1 / 33

Lineární zobrazení

Lineární zobrazení. Definice 46. Nechť P a Q jsou vektorové prostory nad stejným tělesem T. Nechť A je zobrazení A : P -> Q . Říkáme, že A je lineární, právě když platí. Množinu všech lineárních zobrazení P do Q značíme L (P,Q). Na L (P,Q) definujeme operace.

lara
Download Presentation

Lineární zobrazení

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Lineární zobrazení Definice 46. Nechť P a Q jsou vektorové prostory nad stejným tělesem T. Nechť A je zobrazení A : P -> Q. Říkáme, že A je lineární, právě když platí Množinu všech lineárních zobrazení P do Q značíme L(P,Q). Na L(P,Q) definujeme operace 1) součet zobrazení A,B z L(P,Q) definujeme jako 2) násobení zobrazení A z L(P,Q) číslem z T definujeme jako Pozn.: Množina L(P,Q) s výše uvedenými operacemi je vektorový prostor nad tělesem T s dimenzí dim L(P,Q) = dim Px dim Q (jsou-li obě dimenze konečné). Dokáže toto tvrzení někdo  ? V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).

  2. Lineární zobrazení Definice 47. Věta 9. Nechť V je vektorový prostor nad T. Pak speciálně: • Lineární zobrazení V do Vnazýváme lineární operátor na V. Množinu • všech lineárních operátorů na V značíme krátce L(V). • Lineární zobrazení V do tělesa Tnazýváme lineární funkcionál na V. • Množinu všech lineárních funkcionálů na V značíme krátce V# a • nazýváme ji duální prostor k V. Pozn. : prosté zobrazení P na Q nazýváme izomorfní. prosté zobrazení V na V nazýváme regulární operátor. Základní věta o lineárních funkcionálech : Nechť soubor vektorů X = (x1, x2, … , xn ) je báze V. Potom soubor kde xi# jsou souřadnicové funkcionály, je bází duálního prostoru V# (duální báze k X). Duální prostor má tedy stejnou dimenzi. Dále pro každý funkcionál φ z V# platí, že souřadnice φ v bázi X# získáme jako

  3. Lineární zobrazení Příklad Příklad Příklad Příklad Zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1 Zobrazení z R3 do tělesa R Zobrazení z P2 do P2 Zobrazení z R3 do prostoru R3

  4. Lineární zobrazení Definice 48. θ θ Nechť A je zobrazení z L(P,Q). Číslo dim A(P), tj dimenzi oboru hodnot, nazýváme hodností zobrazení a značíme h(A). Vzor jednoprvkové množiny {θ} nazýváme jádro zobrazení a značíme ker A. ker A Pozn. : vždy buď {θ}, nebo nekonečná množina. Množina ker A je podprostorem P. Číslo dim ker A(P), tj dimenzi jádra, nazýváme defektem zobrazení a značíme d(A). Pozn. : Lineární zobrazení převede podprostor (lineární obal nějakého souboru z P) opět na podprostor (lineární obal nějakého souboru z Q), tj. : Pozn. : Prosté zobrazení zachovává lineární závislost a nezávislost, tj. je-li vzor souboru LN, pak i jeho obraz je LN a obráceně.

  5. Lineární zobrazení Příklad Určete jádro zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1 Nejprve si uvědomme, co je nulový vektor v P1 - je jím polynom θ(t) = 0 + 0t . Určíme všechny vektory z R3, které se na něj zobrazí: To nás dovede na soustavu

  6. Lineární zobrazení Příklad Určete jádro zobrazení z R3 do tělesa R Musí platit což nás vede na jednoduchou soustavu a řešením je tedy což lze ekvivalentně zapsat pomocí lineárního obalu dvou LN řešení:

  7. Lineární zobrazení Příklad Určete jádro zobrazení z P2 do P2 Nulový vektor v P2 - je jím polynom θ(t) = 0 + 0t +0t2 . Určíme všechny vektory z P2, které se na něj zobrazí: kde se α0 vůbec nevyskytuje a může To nás dovede na soustavu tedy být libovolné. Jádro zobrazení je proto

  8. Lineární zobrazení Příklad Nalezněte jádro zobrazení z R3 do R3 Řešíme rovnici tj. soustavu zjevně jen x = (0, 0, 0), tj. ker A = {θ}.

  9. Lineární zobrazení Věta 10. Nechť P, Q jsou vektorové prostory nad T. Nechť soubor vektorů X = (x1, x2, … , xn ) je báze P, Y = (y1, y2, … , yn ) je libovolný soubor vektorů z Q. Potom existuje právě jedno lineární zobrazení A z L(P,Q) takové, že Jinými slovy : lineární zobrazení lze určit tak, že předepíšeme obrazy vektorů z jedné libovolně zvolené báze P. Zobrazení má pak tvar Vektory z Y Souřadnice vektoru w v bázi X Pozn. : Toto je běžný způsob zadávání lineárního zobrazení – předepíšeme, na co se zobrazí soubory z nějaké báze (nejčastěji standardní, je-li zavedena).

  10. Lineární zobrazení Příklad Příklad Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto: Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto:

  11. Lineární zobrazení Příklad Příklad Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto: Zobrazení zadáme pomocí obrazů bazických vektorů (standardní báze) takto:

  12. Lineární zobrazení Příklad Příklad Zkonstruujte předpis operátoru na R3, víte-li, že na standardní bázi působí takto: Zkonstruujte předpis zobrazení R3 do P1, víte-li, že na standardní bázi působí takto:

  13. Izomorfní vektorové prostory Definice 49. Nechť PaQ jsou vektorové prostory nad T. Existuje-li izomorfní zobrazení (tj. prosté a na) A : P -> Q, říkáme, že P a Q jsou izomorfní a značíme Pozn. : existuje-li mezi prostory zobrazení prosté a na, pak lze vektory obou prostorů přiřadit „jedna k jedné“ a prostory tudíž mají mnoho shodných vlastností. Zejména platí, že a dále, že každý vektorový prostor o konečné dimenzi n se chová stejně, jako prostor n-tic Tn. To zajišťuje izomorfní zobrazení tj. zobrazení, které převede libovolný vektor na n-tici jeho souřadnic v nějaké bází X = ( x1, x2, … , xn ). Tomuto zobrazení se někdy říká souřadnicový izomorfizmus.

  14. Matice lineárního zobrazení Definice 50. bázi prostoru Pm , dimPm = m Označme si : bázi prostoru Qn , dimQn = n bázi prostoru Vs , dimVs = s Nechť A je zobrazení z L(P,Q).Matici XAY z prostoru Tmn, jejíž prvky budeme značit XAijY, definovanou nazýváme maticí zobrazení A v bázích X, Y. Speciálně pro zápis matice operátoru v té samé bázi značíme matici jednodušeji jako XA Matici konstruujeme následovně. Necháme zobrazení působit na první bazický vektor z prostoru P. Výsledkem je nějaký vektor z prostoru Q. Najdeme jeho souřadnice v bázi Y a zapíšeme je jako první sloupec hledané matice. Pak vezmeme další bazický vektor P, postup zopakujeme, výsledek zapíšeme do druhého sloupce a tak dále. Pozn. : odsud plyne, že dim L(Pm , Qn) = mxn.

