Álgebra Linear e Geometria Analítica

1. Álgebra Linear eGeometria Analítica 6ª aula

2. DETERMINANTES

3. Uma permutação • = ( p1, p2, p3, … , pn) • dos elementos do conjunto • {1, 2, 3, … , n} • é um arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões Permutações

4. = ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) • é uma permutação dos elementos do conjunto • {1, 2, 3, 4, 5, 6} EXEMPLO:

5. = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) • é a permutação identidade • dos elementos do conjunto • {1, 2, 3, 4, 5, 6} EXEMPLO:

6. Número de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem. Permutação par número de trocas par Permutação ímpar número de trocas ímpar Paridade de uma permutação

7. Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Como determinar a paridade rapidamente?

8. Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) Como determinar a paridade rapidamente?

9. Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2  3 1:  0 3: 2  1 2:  0 Como determinar a paridade rapidamente?

10. Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2  3 1:  0 3: 2  1 2:  0 (3+0+1+0) = 4 Como determinar a paridade rapidamente?

11. Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2  3 1:  0 3: 2  1 2:  0 (3+0+1+0) = 4  é par Como determinar a paridade rapidamente?

12. Sinal de uma permutação

13. Exemplos: • = (6, 5, 3, 1, 2, 4) • paridade: 5 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 11 • sgn() = -1 •  = (1, 3, 2, 4, 6, 5) • paridade = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2 • sgn() = +1

14. Produtos elementares: A é uma matriz quadrada nn Chama-se produto elementar da matriz A a um produto de n entradas da matriz A que contenha uma entrada de cada linha e de cada coluna de A. a1p1  a2p2  a3p3  …  anpn

15. Exemplos: • = (6, 5, 3, 1, 2, 4) • Produto elementar correspondente: • a16  a25  a33  a41  a52  a64 •  = (1, 3, 2, 4, 6, 5) • Produto elementar correspondente: • a11  a23  a32  a44  a56  a65

16. Produtos elementares assinalados: A é uma matriz quadrada nn Chama-se produto elementar assinalado da matriz A a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente: sign()a1p1  a2p2  a3p3  …  anpn Com  = (p1, p2, …, pn )

17. Exemplos: • = (6, 5, 3, 1, 2, 4) • Produto elementar assinalado correspondente: • - a16  a25  a33  a41  a52  a64 •  = (1, 3, 2, 4, 6, 5) • Produto elementar assinalado correspondente: • + a11  a23  a32  a44  a56  a65

18. Determinante de uma matriz: Determinante da matriz A é a soma de todos os produto elementares assinalados de A. Representa-se por det(A) ou por |A|

19. Matrizes 22

20. Matrizes 22 det(A) = a11a22 -a12a21

21. Matrizes 33

22. Matrizes 33 det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32– – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32

23. Determinantes de matrizes especiais Se A é diagonal: det(A) = a11 a22  …  ann

24. Determinantes de matrizes especiais Se A é diagonal: det(A) = a11 a22  …  ann Em particular: det(I) = 1 det(O) = 0

25. Determinantes de matrizes especiais Se A é diagonal: det(A) = a11 a22  …  ann Em particular: det(I) = 1 det(O) = 0 Se A é escalar e o elemento da diagonal é k então: det(A) = kn

26. Determinantes de matrizes especiais Se A é triangular (superior ou inferior): det(A) = a11 a22  …  ann

27. Propriedades dos determinantes: • det(A) = det(AT) • Se A tem uma linha (ou coluna) nula então det(A) = 0 • Se A’ é obtida de A trocando 2 linhas (ou colunas) então det(A’) = - det(A) • Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais então det(A) = 0

28. Propriedades dos determinantes: • Se A’ é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por  então det(A’) =  det(A) • Se A tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então det(A) = 0 • det(A) = ndet(A)

29. Propriedades dos determinantes: • Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e Li = L’i + L’’i então det(A) = det + det

30. Propriedades dos determinantes: • A mesma propriedade para as colunas • det(AB) = det(A) det(B) • A é invertível se e só se det(A)  0 (e se e só se car(A) = n) • Se A é invertível então det(A-1)=

31. Efeitos das operações elementares no determinante: • Operações tipo I Trocando duas linhas o determinante muda o sinal EXEMPLO

32. Efeitos das operações elementares no determinante: • Operações tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo EXEMPLO

33. Efeitos das operações elementares no determinante: • Operações tipo III Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalar EXEMPLO

34. Cálculo do determinante por condensação da matriz:

35. Cálculo do determinante pelo teorema de Laplace: • Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por Aij • Chama-se Complemento Algébrico de aij ao número (-1)i+j Aij e representa-se por

36. EXEMPLO

37. Teorema de Laplace • Para cada linha k: • Para cada coluna j:

38. Observações • O Teorema de Laplace determina o determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n-1; • Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros; • Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

39. EXEMPLO:

40. EXEMPLO:

41. EXEMPLO:

42. EXEMPLO:

43. EXEMPLO:

44. EXEMPLO:

45. EXEMPLO:

46. Inversa de uma matriz usando determinantes • Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos: • Matriz adjunta da matriz A: • Matriz inversa de A:

47. EXEMPLO:

48. EXEMPLO:

49. EXEMPLO:

50. EXEMPLO: