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第三篇 空间解析几何

内容提要 ：. 第三篇 空间解析几何. . 空间直角坐标系. . 矢量代数. . 平面与直线. . 一些空间曲面与曲线. 竖轴. 纵轴. 定点. 横轴. 第一节 空间直角坐标系. 一、空间直角坐标系. 三个坐标轴的正方向符合 右手系. 空间直角坐标系. Ⅲ. 面. 面. Ⅱ. Ⅳ. Ⅰ. 面. Ⅵ. Ⅶ. Ⅴ. Ⅷ. 空间直角坐标系共有 八个卦限. 二、空间两点间的距离. 空间两点间距离公式. 特殊地：若两点分别为. 三 . 曲面与方程. 定义：. 例 1. 解. 例 2. 解. 从以上二例可见：.

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第三篇 空间解析几何

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Presentation Transcript

  1. 内容提要： 第三篇 空间解析几何  空间直角坐标系  矢量代数  平面与直线  一些空间曲面与曲线

  2. 竖轴 纵轴 定点 横轴 第一节 空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 空间直角坐标系

  3. Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限

  4. 二、空间两点间的距离

  5. 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为

  6. 三. 曲面与方程 定义：

  7. 例1 解

  8. 例2 解

  9. 从以上二例可见：

  10. 四.曲线与方程 空间曲线的一般方程

  11. | | 第二节矢量代数 一、矢量的概念 既有大小又有方向的量. 矢量： 或 矢量表示： 或 矢量的模：向量的大小. 单位矢量：模长为1的向量. 或 零矢量：模长为0的向量.

  12. 不考虑起点位置的向量. 空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量. 自由向量： 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 大小相等但方向相反的向量. 负向量： 向径：

  13. 非零向量 的方向角： 向量的模与方向余弦的坐标表示式 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.

  14. 由图分析可知 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量模长的坐标表示式

  15. 当时， 向量方向余弦的坐标表示式

  16. 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为

  17. 所求向量有两个，一个与同向，一个反向 例1求平行于向量 的单位向量的分解式. 解 或

  18. 空间一矢量在轴上的投影

  19. 关于向量的投影定理 证

  20. ‖ 二、矢量的加减法 [1] 加法： （平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 分为同向和反向 特殊地：若

  21. 矢量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法

  22. 三、矢量的数乘

  23. 数与矢量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系

  24. 充分性显然； ‖ 证 必要性 两式相减，得

  25. 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果 是一个与原向量同方向的单位向量.

  26. 例２化简 解

  27. 四、矢量的数积 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 启示 定义

  28. 关于数积的说明： 证 证

  29. （3） 若 、 为数： 若 为数： 数积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律：

  30. 设 数量积的坐标表达式

  31. 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为

  32. 解

  33. 证

  34. 五、矢量的矢积 实例

  35. r r r c a b // 定义 的方向既垂直于 ，又垂直于 ，指向符合 右手系 . 关于矢积的说明：

  36. // // （3）若 　为数： 证 矢积符合下列运算规律： （1） （2）分配律：

  37. 设 向量积的坐标表达式

  38. // 矢积还可用三阶行列式表示 由上式可推出

  39. 例如， 补充

  40. 解

  41. 解 三角形ABC的面积为

  42. 六、矢量的混合积 定义 设 混合积的坐标表达式

  43. 关于混合积的说明： （1）矢量混合积的几何意义：

  44. 例５ 解

  45. 解

  46. 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.

  47. 第三节 平面与直线 一.平面方程 定义： 由于：

  48. 设

  49. 又 例1 解

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