  15. Matice lineárního zobrazení Věta 11. Věta 12. Nechť A je zobrazení z L(Qn, Vs),B je zobrazení z L(Pm, Qn). Pro matici složeného zobrazení platí tj. že skládání zobrazení je ekvivalentní vynásobení jejich matic, pokud si v „prostředním přestupném“ prostoru zvolíme společnou bázi: Pm -> Qn -> Vs báze prostoru Qn Nechť A je zobrazení z L(Pm, Qn). Potom platí, že obraz vektoru z z Pm lze získat vynásobením sloupce jeho souřadnic ve zvolené bázi X a matice zobrazení. Výsledek je sloupec souřadnic obrazu ve zvolené bázi Y. Matice zobrazení A v bázích X, Y XAY = x Souřadnice Az v Y Souřadnice z v X

  16. Lineární zobrazení Příklad Nalezněte matici zobrazení z R3 do prostoru polynomů nejvýše prvního stupně P1 ve standardních bázích Takto působí A na standardní bázi R3 Jelikož standardní báze P1 jsou polynomy 1 a t, budou souřadnice p1, p2 a p3 v této bázi Pozn. : zkuste zobrazením „prohnat“ vektory (1,-1,2) a (3,2,1) nejprve normálně a pak přes matici. Výsledky srovnejte. Utvořte matice od dalších zobrazení a ověřte na bazických vektorech. Tato čísla napíšeme do sloupců a získáme matici

  17. Souvislost se soustavami rovnic Vektorovou lineární rovnicí nazýváme rovnost kde A je zobrazení z L( P, Q) , x vektor z P a b vektor z Q. Rovnice má zjevně řešení pouze v tom případě, že b leží v oboru hodnot A . Pokud je b nulový vektor, nazýváme rovnici homogenní, je-li nenulový, nazýváme rovnici nehomogenní. Množinou všech homogenních řešení je množinu nehomogenních řešení značíme Homogenní lineární rovnice má vždy alespoň jedno řešení – nulový vektor. Pokud A je prosté, pak homogenní i nehomogenní rovnice má právě jedno řešení. Zapíšeme-li zobrazení maticí a vektor souřadnicemi, pak je vektorová rovnice převedena na soustavu číselných lineárních rovnic. Pozn. : vlastnosti matic a zobrazení jsou svázány, například hodnost zobrazení můžeme definovat jednoduše jako hodnost jeho matice (která zůstává stejná nehledě na volbu bází).

  18. Souvislost se soustavami rovnic Věta 12. ker A řešení homo-genní s. všechna řešení partikulární řešení w Nechť A je zobrazení z L(P, Q),b je vektor z Q. Nechť existuje vektor w z P tak, že splňuje rovnici Aw = b. Potom platí, že množina všech řešení rovnice Ax = b se dá zapsat jako Zde vidíme souvislost s Frobeniovou větou. Množina ker A není nic jiného, než množina všech řešení homogenní soustavy Ax = θ, tj. řešení homogenní soustavy číselných lineárních rovnic tvořené maticí zobrazení. Vektor w je pak partikulární řešení negomogenní soustavy. Hledání řešení vektorové lineární rovnice (v prostoru konečné dimenze ovšem) se tak dá vždy převést na hledání řešení soustavy číselných lineárních rovnic.

  19. Inverzní operátor a matice Definice 51. Věta 13. Definice 52. Věta 14. Zobrazení E : V -> V definované vztahem nazýváme identita (identické zobrazení). Pro libovolný operátor z L(V) platí AE = EA = A. Pro regulární A z L(V) existuje operátor A-1 tak, že A-1A = AA-1 = E. Pozn.: pouhá prostota operátoru takovou existenci nezajišťuje (V může mít i nekonečnou dimenzi). Dále platí (A-1)-1 = A. Nechť A a B jsou regulární operátory L(V). Potom AB je také regulární a platí (AB)-1 = B-1A-1. Matici A z Tnn nazýváme čtvercovou maticí řádu n. Čtvercovou matici řádu n nazveme regulární, právě když její hodnost h(A)=n. Pokud h(A)<n, nazýváme ji singulární. Matici E z Tnn, kde nazýváme jednotkovou. Pozn.: pro čtvercové matice libovolného řádu platí A.E = E.A = A. Operátor je regulární právě tehdy, je-li regulární jeho matice (na Vn). Nechť A je operátor z L(Vn), X je báze Vn. Potom platí Tj. matice identity v libovolné bázi je jednotková matice.

