М А Т Е М А Т И К А

1. М А Т Е М А Т И К А ХIII.ТЕОРИЯВЕРОЯТНОСТЕЙиМАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКИ

2. Лекция ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ. ЧАСТОТА СОБЫТИЙ. 1.Основныепонятиятеориивероятностей. Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности массовых однородных случайных явлений. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события (случайное событие). Определение. Под событием понимают любой факт, который может произойти, а может и не произойти в результате опыта, или испытания. Под опытом, или испытанием понимают осуществление определённого комплекса условий, приводящих к определённому результату. События обозначаются: А,В,С,… Для каждого опыта можно указать некоторую совокупность (множество) взаимоисключающих событий, причём в результате одного опыта должно осуществиться какое-нибудь одно из них. Такая совокупность называется пространством элементарных событий , связанных с данным опытом, а входящие в него события называются элементарными событиями

3. Каждое случайное событие , которое может осуществиться в результате опыта, сопоставимо с группой соответствующих ему элементарных событий из . Определение. Элементарные события , входящие в состав случайного события , называются событиямиблагоприятствующими появлению события . Это означает, что в результате опыта случайное событие произойдёт, если осуществиться какое-нибудь из благоприятствующих ему элементарных событий, и не произойдёт в противном случае. Каждое элементарное событие является случайным. Всё пространство является случайным событием, которое обязательно произойдёт. Определение. Событие, которое в результате опыта обязательно произойдёт, называется достоверным событием. Геометрически случайные события изображаются множеством точек области , т.е. областями, лежащими внутри . (Достоверному событию соответствует вся область ).

4. Определение. События и называются равносильными (эквивалентными), если они состоят из одних и тех же элементарных событий. Обозначение: Определение. Событие называется следствием события , если из появления события следует появление события . Обозн. Определение. Несколько событий в донном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Определение. Несколько событий в данном опыте называются совместными, если хотя бы два из них могу произойти одновременно; если никакие два из нескольких событий не могут произойти одновременно, они называются несовместными. Определение. Группа несовместных событий называется полнойгруппойсобытий, если в результате опыта обязательно произойдёт одно и только одно событие из этой группы. (Геометрически это означает, что области делят всю область на частей, не имеющих попарно общих точек).

5. 2. Операции надсобытиями. Определение. Суммой (или объединением) двух событий и называется событие , которое состоит в осуществлении события . или события , или событий и вместе. Обозначение: или или либо и и Если событие эквивалентно сумме (объединению) событий то пишут или Если события образуют полную группу событий, их сумма является достоверным событием, т.е. Определение. Произведением (или пересечением) двух событий и называется событие , которое состоит в осуществлении и события и события . Обозначение: или и Аналогично определяется произведение (пересечение) любого конечного числа событий.

6. Определение. Разностью событий и называется событие , состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит. Обозначение: или и Определение. Событие называется противоположнымсобытию (или дополнением к ). Обозначается: Определение. Событие , противоположное событию называется невозможнымсобытием, т.е. событие невозможно, если в результате опыта оно не может произойти. Противоположные события и представляют собой простейший случай полной группы событий. Из определения суммы, произведения и разности событий, а также достоверного, невозможного и противоположного событий следует: 1) 7) 13) 2) 8) 14) 3) 9) 15) 4) 10) 16) 5) 11) 17) 6) 12) 18)

7. Пример. Показать, что Решение. Используя формулы 1) – 18), получим 3. Частотасобытий. Определение.Частотой случайного события в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых произошло данное событие, к общему числу опытов. Обозначение: где - число опытов, в которых произошло событие , - общее число опытов. При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной серии опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота события всё более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине.

