理论力学

1. 理论力学 主讲人：王剑华 ,

2. 绪论一、理论力学及其内容 它是研究物体机械运动普遍遵循的基本规律的一门学科。 (一) 按照数学方法划分 1.矢量力学 主要从力的观点以牛顿 三定律为基础，以力F 和加速度a 为基本量，用矢量法分析问题。

3. 2.分析力学 从能量的观点，以功A和能E作为基本量，用广义坐标q作为运动的独立变量，应用比较系统的数学分析方法，得到了很多有用的表达式。建立起力学系统所服从的规律。 (1)、虚功原理 (2)、拉格朗日方程 (3)、哈密顿原理

4. (二) 按照受力划分 1.运动学：运动学涉及运动的几何性质。 2.动力学：动力学涉及运动的物理原因。 3.静力学：物体处于静止状态下所遵循的条件。 (三) 按照研究对象划分 1.质点力学 2.质点组力学 3.刚体力学

5. 二、理论力学的特点 理论力学是力学中的一门横断的基础学科，它用数学的基本概念和严格的逻辑推理，研究力学中带共性的问题。理论力学一方面用统一的观点，对各传统力学分支进行系统和综合的探讨，另一方面还要建立和发展新的模型、理论，以及解决问题的解析方法和数值方法。

6. 理论力学的研究特点是强调概念的确切性和数学证明的严格性，并力图用公理体系来演绎力学理论。1945年后，理论力学转向以研究连续介质为主，并发展成为连续系统物理学的理论基础。

7. 三、理论力学的发展简史 1. 1678年，牛顿的《自然哲学的数学原理》出版，给出了运动三定律和万有引力定律，经典力学诞生了。从牛顿三定律出发可演绎出力学运动的全部主要性质。

8. 2.另一位理论力学先驱是瑞士的雅各布第一·伯努利，他最早从事变形体力学的研究，推导出沿长度受任意载荷的弦的平衡方程。通过实验，他发现弦的伸长和张力并不满足线性的胡克定律，并且认为线性关系不能作为物性的普遍规律。

9. 3. 1743年,法国科学家达朗贝尔提出：理论力学首先必须象几何学那样建立在显然正确的公理上；其次，力学的结论都应有数学证明。这便是理论力学的框架。

10. 4.1788年法国科学家拉格朗日创立了分析力学，其中许多内容是符合达朗贝尔框架的；其后经过相当长的时间，变形体力学的一些基本概念，如应力、应变等逐渐建立起来；1822年法国柯西提出的接触力可用应力矢量表达的“应力原理”，一直是连续介质力学的最基本的假定.4.1788年法国科学家拉格朗日创立了分析力学，其中许多内容是符合达朗贝尔框架的；其后经过相当长的时间，变形体力学的一些基本概念，如应力、应变等逐渐建立起来；1822年法国柯西提出的接触力可用应力矢量表达的“应力原理”，一直是连续介质力学的最基本的假定.

11. 5.1834年英国科学家哈密顿创立了哈密顿力学;1894年芬格建立了超弹性体的有限变形理论；关于有向连续介质的猜想是佛克脱和迪昂提出的，其理论则是由法国科学家科瑟拉兄弟在1909年建立的。 5.1834年英国科学家哈密顿创立了哈密顿力学;1894年芬格建立了超弹性体的有限变形理论；关于有向连续介质的猜想是佛克脱和迪昂提出的，其理论则是由法国科学家科瑟拉兄弟在1909年建立的。

12. 四、研究方法 1.公理体系下逻辑演绎的方法 2. 数学方法：微积分、常微分方程、矢量分析、矩阵方法等

13. 五、适用范围 • 适用于：宏观、低速的运动物体。 • 不适用于：微观、高速的运动物体。 理论力学属于经典力学范畴，经典 力学体系是以三个“独立”的基本概念为基础，即不受物体运动状态影响或与物体运动无关的所谓“绝对化”质量、空间与时间。

14. 客观世界(物质粒子)的划分

15. 第一章 牛顿方程 §1.1 速度合成定理 §1.2 加速度的分量表示 §1.3 经典力学的基础 §1.4 牛顿方程 §1.5 非惯性系中的牛顿方程 §1.6 相对于地球的运动