  20. Inverzní operátor a matice Věta 15. Věta 16. Věta 17. Buď A regulární matice z Tnn. Potom existuje právě jedna regulární matice B z Tnn tak, že platí A.B = B.A = E. Tuto matici nazýváme inverzní k A a značíme ji A-1. Buď A regulární operátor z L(V), XA jeho matice v bázi X. Potom platí, že matice inverzního operátoru je inverzní matice operátoru původního, tj. : Neplatí to ale pro matici v různých bázích. Gaussova metoda k nalezení inverzní matice : Každou regulární matici A z Tnn lze ekvivalentními řádkovými úpravami převést na jednotkovou. Převedeme-li ( A | E ) ekvivalentními řádkovými úpravami na tvar ( E | B ), pak matice B je inverzní k A.

  21. Vlastní čísla a vektory Definice 53. Nechť V je vektorový prostor nad T, nechť A je operátor z L(V), nechť λ je číslo z tělesa T. Říkáme, že λ je vlastním nebo charakteristickým číslem operátoru A, právě když existuje vektor x ≠ θ takový, že tj. že operátor A protáhne (zkrátí) vektor x na λ-násobek. Vektor x pak nazýváme vlastním nebo charakteristickým vektorem operátoru A. Množinu všech vlastních čísel operátoru nazýváme spektrum a značíme σ(A). Pozn. : Pro vlastní číslo λ a vlastní vektor x operátoru A platí

  22. Vlastní čísla a vektory Věta 18. Nechť a je operátor z L(V),λ je vlastní číslo A. Vlastních vektorů příslušejících k vlastnímu číslu λ je nekonečně mnoho a po přidání nulového vektoru tvoří podprostor prostoru V (nějaký lineární obal). Nechť λ1, λ2, …, λkjsou navzájem různá vlastní čísla operátoru A, nechť x1, x2, …, xk jsou k nim příslušné vlastní vektory. Potom soubor vektorů ( x1, x2, …, xk ) je lineárně nezávislý. Důkaz první části : Buďte x1,x2 navzájem různé vlastní vektory příslušné k vlastní-mu číslu λ. Potom platí, že tj., vektor αx1 je rovněž vlastní vektor příslušný k λ, a zároveň tj., vektor x1 + x2je rovněž vlastní vektor příslušný k λ. Podmnožina všech vlastních vektorů příslušných k λ je tedy uzavřená vůči vektorovým operacím a sama je vektorovým prostorem.

  23. Vlastní čísla a vektory Definice 54. Nechť A je operátor z L(V). Determinant matice operátoru (A – λE) jakožto funkce proměnné λ je polynom stupně právě n: Rovnici det (A – λE) = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí operátoru A. Její kořeny tvoří spektrum operátoru A (jsou-li z tělesa). Pozn. : v prostorech nad komplexním tělesem má každý operátor alespoň jedno vlastní číslo – to plyne ze základní věty algebry. Pozn. : vlastní čísla operátorů jsou důležitá zejména pro kvantovou mechaniku. Tam ovšem pracujeme s operátory na prostorech nekonečné dimenze a charakteristický polynom vytvořit nelze – pro hledání vlastních čísel je potřeba použít jiné metody.

  24. Skalární součin Definice 55. Buď V prostor nad T, buď h zobrazení V x V -> T následujících vlastností: Zobrazení h nazveme skalárním součinem na prostoru V, výraz nazýváme normou na prostoru V a značíme jej ||x||. Příkladem skalárního součinu je kde x = (α1, α2, … , αn) a y = (β1, β2, … , βn) jsou souřadnice vektorů x, y ve standardní bázi. Součin nazýváme překvapivě standardní skalární součin.

