第六章静电场

第六章静电场 第一节电场强度、高斯定理第二节电势、电势差第三节静电场中的导体第四节静电场中的电介质第五节电容第六节静电场的能量

第一节电场强度、高斯定理 一、电场强度 1、电场场源电荷——建立电场的电荷。静电场——相对于观察者静止的电荷所激发的电场。它是不随时间变化的稳定电场。静电场具有两种重要性质：一是力的性质，即位于静电场中的任何电荷都将受到电场力的作用；二是能的性质，即当电荷在电场中运动时，电场力将对电荷作功，这表明静电场具有能量。

实验表明，对于电场中任意一点,比值 是一个大小和方向都不变的矢量，它反映了该点处电场的性质，叫做电场强度，简称电场, 2、电场强度试探电荷——为研究电场中各点的性质而用来进行实验的点电荷。它应满足两个条件： (1)其几何线度必须小到可以看作为点电荷，以便确定场中每点的性质； (2)其所带电量足够小，不至于影响原来电场的性质，从而改变带电体的电荷分布。

用表示： （N·C-1或V·m-1）由该定义可知，场强是描述电场中某点性质的矢量，其大小等于单位试探电荷在该点所受电场力的大小，其方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致。

式中是由q指向P的单位矢量。 当场源电荷q为正时，与同方向,当q为负时，与反方向。真空中点电荷产生的电场：设真空中有一个孤立的场源点电荷q，求在其产生的电场中距其r处p点的场强。由场强的定义式可知：该式表明点电荷的电场是以其场源电荷为中心呈球形对称分布的。

3、场强叠加原理 实验表明电场力也满足力的独立作用原理（力的叠加原理）。当电场由n个点电荷激发时，则由场强定义及力的叠加原理得：即n个点电荷所激发的电场在场点的总场强等于各个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，这叫做场强的叠加原理。

4、场强的计算 利用场强的叠加原理，可以计算任意带电体所产生的场强。为了表示宏观物体的电荷分布, 引入：电荷体密度ρ——每单位体积内所含的电荷量。电荷面密度σ——每单位面积内所含的电荷量。电荷线密度λ——每单位长度内所含的电荷量。

带电体所带电荷可看作是连续分布的，可先将带电体分割为许多电荷元dq，若把dq视为点电荷，由点电荷产生场强的公式可知：带电体所带电荷可看作是连续分布的，可先将带电体分割为许多电荷元dq，若把dq视为点电荷，由点电荷产生场强的公式可知：由场强叠加原理，对各电荷元在P点的场强求矢量和，于是得整个带电体在P点的场强为

与x的夹角为θ,故沿x和y 轴的两个分量为 例题6-2求无限长均匀带电直线的场强分布。设真空中一无限长均匀带电直线，其单位长度上所带电荷为λ， λ叫线电荷密度（设λ>0）。解：如图所示，在直线外任取一点P,P与直线距离为r，以 P到直线的垂足O为原点，取坐标xOy如图。在直线为x 处，取长度为 dx，则dx 上的电荷为λdx,它在P点的场强大小为

又由图有 所以

根据对称性。位于-x处的同样长度的电荷元在P点的场强 ，其数值与相同，由图可知，它们的 y分量大小为相等，方向相同，而它们的x分量大小相等，方向相反而相消。因而总场强只有y 分量，故只需取各电荷元的 y分量求和即可。由图可的得微分上式得积分上式，因积分应遍及全部电荷，故取积分限为θ=0到θ=π，因而P 点的场强为

的方向沿着从O 到P的径向，用表示径向 单位矢量，写成矢量式为当λ<0时，方向与相反。

二、电场线、电通量 1、电场线在电场中画出一系列曲线，使其上每一点的切线方向都与该点的场强的方向一致，这些曲线称为电场线。并且通过垂直于场强单位面积的曲线数目等于该点场强的大小，即