16. §1.1 速度合成定理 一、参考系和坐标系 1.参考系：依据准则，确定参考系后，讨论物 体运动才有意义；参考系不同，运动规律则不同。 2.坐标系：数学工具，用于定量讨论物体的运动， 它与参考系相固连，是参考系的数学抽象（代表 与参考系相固连的整个空间），同一参考系可建 立不同的坐标系，对同一参考系不管选用什么坐 标系，运动规律都相同。

17. 3、质点 定义：具有质量而不计其大小和　形状的合理的抽象模型． 如何可以把物体看作质点？ 一个物体如果其大小远小于研究问题中的 有关距离（r<<l）而问题又不涉及物体的转动。

18. 二、运动学方程与轨道 1.位矢 力学的任务是研究宏观物体的机械运动。所谓机械运动，就是物体位置的变化。因此，确定物体的位置自然是力学的第一个课题。

19. 矢量 称为质点P对于O点的位矢。实践表明，对于质点的机械运动来讲，是 时间t的单值、连续函数。即 一个质点P的位置，可以用引自参考体B上某点O的矢量 来确定，如图1-1所示。 （1.1-1） 利用这个函数关系，我们就能给出质点在任一时刻的位置，从而确定质点的运动特征。所以，（1.1-1）称为质点的运动方程。

20. 2.运动方程 为了定量地确定物体的位置，描述物体的运动，必须选定一个固定在参考体上的坐标系和计算时间的钟。只有指出了事件的空间坐标和时刻，才能着手去研究运动的特征。对于同一个运动而言，选取不同的坐标系将观测到不同的结果。因此，为了处理问题的简便，我们应该针对具体问题的特点，用心选取最适当的坐标系。

21. （1.1-2） 如果我们选定了坐标系，矢量方程（1.1-1）就能投影成为等价的分量方程组。在图1-2所示的直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下，质点分量形式的运动方程为

22. (1.1-3) (1.1- 4)

23. 3.轨道方程 质点运动时, 其位矢r的连续变化将描绘出一条矢端曲线。这条曲线称为质的运动轨迹。由此可知，方程组（1.1-2）--(1.1-4)都是轨道曲线的参数方程。如果消去方程组中的参数t，就得到了直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中质点的轨道方程。

24. 由上式可知， 总是沿轨道的切线，并指着运动的方向。 的模称为速率，它表征运动的快慢。由（1.1-5）式可知 （1.1-5） 三、速度和加速度 1.速度 位矢r时间的一阶导数称 为质点的速度，即 (1.1-6)

25. 2.加速度 速度 对时间的一阶导数称为质点的加速度,即 (1.1-7) 位移、速度、加速度都是时间t的矢性函数。引入这些量是为了描述机械运动，刻划各种运动情况的具体特征。 为常矢量时是匀速运动； 为常矢量时是匀加速运动。匀速运动的轨迹是直线，但是匀加速运动却未必是直线运动。

26. 四、角速度和角加速度 现在我们利用刚体的定轴转动来引入角速度和角加速度的概念。在普通物理中，我们在定轴转动的刚体上选取一条转动半径OM与某一固定直线ON的夹角 来确定刚体的位置，并称之为角坐标。 并且，还用 表征刚体转动的快慢，称之为角速度。这样虽然可以对转动现象作直观的了解，但是这些概念毕竟是很粗略、很不完善的。为了对转动作精确的、简明的描述，我们需要用矢量来定义角位矢、角速度和角加速度。

27. 如图1-3所示，我们把角位矢 定义为： 的模是 角的大小， 的方向则根据 角的旋向用右手螺旋法则确定。这样定义之后，尽管 角与 角相等，但 与 却分别对应于等长反向的两个矢量与 ，而不至于混淆了。 1.角位矢

28. （1.1-8） 2.角速度 角加速度 当刚体转动时, 随之转动， 将是时间t的连续函数。我们把 与 的差定义为的角位移 ，把其对t的一阶导数和二阶导数定义为转动的角速度和角加速度，即 上面定义的角速度和角加速度矢量既适用于刚体，也适用于刚体上的任意点M。