8. Лекция НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙПОДСЧЁТВЕРОЯТНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯВЕРОЯТНОСТЬ. КОМБИНАТОРИКА. 1. Непосредственныйподсчётвероятности. Для количественного сравнения между собой событий по степени возможности их появления вводится определённая мера, которая называется вероятностью события. Определение. Вероятностью случайногособытия называетсяпостоянное число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа опытов. (Статистическое определение вероятности события). Обозначение вероятности: Определение. Если пространство , связанное с опытом, состоит из конечного числа равновозможных элементарных событий , то вероятностью любого случайного события в таком опыте равна отношению числа благоприятствующих ему элементарных событий (т.е. влекущих за собой появление события ) к их общему числу . (Классическое определение вероятности события).

9. Пример. Пусть в закрытой урне имеется 12 белых и 8 чёрных шаров. Найти вероятность достать из урны за одно испытание один белый шар Решение. При выборе шара наугад равновозможно предоставляется взять любой из 20 шаров, следовательно, . Из этих 20 равновозможных элементарных событий 12 благоприятствуют выбору белого шара, т.е. . Таким образом, (Рассуждая аналогично, можно показать, что вероятность достать из этой урны чёрный шар равна 0,4). Основные свойства вероятности. Из формулы (53.1) следует: 1) , - случайное событие; 2) вероятность достоверного события равна единице, так как для того, чтобы событие обязательно произошло, все элементарные события должны ему благоприятствовать, т.е. , тогда ; 3) вероятность невозможного события равна нулю, так как ни одно элементарное событие в опыте не благоприятствует такому событию т.е. , тогда .

10. 2. Геометрическаявероятность. Если пространство , связанное с опытом, содержит бесконечное множество элементарных событий, то формула (53.1) неприменима. Иногда в таких случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности, в котором по-прежнему основную роль играет понятие равновозможности некоторых событий. Применяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному «бросанию точки» на конечный участок прямой, плоскости или пространства. Отсюда и название этого метода – геометрическая вероятность. Если - геометрическая мера всей области, а - геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию , то вероятность события равна 3. Комбинаторика. В теории вероятностей (и других разделах математики) иногда используются комбинации (соединения) элементов какого-либо множества. Наиболее часто встречаемые в комбинаторике соединения: размещения, перестановки, сочетания.

11. Определение. Соединения из элементов по в каждом, отличающиеся друг от друга как порядком элементов, так и самими элементами, называются размещениями. Число размещений подсчитывается по формуле: Определение. Соединения из элементов по в каждом, отличающиеся друг от друга только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок подсчитывается по формуле: ( ! - факториал) Определение. Соединенияиз элементов по в каждом, отличающиеся друг от друга только самими элементами, называются сочетаниями. Число сочетаний подсчитывается по формуле:

12. Пример. Из 40 изделий, среди которых 5 бракованных, наугад берётся 6 изделий. Найти вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 бракованных. Решение. В качестве элементарного события рассматриваем выбор определённой группы из 6 изделий(порядок изделий в группе произволен). Так как любая комбинация из 40 по 6 изделий имеет одинаковую возможность появления, то пространство будет содержать равновозможных элементарных событий. Обозначим через событие, выражающее появление двух бракованных изделий среди выбранных наугад 6 изделий. Так как всех бракованных изделий 5, то число способов, которыми можно выбрать 2 бракованных изделия, равно . Аналогично 4 годных изделия, входящих в 6 изделий, можно выбрать из общего числа 35 годных изделий способами. Каждую группу, состоящую из 2 бракованных изделий, можно соединить с каждой группой, состоящей из 4 годных изделий. Следовательно, общее число элементарных событий, благоприятствующих появлению события , равно . Такимобразом,

13. Лекция ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 1. Теоремасложениявероятностей. Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Доказательство. Пусть опыт сводится к совокупности равновозможных элементарных событий, из которых благоприятны появлению события , а - событию . Тогда Так как события и несовместны, то нет таких элементарных событий, которые благоприятны и и . Следовательно, благоприятны событию элементарных события (случая), тогда Из формул (54.3),(54.2) следует Теорема доказана.