电场线的方向表示场强的方向，电场线的密度表示场强的大小。电场线的方向表示场强的方向，电场线的密度表示场强的大小。静电场中电场线的特点： 1、电场线起始于正电荷（或无限近），终止于负电荷（或无限远）不会在没有电荷处中断，也不形成闭和曲线。 2、任何两条电场线不会相交。

（1）均匀电场垂直平面：在匀强电场中通过与场强 垂直的面积元的电通量，由上述定义可知，应为 2、电通量通过电场中某一面积的电场线总数称为通过该面积的电通量，以Φe表示。

（2）均匀电场斜面：设面积元dS法向单位矢量为 ，把叫面积元矢量。若与该处场强的夹角为θ，如图6-4（b）所示，则通过该面积元的电通量为

S （3）非均匀电场任意曲面如图6-4（c）所示，则通过该面积元的电通量为

式中dScosθ为面积元在垂直于 方向上的投影。由电场线的定义可知，dΦe就是穿的电场线条数。式中的θ为法过面积元方向的夹角。线单位矢量与场强对于整个曲面S，其电通量为上式对S的积分：

（4）若S为闭合曲面，则对整个闭合曲面积分：（4）若S为闭合曲面，则对整个闭合曲面积分：注：对闭合曲面，规定自内向外的法向为各处面积元法线正方向。若曲面上任一面积元处的θ<π/2，则该处的电通量为正，即穿出该面积元的电场线数为正。若θ>π/2，则该处的电通量为负，即穿入该面积元的电场线数为负。若θ=π/2，则该处的电通量为零。通过整个闭合曲面的电通量Φe的值为穿出与穿入该闭合曲面电场线的代数和。

设电场由点电荷q激发，则以q为球心作半径为r的球面S,在球面上任取一球面 其法线单位矢量沿半径向外，即，若q>0，则与同向，cosө=1，所以得通过的电通量为 3、点电荷的电通量通过球面S的电通量为

上式表明，整个球面的电通量与电荷的电量q 成正比，而与半径r无关。上式可以推广到任何闭和曲面，如图6-6(a), 任意闭和曲面，与球面S都只包围同一个点电荷q，由于从点电荷q 发出的全部电场线都要延伸到无限远处，因而通过S和的电场线数必然相等，即它们的电通量都等于

若q为正点电荷，则Φe>0；若q为负点电荷，则Φe<0。 若点电荷q在闭合曲面S外,如图6-6(b)所示，则由电场线的连续性可知，穿入曲面的电场线条数（负的电通量）必然等于穿出曲面的电场线条数（正的电通量），所以通过整个闭合曲面S的电通量为0。

三、高斯定理 设带电体系由多个点电荷组成，其中q1、q2、…qn被任意闭和曲面S包围，另外是点电荷在S面外，则根据闭和曲面电通量公式和场强叠加原理可得通过S的总电通量为面内 i=1、2 、···、n 高斯定理是关于闭合曲面电通量的定理,它是静电场的基本规律之一。面内、面外的电通量分别为

i=1、2 、···、m 面外式中产生的场强，产生的场强，所以上式即为真空中静电场的高斯定理。　　高斯定理说明静电场中任一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以ε0。该闭合曲面叫做高斯面。

1、为总场强，即高斯定理中的是高斯面内外所有电荷共同激发的。 2、是指面内电荷。几点说明： 3、高斯面一定是闭和曲面。

高斯定理的应用举例 　　当电荷分布具有某种形式的对称性时，电荷所激发的场强往往也具有某种形式的对称性。在选取高斯面时，充分利用场强的对称性，使高斯面上的场强不变或等于零，或使面上的场强与面元矢量同向或相互垂直。运用高斯定理解题的步骤：（1）首先对带电体的电荷及电场分布进行对称性分析；（2）再根据其电场分布的对称性选取合适的高斯面（简单几何面）；

（3）然后根据高斯定理求出通过该高斯面的电通量及其面上任一点的场强。（3）然后根据高斯定理求出通过该高斯面的电通量及其面上任一点的场强。 1、均匀带电球面的场强设真空中有半径为R,带电量为q的均匀带电球面，求离球心ｒ远处任一点的场强。则高斯面上任一点处的场强为

