Собственные векторы

1. Собственные векторы

2. Собственные векторы х – собственный вектор Оператора f, если f(x)=kx матрицы оператора в некотором базисе, если Ax=kx k – собственное число

3. Свойства собственных векторов • 1. Собственный вектор имеет единственное собственное число. • 2.Если x: fx=kx, то f(sx)=k(sx). • 3.Если x1, x2 - линейно-независимые и : fx1=kx1 , fx2=kx2, то f(x1 + x2)=k(x1 + x2). • 4. Если fx1=k1x1 , fx2=k2x2, , то x1и x2 – линейно-независимые векторы.

4. Теорема 1. Для того, чтобы линейный оператор f комплексного линейного пространства имел собственный вектор с собственным числом k k – корень характеристического уравнения f. Опр. Собственные числа линейного оператора – собственные числа матрицы этого оператора. Простое собственное число, m-кратное

5. Пример. Найти собственные числа собственных векторов оператора f, заданного в некотором базисе матрицей Характеристическое уравнение оператора или . Характеристические числа являются собственными числами собственных векторов

6. Теорема 2.Пустьв n-мерном пространстве оператор f задан матрицей A, k– собственное число оператора f. Если r=rang (A-λE), то n-r линейно-независимых собственных векторов оператора f с собственным числом k.

7. Пример. Найти собственные векторы линейного оператора f, заданного в некотором базисе матрицей • Характеристическое уравнение оператора корни этого уравнения: • Все корни – собственные числа. • Найдем собственный вектор, отвечающий как решение ОСЛУ • Собственный корень • Аналогично собственный вектор, отвечающий