  25. Skalární součin Pro skalární součin a normu lze dokázat následující vlastnosti: Schwarzova nerovnost Trojúhelníková nerovnost

  26. Ortogonalita Definice 56. Buď V prostor nad T se skalárním součinem. Vektory x, y z V nazveme ortogonální (kolmé), právě když jejich skalární součin x∙y = 0. Soubor vektorů x1, x2, …, xn nazýváme ortogonální, právě když Soubor nazveme ortonormální, právě když Pozn. : pro ortogonální vektory x, y platí Pythagorova věta ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 a opačně – platí-li pro vektory Pythagorova věta, jsou ortogonální. Pozn. : každý ortogonální (a tím spíše ortonormální) soubor vektorů je lineárně nezávislý Pozn. : pro každý lineární obal [x1, x2, …, xn]λ lze najít ortonormální soubor takový, že [x1, x2, …, xn]λ = [y1, y2, …, ym]λ - tj. vždy existuje ortonormální báze. Například v prostorech se standardním součinem jsou standardní báze ortonormální.

  27. Riezsova věta Věta 19. Riezsova věta : Mějme vektorový prostor V se skalárním součinem. Zvolme pevně vektor y. Přiřadíme-li pak každému vektoru x z V číslo předpisem získali jsme lineární funkcionál na V: ke každému vektoru y z V jsme tak našli lineární funkcionál. Na prostorech konečné dimenze (a v dalších speciálních prostorech) to jde i obráceně – ke každému funkcionálu existuje vektor y takový, že tj. : Pozn. : vektorový prostor a příslušný duální prostor jsou touto větou velmi těsně svázány : jeden vektor – jeden funkcionál. Možnost zaměnit funkcionál a vektor je opět zhusta využíváno v kvantové mechanice.

  28. Sdružený operátor Definice 57. Buď A operátor na prostoru konečné dimenze V. Potom existuje právě jeden operátor označený A* takový, že platí Operátor A* nazýváme sdružený k operátoru A. Pro sdružené operátory platí: Je-li A regulární, pak i A* je regulární a platí (A*)-1 = (A-1)*.

  29. Sdružený operátor Definice 58. Ve speciálních případech operátory nazýváme: normální samosdružený symetrický hermitovský izometrický ortogonální unitární Pozn. : „hvězdičkování“ operátorů je do jisté míry analogie „pruhování“ komplexních čísel – tj. vytváření komplexně sdružených čísel. Například samosdružené operátory hrají roli reálných čísel v komplexní rovině.

  30. Sdružený operátor Definice 59. Nechť A je matice řádu n. Matici A* řádu n definujme jako (A*)ij = Aji a nazýváme ji sdruženou k A. Podle vlastností A pak nazýváme normální samosdružená symetrická hermitovská izometrická ortogonální unitární Pozn. : matice operátoru v ortonormální bázi X (např. standardní) mají stejné vlastnosti jako sám operátor – tj. normální operátor má normální matici, hermitovský operátor má hermitovskou matici (a tak podobně) a platí

  31. Sdružený operátor Věta 20. Buď A operátor na prostoru konečné dimenze se skalárním součinem V. Potom platí: 1) Je-li A samosdružený, pak det A je reálný. 2) Je-li A izometrický, pak det A = 1. 3) Je-li A ortogonální, pak existuje ortonormální báze, ve které má A matici ve tvaru

  32. Sdružený operátor Důsledek - na prostorech dimenze 2 jsou jen čtyři možnosti, jak zkonstruovat ortogo-nální operátor: operátor identity (E) operátor překlopení podle osy operátor souměrnosti podle počátku operátor rotace o úhel φ

  33. Shrnutí • Lineární zobrazení, operátor a funkcionál • Duální prostor • Jádro zobrazení, předpis zobrazení bazickými vektory • Izomorfizmus • Matice lineárního zobrazení • Souvislost lineárních zobrazení a soustav rovnic • Inverzní operátor a matice • Vlastní čísla a vektory • Skalární součin a norma • Ortogonalita • Riezsova věta • Sdružené operátory

More Related