(ｒ >Ｒ ) 矢量式为 (ｒ <Ｒ ) 结论：（１）在均匀带电球面外部的电场视为一集中于球心的点电荷在该处所产生的场强；（２）在其内部各处的场强则均为零；（３）从Ｅ-ｒ曲线可看出，场强在球面（ｒ=Ｒ)上是不连续的。

2、无限大均匀带电平面的场强 所以通过高斯面的电通量为：由于△S=S1=S2，由高斯定理可得

上式表明，无限大均匀带电平面附近是一方向与该平面垂直的均匀电场。上式表明，无限大均匀带电平面附近是一方向与该平面垂直的均匀电场。在A、B之间的大小相等，方向相同，其合场强的大小为 3、两个互相平行的无限大均匀带电平面的场强Ｅ仍是一方向与带电平面垂直的均匀电场。

在这两个平行带电平面外的 方向相反，其合场强为零，即

第二节电势差、电势 一、静电场的环路定理 1、静电场力所做的功（1）点电荷的静电场力对试探电荷做的功试探电荷ｑ0在静电场中由ａ点移动至ｂ点的过程中，受到的静电场力Ｆ始终是一变力，故先计算在一段位移元ｄl中电场力所做的元功ｄＡ，在此段位移元dl中电场力Ｆ可看成是不变的，故有：

由图6-11可知, dlcosθ =dr,且，则 在从ａ点移动至ｂ点的全过程中，电场力所做的总功为

上式表明，q0在场源点电荷q的电场中运动时电场力所做的功只与q0的量值以及它移动的始末位置有关，而与它移动的具体路径无关。这一结论同样适用于点电荷系或任意带电体系所产生的电场。上式表明，q0在场源点电荷q的电场中运动时电场力所做的功只与q0的量值以及它移动的始末位置有关，而与它移动的具体路径无关。这一结论同样适用于点电荷系或任意带电体系所产生的电场。（2）任意带电体系的静电场力对试探电荷做的功若电场由n个点电荷激发，由场强叠加原理得则电场力所做的功为：

结论：上式表明试探电荷q0在任意静电场中运动时，电场力所做的功只取决于试探电荷所带的电量及运动的始末位置而与路径无关。结论：上式表明试探电荷q0在任意静电场中运动时，电场力所做的功只取决于试探电荷所带的电量及运动的始末位置而与路径无关。

(L1) (L2) (L1) (L2) 2、静电场的环路定理设试探电荷在静电场沿某闭和路径L 移动一周，由a、b两点将L分为L1 、L2两段，电场力所做的功为

因为试探电荷q0不等于零，所以 上式是场强沿闭合路径的线积分，称为场强的环流。上式表示，静电场中场强的环流恒等于零。这一结论是电场力做功与路径无关的必然结果，称为静电场的环路定理。它是描述静电场规律的另一条重要定理。静电场力做功与路径无关这一特性，表明静电场是保守力场，因此，是一种有势场，亦即静电场力和重力相类似也是一种保守力。

静电场的高斯定理和环路定理是描述静电场规律的两条基本定理。高斯定理指出静电场是有源的；环路定理指出静电场是有势的，并且是一种保守力场。因此，要完全地描述一个静电场，必须联合运用这两条定理。静电场的高斯定理和环路定理是描述静电场规律的两条基本定理。高斯定理指出静电场是有源的；环路定理指出静电场是有势的，并且是一种保守力场。因此，要完全地描述一个静电场，必须联合运用这两条定理。

二、电势差、电势 • 1、电势能电荷在静电场中具有的能量。电势能的改变是通过电场力对电荷所做的功来量度的，即 Wa、Wb分别表示试探电荷q0在起点a、终点b的电势能，单位是焦耳。对于分布在有限区域的场源电荷，通常规定无限远处的电势能为零，即W∞=0。试探电荷q0在电场中a点所具有的电势能在量值上即等于q0从a点移动至无穷远处时电场力对其所做的功：

