Teoria del Portafoglio

1. Teoria del Portafoglio V. D’Amato Dipartimento di scienze Economiche e Statistiche, Università di Salerno – Italia -e-mail: vdamato@unisa.it

2. Esercizio Es. 1-Consideriamo sia assegnata la seguente distribuzione di probabilità al titolo A1: Rendimenti Probabilità 2.5 0.3 7.8 0.3 20.4 0.4 totale 1 Si calcolino i valori di rendimento atteso, varianza e s.qm.

3. Esercizio Calcolare il portafoglio a varianza minima (cioè le coordinate che lo definiscono di rendimento atteso e s.q.m) nel seguente esercizio Siano dati i due titoli A1 ed A2 per i quali siano: m1=10 m2=50 s1=10 s2=30 r12=-0.1

4. Esercizio Svolgimento: Dalla si ha: s2(x1)=100x12+900(1-x1)2-60x1(1-x1) s2(x1)=1060x12-1860x1+900 Annullando la derivata rispetto ad x1 si ha: 2120x1-1860=0 da cui: x1=0.8774 x2=1-x1=0.1226 x1 è un punto di minimo (la derivata seconda di s2(x1) è sempre positiva). Si investirà dunque il 93.1% nella prima attività ed il rimanente 6.9% nella seconda. Il rendimento medio e lo scarto quadratico medio del portafoglio così ottenuto saranno rispettivamente: m=14.9036 s=9.1682

5. Esercizio Calcolare il portafoglio a varianza minima (cioè le coordinate che lo definiscono di rendimento atteso e s.q.m) nel seguente esercizio Siano dati i due titoli A1 ed A2 per i quali siano: m1=5 m2=40 s1=5 s2=30 r12=-0.3

6. Esercizio Svolgimento: Dalla si ha: s2(x1)=25x12+900(1-x1)2-90x1(1-x1) s2(x1)=1015x12-1890x1+900 Annullando la derivata rispetto ad x1 si ha: 2030x1-1890=0 da cui: x1=0.931 x2=1-x1=0.069 x1 è un punto di minimo (la derivata seconda di s2(x1) è sempre positiva). Si investirà dunque il 93.1% nella prima attività ed il rimanente 6.9% nella seconda. Il rendimento medio e lo scarto quadratico medio del portafoglio così ottenuto saranno rispettivamente: m=7.415 s=4.491

7. Esercizio Consideriamo i tre titoli rischiosi A1, A2 ed A3 con i seguenti rendimenti medi m1=12, m2=14, m3=16 e con la seguente matrice delle varianze/covarianze: Per costruire il portafoglio Pfmin caratterizzato dalla minima varianza occorre trovare il minimo della funzione: con il vincolo che

8. Esercizio La soluzione di questo problema di massimizzazione vincolata può essere individuata introducendo la lagrangiana: dove l è il moltiplicatore di Lagrange.

9. Esercizio In corrispondenza di una soluzione ottimale di portafoglio le 4 derivate parziali di L rispetto a x1, x2, x3, l sono uguali a 0. La soluzione al seguente sistema lineare (soluzione unica se la matrice var/cov è non singolare): dove l è il moltiplicatore di Lagrange.

10. N TITOLI RISCHIOSI ED 1 NON RISCHIOSO La nuova regione delle opportunità di portafoglio degli n titoli rischiosi con uno non rischioso sarà individuata da tutte le possibili semirette di origine A passanti per un punto di S (il luogo delle opportunità di portafoglio relativa solo agli n titoli rischiosi) La frontiera efficiente sarà individuata dalla semiretta AT, dove T è il punto di tangenza della semiretta con origine in A con la frontiera efficiente relativa alla regione S, la cui inclinazione indicheremo con a.

11. N TITOLI RISCHIOSI ED 1 NON RISCHIOSO La nuova frontiera efficiente è costituita dunque dal segmento AT se non sono possibili vendite allo scoperto o da un segmento più lungo se invece ciò è possibile. I portafogli che si trovano sulla semiretta TB sono infatti quelli realizzati solo se è possibile vendere, alle stesse condizioni, il titolo a reddito certo: vendendo allo scoperto quote di A0 e assumendo quindi la posizione short, si ottiene un capitale che, aggiunto a quello inizialmente posseduto, si investirà nel titolo rischioso

12. Teorema di Separazione La determinazione oggettiva del portafoglio T (di tangenza) è connessa alla determinazione soggettiva del portafoglio ottimo PF costituito dalle attività rischiose e da quella non rischiosa che avviene introducendo le curve di indifferenza dell'investitore in questione.

13. Teorema di Separazione L’investitore ripartirà la sua disponibilità tra gli n impieghi rischiosi (rappresentati dal punto T) e quello non rischioso, in conseguenza della sua personale avversione al rischio (teorema della separazione, per il quale appunto ogni investitore dividerà a suo modo il proprio capitale tra l'impiego rischioso T e quello non rischioso )

14. Teorema di Separazione La decisione circa la composizione del portafoglio fra quota destinata all’investimento senza rischio e quota destinata al portafoglio rischioso avviene in modo soggettivo (grado personale di avversione al rischio) mentre la ripartizione della ricchezza fra i titoli che compongono il portafoglio tutto rischioso rispecchia esattamente le proporzioni con le quali tutti i titoli presenti sul mercato compongono M.

15. Modello di Sharpe Per rappresentare il problema di scelta del portafoglio in Markowitz, si devono conoscere rendimenti attesi; varianze; coefficienti di correlazione lineare ρij o covarianze. È evidente l'elevato costo delle attività di informazione per fornire i parametri al modello di Markowitz.

16. Modello di Sharpe Questo è uno dei motivi che hanno favorito la ricerca di semplificazioni del modello stesso. Tra i modelli semplificati proposti verranno analizzati in seguito il modello diagonale di Sharpe e modelli a più indici.

17. Modello di Sharpe Il modello di Sharpe assume che i rendimenti dei titoli o business siano influenzati solo e soltanto da un unico fattore. In pratica Sharpe propone di calcolare il rendimento di un titolo attraverso una funzione lineare in cui la variabile esogena è data dall’andamento, variazione, rendimento di un basic underlying factor(trattando azioni, l'indice potrebbe essere quello del mercato azionario).

18. Modello di Sharpe Il modello di Sharpe ipotizza un meccanismo di generazione dei rendimenti che fa riferimento ad un unico fattore comune a tutto il mercato. Il rendimento atteso per il generico titolo è definito dall’equazione:

19. Modello di Sharpe Per quanto riguarda il coefficiente , se si trascura la componente di errore, esso esprime il rendimento medio del titolo i-esimo quando il rendimento del mercato è zero. Il coefficiente indica invece di quanto varia, e in che direzione, il rendimento del singolo titolo al variare di una unità del rendimento di mercato, ed è finanziariamente interpretato come sensibilità del titolo i-esimo. Il beta viene usato come misura del rischio sistematico di un titolo, ossia non eliminabile tramite la diversificazione.

20. Modello di Sharpe

21. Modello di Sharpe Sharpe ha sviluppato di un modello di mercato, il “Single Index Model”, basato sull’idea di scomponibilità del rischio in due dimensioni: la prima legata all'andamento generale del mercato (rischio sistematico), l'altra legata alla variabilità del rendimento del singolo titolo (rischio non sistematico).