§8 ． 2 偏 导 数

1. §8．2 偏 导 数 一、偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义、 偏导函数 偏导数与导数的关系、 偏导数与连续性 二、高阶偏导数 二阶偏导数、 关于二阶混合偏导数的定理

2. ， ， ， 一、偏导数的定义及其计算法 偏导数的定义： 设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义， 当y固定 相应地函数有增量 在y0而x在x0处有增量x时， f (x0x，y0)f(x0，y0) ， 如果极限 存在， 则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数， 记作 或 fx(x0，y0)．

3. ， ， 类似地， 函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数定义为 记作 或 fy(x0，y0)．

4. ， ， ， ， 偏导函数： 如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x的偏导数都 存在， 它就称为函数zf(x，y) 那么这个偏导数就是x、y的函数， 对自变量的偏导函数，记作 zx， 或 fx(x，y)． 类似地， 可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导函数， 记为 zy， 或 fy(x，y)．

5. =[ f (x，y0)] ． = fx(x，y) ． = [f (x0，y)] ． = fy(x，y) ． 偏导数与导数的关系： fx(x0，y0) fy(x0，y0) 偏导数与偏导函数的关系： fx(x0，y0) fy(x0，y0)

6. 例1求zx23xyy2在点(1，2)处的偏导数． 解 2x3y， 3y2y． 3·12·27 ． 2·13·28， 例2求zx2 sin 2y的偏导数． 解 2x sin 2y， 2x2 cos 2y．

7. ， ． yxy1， xyln x． 解 xyxy 2z． 解

8. ； ， ； ， ， ． p  因为 证 V  T  所以 1．

9. zf(x，y0) z zf(x0，y) y0 O y x0 x 二元函数zf(x，y)在点(x0，y0)的偏导数的几何意义： Tx Ty M0

10. 偏导数与连续性： 对于多元函数来说， 即使各偏导数在某点都存在， 也不能保 例如 证函数在该点连续． f(x，y) 在点(0，0)有， fx(0，0)0 ，fy(0，0)0． 但函数在点(0，0)点并 不连续．

11. fx(x，y)， fy(x，y).， 二． 高阶偏导数 二阶偏导数： 设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数 如果这两个函数 那么在D内fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y的函数． 的偏导数也存在， 则称它们是函数zf(x，y)的二偏导数． 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 fxx(x，y) ， fxy(x，y)， fyx(x，y) ， fyy(x，y) ．

12. fxy(x，y)， fyx(x，y) ， 其中 称为混合偏导数． 同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数． 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数． 类似在可定义二元以上函数的高阶偏导数．

13. 解 3x2y23y3y， 2x3y9xy2x； 6xy2， 6x2y9y21； 6x2y9y21， 2x318xy； 6y2．

14. 定理 如果函数zf(x，y)的两个二阶混合偏导数 及 则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等． 在区域D内连续，

15.  ln(x2y2)， ， ， ， ， 证 因为 所以 =0．

16. 例8 证明函数 满足方程   0 ， 其中 ． ， ， 证 =0．