Wa为正，表明在此过程中电场力做正功，反之表明电场力做负功。Wa为正，表明在此过程中电场力做正功，反之表明电场力做负功。电势能W是由q0与E共同决定的，它是试探电荷q0与静电场相互作用的能，为双方所共有。

即由于与上式比较，则有静电场力所做的功与电势差之间的关系为 2、电势差电势差——电场中任意两点的电势之差，数值上等于单位正电荷从a点到b点时电场力所做的功。上式表明a、b两点之间的电差就是场强由a点到b点的线积分，它在量值上等于将单位正试探电荷由a点移动到b点时电场力所做的功。

由此可见，在静电场力的推动下，正电荷将从电势高处向电势低处运动。由此可见，在静电场力的推动下，正电荷将从电势高处向电势低处运动。是电势与场强的积分关系。 3、电势静电场中a点的电势定义为：上式表明，静电场中某一点的电势，在量值上等于单位正试探电荷在该点的电势能；也等于把单位正试探电荷从a点经过任意路径移动到零势能参考点时电场力所做的功。

静电场中某一点的电势是由该点到参考点场强的线积分。静电场中某一点的电势是由该点到参考点场强的线积分。电势是表征静电场能量性质的物理量，由场源电荷决定。电势是标量；电势有正、负之分。电势是相对量，其量值大小与参考点的选择有关，而参考点的选择本身是任意的，一般选在无穷远处或地球等等。在SI制中，电势的单位是伏特1V=1J/C。

点电荷的电场电势 在真空中有一孤立点电荷q，q到场点a的距离为r。由于积分路径可以任意选择，若沿电场线积分，则使θ=0，dl=dr，所以有：上式表明，点电荷电场中电势是以点电荷为中心而呈球形对称分布的。当场源电荷q为正时，其周围电场的电势为正；当q为负时，其周围电场的电势为负。

4、电势叠加原理 （1）、电势叠加原理若电场由n个点电荷所激发，电场中任一点的电势为上述结果称为电势叠加原理，即点电荷系的电场中某点的电势，等于各个点电荷的电场在该点电势之代数和。

如果场源电荷在有限区域内是连续分布的，可将它分成无限个电荷元dq(均为点电荷) ，将求和改为求积分，电荷元在a点产生的电势为对上式积分得整个带电体在该点的电势为 r为dq到某一场点a的距离。

5、等势面 等势面——静电场中电势相等的点组成的曲面，且规定任何两个相邻曲面间的电势差值相等。静电场中等势面有二个重要性质： 1、在静电场中沿等势面移动电荷，电场力做功为零； 2、等势面处处与电场线垂直。

证明如下：设有一试探电荷ｑ0在某一等势面上的ａ点作了一微小位移ｄl至ｂ点，由于Ｕａ＝Ｕｂ，则电场力对其所作的功为Ａａｂ＝ｑ0(Ｕａ－Ｕｂ）＝０。又因电场力做功可表示为：证明如下：设有一试探电荷ｑ0在某一等势面上的ａ点作了一微小位移ｄl至ｂ点，由于Ｕａ＝Ｕｂ，则电场力对其所作的功为Ａａｂ＝ｑ0(Ｕａ－Ｕｂ）＝０。又因电场力做功可表示为：ｄＡ＝ｑ0Ｅcosdｌ= 0 式中ｑ0、Ｅ、ｄｌ都不等于零，则只有cos  =0，即θ＝９０º，而θ为场强Ｅ与位移元ｄｌ之间的夹角，既然θ＝９0º，则场强Ｅ必然与位移元ｄｌ垂直。利用等势面与电场线之间的关系，在实验时，可以采用测等势面的方法来测电场线的分布，从而了解各处电场的强弱和方向。

n0为法线正方向上的单位矢量。显然，在a处沿n0方向有最大的增加率 ，定义为a处的电势梯度矢量，记作gradU 或。三、电场强度与电势的关系 1、电势梯度它表明：电场中某点的电势梯度的方向与电势增加率最大的方向相同，其大小等于沿该方向上的电势增加率。单位为V/m。

第六章 静电场