29. （1.1-9） 式中的 是质点对于圆心O的位矢。当我们把 看成是从刚体转轴上的任意点引至刚体上M的位矢时，上式依然成立。把（1.1-9）改写成为 （1.1-10） 3.圆周运动 根据角速度矢量的定义可以证明：质点作圆周运动时，其角速度和线速度之间的关系为

30. （1.1-11） 4.旋转标架单位矢量的变化率 我们可以得到直角坐标系的标架绕着通过原点的直线AB旋转时，单位矢量 、 的 变化率。如图1-4所示，设转动的角速度为 ，这时若把 、、 看成质点的位矢，则由（1.1-10）得

31. 上式表明，在标架绕着通过原点的直线AB旋转时，其单位矢量的变化率等于转动角速度 与 、 、 矢积（叉乘）。

32. 假定S是我们选定的固定坐标系， 是一个相对于S运的坐标系，现在来研究质点相对于这两个坐标系的速度之间的关系。 五、速度合成定理 1.三种运动 (1)质点相对于定系S的运动称为绝对运动. (2)相对于动坐标系的运动称为相对运动。 (3)人若静止在车中，则由于车的行驶而引起人对地的运动便是牵连运动。

33. (1.1-12) 2.三种速度 质点在相对运动中的速度称为相对速度，在绝对运动中的速度称为绝对速度，在牵连运动中的速度称为牵连速度。 由图1-5可知，相对运动是在 系中观测的，所以相对速度应是 、 、 不变情况下 对t的导数，即

34. （1.1-13 ） 我们再来考察牵连速度。当 系对S系作平动时，M点所获得的牵连速度应该和 的速度一样，即 。当 系仅绕 点以角速度 转动时，则由（1.1-9）可知，M点的牵连速度是 。在一般情况下， 系既有平动又有转动，所以M点的牵连速度应是

35. 最后，研究绝对运动。质点M的绝对速度等于 对t的一阶导数。值得注意的是，绝对速度是在定系S中观测的，所以 对求导数时，应将 、 、 当作变矢量处理，而不能以常矢量对待。于是我们便不难写出M点的绝对速度

36. （1.1-14） 3.速度合成定理 利用（1.1-11）和(1.1-12)改写上式中的两个括号部分，可以得到一个十分重要的公式--速度合成定理 牵连速度 绝对速度 相对速度 此式表明：质点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。

37. 速率 §1.2 加速度的分量表示 一、直角坐标系 1、速度 分量表示式

38. 方向余弦

39. 的方向余弦 2、加速度

40. 表示径向和横向的单位矢量,质点位矢 当位矢随时间变化时，相当于标架以下面的角速度旋转。 二、平面极坐标系 1.速度 如图所示。用

41. 直接对位矢求导 另一方面

42. 另一方面 2.加速度

44. 加速度 Note: 在极坐标系中，虽然加速度的表达式较直角坐标系复杂，但对某些问题的处理较直角坐标系更为方便！

45. 同理 下面考虑柱坐标系。

47. 图1- 9 三、自然坐标系 1.平面自然坐标系 质点沿着曲线轨道运动时，其速度和加速度与轨道的几何形状有关。如果我们以质点的起始位置为坐标原点，以轨道曲线的弧长为坐标，则弧坐标s就唯一确定了质点的位置。在质点的平面运动中，曲线上任意一点M的切线和法线构成M点的正交坐标系，称为自然坐标系。

48. 质点沿已知平面轨道曲线运动,速度 沿轨道切线方向,则将加速度分解为切向分量和法向分量。

49. （切向加速度） 大小 是由于速度的量值改变所引起的 是由于速度的方向改变所引起的 （法向加速度）

50. 2.空间自然坐标系 下面讨论质点运动轨迹是空间曲线的情况。 如果质点的运动轨迹是空间曲线，在曲线的M点作切线和割线， M点的切线和割线在空间确定一个平面，当无限趋近时，切线和割线确定的极限平面称为点的密切面。在密切面内过M点垂直于切线的直线称为主法线，既垂直于切线又垂直于法线的直线称为副法线。