怎样求数列的 通项公式

1. 怎样求数列的 通项公式

2. ①. 等差数列的通项公式： • 复习等差数列和等比数列的通项公式： 等差数列的通项公式： an= a 1 +( n –1 ) d . ②. 等比数列的通项公式： 等比数列的通项公式： an= a 1 qn –1 .

3. 1. 观察法求数列的通项公式： • 有些数列，通过观察各项的变化规律，就可以写出通项公式 . • 例 1 写出下列各数列的一个通项公式： • （1） -1，4，-9，16，-25，36，· · · ； 解： a n = (-1) n · n2 . ( 如果数列是正负相间的, 把 相应的关于 n 的式子乘以 (-1)n 或 (-1)n+1 就可以了). （2） 2， 3， 5， 9， 17， 33， · · · ； 解：an = 2n- 1 + 1 .

4. 注：如果数列的各项是分数，则可以把分子和 分母分别考察，看它们各有什么样的变化规律，以 上两个小题都可以这样考虑. 解：数列中分子不易观察出通项公式，由于各项 都是假分数，我们把它们都变成带分数，

5. 2. 逐差法： 令 k = 1 ，2 ，3 ，· · · ，n –1 ，得 以上诸式左右两边分别相加，得

6. 注：这种方法实质上是利用了公式 an -a1= (a2 -a1) + (a3 -a2) + (a4-a3) + · · · + (an- an-1) 因而称为逐差法 . • 当 n = 1 时，a1 = a 亦适合上式 ，

7. 3. 利用数列前 n 项和 S n 求通项公式： • 数列前 n 项和 Sn 与 an 之间有如下关系： 例 3 已知 Sn = 2 n2 + n –1 ，求数列的通项公式 an . 解：an = Sn - Sn-1 = ( 2 n2 + n –1 ) -[ 2 (n- 1)2 + (n –1) - 1 ] = 4 n –1 ( n  2 ) . a1 = S1 = 2 × 12 + 1 –1 = 2 . 有时，所给数列的通项 an 正好是另外某一数列的 前 n 项和，只要求得此和，即可求得 an.

8. 例4 求下列数列的通项公式： • （1）2，22，222，2222，· · · （逐项依次多数字2） • （2）0.23，0.2323，0.232323，· · · （逐项依次多数字23）. （2）解法同上，此小题留给同学们完成，其答案 为：

9. 例 5 设数列 { a n } 的前 n 项和 Sn 与 an 的关系 是，Sn = k an + 1 ( 其中 k 是与 n 无关的实数，且 k  0，k  1)，求这个数列通项公式. • 4. 借助于等差、等比数列求通项公式： 解：an+1 = Sn+1 –Sn = ( k an+1 + 1 ) - ( k an+ 1 )  an+1 = k an+1 - k an 由题设，S1 = k a1 + 1，即 a1 = k a1 + 1 (S1 = a1)，  a1  0 且 an  0 (注意k  0) . 所以数列{ a n } 为等比数列 .

10. 例 6 在数列{ a n } 中，a1 = 1，且 n a n+1 = (n+1) an + 2n(n+1) (n = 1，2，3，   ) ， 求数列的通项公式 .  bn = 1 + 2 ( n –1 ) = 2n -1 . 数列的通项公式为 an = n ( 2n – 1 ) .

11. 5. 分类法： • 若把数列的项分为奇数项、偶数项两类，且奇数项和偶数项与其项数的关系容易求出，不妨设数列{ an } 的通项为 例 7 求下列数列的通项公式： 2，0，2，0，2，0，· · · ( 2，0 交替出现 ) .

12. 6. 归纳法（只作介绍即可）：

13. 下面用数学归纳法证明上面的结论： • ① 当 n = 1 时，公式显然成立 . 所以当 n = k + 1 时公式也成立 . 由①、②可知，公式对任何正整数 n 都成立 . 注：“观察——猜想——证明”是求数列通项公式的基本 方法之一，通过观察前面的若干项，来发现通项公式的构造 规律，而后再用数学归纳法加以证明，我们把这种求通项公 式的方法称为归纳法.