14. Следствие 1. Обобщим теорему сложения на случай трёх событий: Методом полной математической индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий: Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Следствие 2. Еслисобытия образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. Доказательство. Так как образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие: а в силу несовместности событий к ним применима теорема сложения вероятностей: откуда ч.т.д. Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Это есть следствие Следствия 2, т.к. образуют полную группу событий.

15. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события, чем вероятность прямого события. В этих случаях вычисляют и находят . Пример. Круговая мишень состоит из трёх зон. Вероятность попадания в первую зону равна 0,12, во вторую – 0,18, в третью – 0,15. Найти вероятность промаха. Решение. Обозначим - промах, - попадание, тогда где несовместные события - попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны. Откуда искомая вероятность. Теорема. Если события и совместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления Справедливость этого утверждения следует из геометрической интерпретации. Примечание. Если перейти к противоположным событиям, то

16. 2. Теоремаумножениявероятностей. Условнаявероятность. Определение. Событиеназывается независимым отсобытия, если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет. Определение. Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет. Определение. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условнойвероятностью события и обозначается: или . Пример.В урне 2 белых шара и 1 чёрный шар. Два человека вынимают из урны по одному шару. Рассматриваются два события: - появление белого шара у первого человека, - появление белого шара у второго человека. Вероятность дотого, какизвестночто-либоособытии . Если стало известно, что событие произошло, то вероятность из чего заключаем, что событие зависит от события . Условие независимости события от события можно записать в виде а условие зависимости - в виде:

17. Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое произошло. Доказательство. Пусть возможные исходы опыта сводятся к случаям (случаями называют полную группу несовместных равновозможных элементарных событий). Предположим, что событию благоприятны случаев, а событию благоприятны случаев. Так как мы не предполагали , что события и несовместны, то вообще говоря существуют случаи благоприятные и событию и событию одновременно. Пусть число таких случаев , тогда Вычислим , т.е. условную вероятность события в предположении, что имело место. Если известно, что событие произошло, то из ранее возможных случаев остаются возможными только те , которые благоприятствовали событию . Из них случаев благоприятны событию , следовательно, Отсюда ч.т.д.

18. Примечание. Очевидно, при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий или считать первым, а какое вторым, поэтому теорему умножения можно записать и в таком виде: Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события . Доказательство. Дано, что событие не зависит от , т.е. Требуется доказать, что событие не зависит от , т.е. Запишем теорему умножения вероятностей в двух формах (предполагая, что ): Откуда Разделим обе части равенства (54.12) на , получим: ч.т.д. Из Следствия 1 вытекает, что зависимость или независимость событий всегда взаимна. Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий Доказательство следует из определения независимых событий.

19. Теорема. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причём вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место: Доказательство может быть дано методом индукции. Определение. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных. В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид: Пример 1. В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Решение. Обозначим - появление двух белых шаров. Событие представляет собой произведение двух событий: - появление белого шара при первом вынимании; - появлении белого шара при втором вынимании. По теореме умножения вероятностей имеем: Пример 2. Те же условия, что и в Примере 1, но после первого вынимания шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Решение. Так как в данном случае независимы, то

20. Лекция ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА. 1. Формулаполнойвероятности. Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. (Эти события называют гипотезами). Теорема.(Формула полной вероятности) Вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе. Доказательство. Таккакгипотезы образуют полную группу то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез: Так как гипотезы несовместны, то и их комбинации также несовместны. Применяя к ним теорему сложения, получим: Применяя к событию теорему умножения, получим ч.т.д.

21. Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне 2 белых и 1 чёрный шар, во второй урне 3 белых и 1 чёрный шар, в третьей урне 2 белых и 2 чёрных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из неё шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Решение. Рассмотрим три гипотезы: - выбор первой урны, - выбор второй урны, - выбор третьей урны, и событие -появление белого шара. Так как гипотезы по условию равновозможны, то Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно равны: По формуле полной вероятности 2. ФормулаБейеса (теоремагипотез). Поставим такую задачу. Имеется полная группа несовместных гипотез Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Произведён опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

22. Решение. Из теоремы умножения имеем: откуда и по формуле полной вероятности получим: Формула (55.2) называется формулойБейеса или формулойгипотез. Пример 2. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах, Вероятность обращения в каждый из двух магазинов соответственно равны 0,1 и 0,9. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 – для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретёт нужный ему товар? Какова вероятность того, что он купит товар в первом магазина? Решение. Пусть событие - покупатель приобрёл товар, событие - покупатель обращается в первый магазин, - во второй магазин. Отсюда

23. Лекция ПОВТОРЕНИЕОПЫТОВ. ФОРМУЛАБЕРНУЛЛИ. 1. Повторныенезависимыеиспытания. Определение. Ряд, последовательно осуществляемых испытаний, в результате каждого из которых может наступить некоторое событие , причём вероятность наступления события в каждом отдельном испытании не зависит от результатов предшествующих и последующих испытаний, называются повторными независимыми испытаниями Теорема. Если производится независимых опытов, в каждом из которых событие появляется с вероятностью , то вероятность того, что событие появится ровно раз выражается формулой: где и число сочетаний . Доказательство.Рассмотрим событие , состоящее в том, что появится в опытах раз. Это событие может осуществиться различными способами. Разложим событие на сумму произведений событий, состоящих в появлении или не появлении события в отдельном опыте. Обозначим появление события в опыте, - не появление события в опыте. Очевидно, каждый вариант появления события (каждый член суммы) должен состоять из появлений события и не появлений.

24. Таким образом, причём в каждое произведение событие входит раз, а - раз. Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. числу способов, какими можно из опытов выбрать , в которых произошло событие . Вероятность каждой такой комбинации, по теореме умножения для независимых событий равна . Так как комбинации между собой несовместны, то по теореме сложения вероятностей, вероятность события равна: Эта формула называется формулой Бернулли. Примечание 1. Можно показать, что вероятность появления события хотя один раз при опытах вычисляется по формуле: Примечание 2. Наивероятнейшеечислонаступления события в опытах, в каждом из которых оно наступает с вероятностью ( и не наступает с вероятностью ), определяется из двойного неравенства

25. Примечание 3. Если событие в каждом опыте наступает с вероятностью , то количество опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с вероятностью можно утверждать, что событие произойдёт по крайней мере один раз, находят по формуле: Примечание 4. Если производится независимых опытов и вероятность появления события в -ом опыте равна ( ), то вероятность того, что событие появится раз равна коэффициенту при в разложении по степеням производящей функции: где - произвольный параметр, . Пример 1. Прибор состоит из десяти узлов. Надёжность (вероятность безотказной работы в течение времени ) для каждого узла равна 0,95 Узлы выходят из строя независимо один от другого. Какова вероятность того, что за время откажет не более одного узла? Решение. Пусть событие состоит в том, что в течение времени не откажет ни один узел, а событие - в том, за это время откажет только один узел. Тогда Отсюда и из несовместности событий искомая вероятность:

26. Пример 2. Устройство состоит из шести независимо работающих элементов. Вероятность отказов каждого из элементов за время одинаковы и равны 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. Решение. В данном случае По формуле , получим Пример 3. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,88. Найти наивероятнейшее число стандартных изделий в партии из 300 изделий. Решение. Применяяформулу (56.3) при получаем (т.к. только целое число). Пример 4. Вероятность того, что изготовленная на станке деталь не отвечает стандарту равна 0,01. За какой промежуток времени работы станка вероятность изготовления хотя бы одной нестандартной детали будет не менее 0,952, если за один час изготавливают 20 деталей? Решение. По формуле (56.4) найдём сначала количество изготавливаемых деталей, содержащих с вероятностью по крайней мере одну нестандартную деталь, если вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,01:

27. Пример 5. Вероятность перегорания первой, второй, третьей и четвёртой ламп за время равны соответственно 0,2;0,3;0,1;0,4. Найти вероятность того, что за время : а) не перегорит ни одна из ламп; б) перегорит одна, две, три, четыре лампы; в) перегорит хотя бы одна лампа; г) перегорит не менее двух ламп. Решение. Так как перегорание каждой лампы не зависит от времени работы остальных ламп, то для решения задачи применим производящую функцию (56.5), которая при заданных вероятностях принимает вид: Откуда а) б) в) Вероятность того, что за время перегорит хотя бы одна лампа, находим по формуле (56.2) с учётом различных значений для вероятностей : г) Пусть событие состоит в том, что перегорит не менее двух ламп, тогда противоположное ему событие состоит в том, что не перегорит одна либо ни одной лампы. Тогда

28. Замечание. Если величина велика ( ), то пользоваться формулой Бернулли нецелесообразно. В этом случае можно воспользоваться либо локальной теоремой Лапласа, либо формулой Пуассона, либо интегральной теоремой Лапласа. Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события равна , событие произойдёт раз, приближённо равна: или где и Формула Пуассона. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события равна и произведение постоянно равна Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события постоянна и равна событие наступит не более раз и не менее раз приближённо равна: где функция Лапласа.

29. Лекция ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине. Определение. Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причём неизвестно заранее какое именно. Обозначение СВ: ,… и возможные значения СВ:Примеры СВ: число бракованных деталей, ошибка при измерениях и др. Определение. Случайные величины, принимающие только конечное или счётное множество значений называются прерывными или дискретнымислучайнымивеличинами. Определение. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывнымислучайнымивеличинами. Если «классическая» теория вероятностей оперирует в основном событиями, то современная теория вероятностей предпочитает оперировать, где только возможно, со случайными величинами.

30. Например, производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие . Вместо события можно рассмотреть случайную величину , которая равна 1, если событие происходит, и равно 0, если событие не происходит.Случайная величина , очевидно, является дискретной – она имеет два возможных значения: 0,1. Эта случайная величина называется характеристической случайной величиной события . На практике часто вместо события оказывается удобнее оперировать характеристическими случайными величинами. Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события , то общее число появлений событий равно сумме характеристических случайных величин события во всех опытах. С другой стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие с какой-нибудь непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин). Пусть, например, производится стрельба по квадратной мишени со стороной , центр которой совпадает с началом координат. Событие - попадание в цель, очевидно, равносильно выполнению двух неравенств: где (координаты точки попадания) – непрерывные случайные величины. Вероятность - вероятность совместного выполнения (57.1).

31. Рассмотрим прерывную случайную величину с возможными значениями Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина примет одно из этих значений, т.е. произойдёт одно из полной группы несовместных событий: …, Обозначим вероятности этих событий: …, Так как несовместные события (57.2) образуют полную группу, то т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий (57.1). Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины. Определение. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения СВ.

32. Лекция ЗАКОНЫРАСПРЕДЕЛЕНИЯСЛУЧАЙНЫХВЕЛИЧИН. 1. Законыраспределениядискретнойслучайнойвеличины. а) Ряд распределения. Простейшей формой задания закона распределения для дискретной СВ является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности: Такую таблицу называют рядом распределения СВ X. Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником(полигоном) распределения. Однако ряд распределения не является универсальным законом распределения. Он существует только для дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин ряд распределения построить нельзя.

33. б) Функция распределения. Определение. Функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины называется задание вероятности выполнения неравенства , рассматриваемой как функция аргумента . Обозначение Функция распределения является универсальным законом распределения СВ: она имеет место как для дискретной, так и для непрерывной. Функция распределения дискретной СВ Х вычисляется по формуле: Где суммирование ведётся по всем значениям , для которых Свойствафункциираспределения. 1) (по определению); 2) 3) 4) - неубывающая функция, т.е. при 5) - непрерывная слева, т.е.

