三角比。

7. 例2、已知cosα = ,求角α的另外五个三角比。 • 解：因为0 <cosα< 1,所以α是第一或第四象限角。 • 1、当 α是第一象限角时，sinα> 0 得 • sinα = • tgα = ctgα = • secα = cscα=

8. 2、当α是第四象限角时，sinα< 0，得 • sinα = tgα = ctgα = • secα = cscα =

9. 例3、已知cosα =m，0 <∣m∣≤ 1，求sinα和tgα 解：利用sin2α+cos2α=1，可求得sinα，从而可求得tgα 1、当 α的终边在第一、二象限时，sinα> 0， • sinα = tgα = • 2、当 α的终边在第三、四象限时，sinα< 0， • sinα = tgα = 3、当α的终边在x轴上时，sinα =0，tgα =0.

10. （五）练习 × ×

12. （六）课堂小结 • 本节课根据同角三角比定义推导八个关系式，并利用它们解决已知角α的一个三角比，求其它三角比。