34. Можно показать, что вероятность попадания СВ Х на произвольный интервалдействительной оси определяется формулой: Если неограниченно уменьшать интервал , полагая, что , то получим: Если в точке функция имеет разрыв, то предел (58.4) равен значению скачка функции в точке . Если непрерывна в точке то предел равен нулю. Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной СВ Х равна нулю. Из того, что событие имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться; следует только, что при неограниченном повторении опытов это событие будет появляться сколь угодно редко (так как при большом числе опытов частота приближается к вероятности).

35. 2. Законы распределения непрерывной случайной величины. а) Плотность распределения. Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ Х на участок от до : т.е. приращениефункциираспределениянаэтомучастке. Определение. Плотностью распределения (плотностью распределения вероятности или дифференциальным законом распределения) СВ Х называется предел отношения вероятности попадания её на элементарный участок от до к длине участка , когда Отсюда Функция - производная функции распределения, характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.

36. Определение. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения. Величина называется элементом вероятности. Вероятность того, что непрерывная СВ Х примет какое-нибудь значение из промежутка : Свойства плотности распределения. 1) 2) 3) Замечание. Функция распределения как всякая вероятность есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения , как видно из определения, обратная размерности случайной величины.

37. 3. Числовые характеристики случайных величин. Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако, во многих вопросах практики зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. Среди числовых характеристик случайной величины нужно прежде всего отметить те , которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси: математическое ожидание, мода, медиана. Определение. Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием. Обозначается: или Формулой (58.7) математическое ожидание, строго говоря, определяется только для дискретной случайной величины.

38. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется интегралом: где - плотность распределения СВ Х. Определение. Наиболее вероятное значение дискретной случайной величины и значение, при котором плотность вероятности непрерывной случайной величины максимальна, называется модой случайнойвеличины (дискретной или непрерывной соответственно). Обозначение Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным. Если распределение обладает не максимумом, а минимумом, то его называют антимодальным. В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным и модальным (т.е. имеет моду) и существует математическое ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения.

39. Определение. Значение случайной величины , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т.е. называется медианой случайнойвеличины. Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой. Кроме характеристик положения употребляются ещё ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты. Определение. Начальным моментом - го порядка называется для дискретной СВ Х сумма вида: для непрерывной СВ Х интеграл: Очевидно, что первым начальным моментом является математическое ожидание.

40. Определение. Центрированной случайной величиной, соответствующей СВ Х, называется отклонение случайной величины от её математического ожидания: Определение. Центральным моментом порядка СВ Х называется математическое ожидание - й степени, соответствующей центрированной случайной величины для дискретной СВ : для непрерывной СВ: Теорема. Центральный момент первого порядка для любой случайной величины равен нулю. Доказательство. Второй центральный момент характеризует рассеивание, разбросанность значений случайной величины около её математического ожидания и называется дисперсией (рассеивание).

41. Определение. Дисперсией случайной величины называетсяматематическоеожиданиеквадратасоответствующейцентрированнойвеличины. Обозначение Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы: - соответственно для дискретных и непрерывных случайных величин. Иногда удобно для вычисления дисперсии пользоваться формулой: которая легко доказывается с помощью формул (58.17),(58.18). Дисперсия СВ имеет размерность квадрата СВ . Для наглядности характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной называемой средним квадратическим отклонением («стандартом»): размерность которой совпадает с размерностью СВ.

42. Пример. Плотность вероятности СВ Х : при и при Определить: коэффициент ; функцию распределения СВ Х; математическое ожидание и дисперсию СВ Х; вероятность попадания СВ Х в интервал Решение. Для определения воспользуемся свойством 2 плотности вероятности Функцию распределения СВ Х определим по формуле: следовательно, Пользуясь определением математического ожидания и дисперсии, и Вероятность попадания СВ Х в заданный интервал вычислим по формуле (58.5):

43. Лекция Равномерное, биномиальное и нормальное распределение случайной величины. 1. Равномерное распределение. В некоторых задачах практики встречаются непрерывные СВ, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определённого интервала; кроме того известно, что в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (точнее, обладают одной и той же плотностью вероятности). О таких случайных величинах говорят, что они распределяются по закону равномерной плотности. Если СВ Х подчинена закону равномерной плотности на участке ,то можно показать, что плотность распределения её равна: Функция распределения в этом случае равна:

44. Основные числовые характеристики СВ Х, подчинённые на участке равномерному закону распределения: 1) математическое ожидание 2) медиана, в силу симметрии равномерного распределения, также 3) моды закон равномерной плотности не имеет, 4) дисперсия 5) среднее квадратическое отклонение 6) вероятность попадания СВ Х на участок , представляющий собой часть участка , равна: т.е. отношению длины отрезка ко всей длине участка

45. 2. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространённым является биномиальное распределение. Оно имеет место, когда СВ Х выражает число появлений события в независимых испытаниях при условии, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна (вероятность непоявления равна ). Возможными значениями СВ Х являются: Вероятности этих возможных значений определяются по формулам Бернулли: Можно показать, что математическое ожидание СВ Х, имеющей биномиальное распределение, равно , а дисперсия Распределение Пуассона связано с понятием потока событий – последовательностью событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени

46. Определение. Плотностью (интенсивностью)событий называется среднее число событий в единицу времени. Обозн. Определение. Поток событий называется пуассоновским, если он обладает свойством ординарности и потока без последействий. Определение. Поток событий называется ординарным, если вероятность появления на элементарном участке двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события. Определение. Поток событий называется потоком без последействий, если вероятность появления на любом промежутке времени некоторого числа событий не зависит от того, какое число событий попало на другие, не пересекающиеся с данным промежутки. Определение. Пуассоновский поток называется простейшим (стационарнымпуассоновским), если вероятность попадания некоторого числа событий на промежуток времени зависит только от длины промежутка и не зависит от того, где именно на оси он расположен. Если события образуют пуассоновский поток, то число событий, которые могут произойти за любой промежуток времени, распределено по закону Пуассона.

47. Определение. Случайная величина Х называется распределённой по закону Пуассона, если её возможные значения равны , а соответствующие вероятности определяются формулой: где - длина отрезка. Можно показать, что дисперсия СВ Х, распределённой по закону Пуассона, равна её математическому ожиданию: Распределение Пуассона может быть использовано как приближённое в тех случаях, когда точным распределением случайной величины является биномиальное распределение и когда математическое ожидание мало отличается от дисперсии (т.е. ). 3. Показательное распределение. Определение. Непрерывная СВ Х распределена по показательному закону, если её плотность вероятности определяется формулой: где - параметр показательного распределения.

48. Можно показать, что числовые характеристики показательно распределённой СВ Х: Функция распределения: и Замечательным свойством показательного распределения является тот факт, что при наступлении события случайная величина имеет такой же закон распределения, как и величина . Показательному распределению подчиняются такие случайные величины: продолжительность телефонного разговора, время безотказной работы элементов ЭВМ, распада радиоактивного атома, обслуживания технической системы и т.д. Для показательного распределения вероятность того, что СВ Х примет значение, принадлежащее интервалу , определяется формулой:

49. 4. Нормальное распределение. Исключительно важную роль среди других законов в теории вероятностей занимает нормальный закон распределения (закон Гаусса). Определение. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами , если плотность её распределения определяется формулой: Кривая нормального распределения имеет симметричный холмообразный вид. Максимальная ордината кривой равная достигается при (мода ). По мере удаления от точки плотность падает, и при кривая распределения приближается к оси абсцисс. Можно показать, что основные числовые характеристики СВ Х, распределённой по нормальному закону соответственно имеют вид:

50. Вероятность попадания нормально распределённой СВ Х в интервал вычисляется по формуле: Здесь - функция Лапласа, обладающая следующими свойства: 1) 2) 3) На основании свойства нечётности функции Лапласа формула (59.21) для вычисления вероятности попадания СВ Х в интервал длины , симметричный относительно математического ожидания, принимает вид: Через функцию Лапласа и функция распределения нормально распределённой СВ Х имеет вид: