序 曲

1. 三角函数的周期性 序 曲 三角函数知多少 正弦函数作代表 三角函数讲周期 周期当中挑最小

2. 三角函数的周期性 三角函数的周期性 一、正弦函数的周期 二、复合函数的周期性 三、周期函数的和函数 四、周期函数在高考中 五、高考史上的周期大难题 六、高考史上的周期大错题

3. 三角函数的周期性 一、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性.

4. 正弦函数的周期性 1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期 在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP. 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现. 因此，正弦函数 y =sinx的最小正周期 2π.

5. 正弦函数的周期性 例如 sin 2x的最小正周期为 sin 的最小正周期为 2. y=sin(ωx)的最小正周期 设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x'则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有

6. 正弦函数的周期性 它的最小正周期与 y = sin ωx 的最小正周期相同，都是 如 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 于是，余弦函数 的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是2π. 3. 正弦函数 y=sin(ωx+ φ)的周期性 对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式 y = sin(ωx+ φ)

7. 三角函数的单调性 后者周期变为 后者周期都不变，亦即 Asin( ωx +φ)+m与sin(ωx)的周期相同，都是 二、复合函数的周期性 将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx 而在以下的各种变换中，如 (1)初相变换 sin ωx → sin(ωx+φ)； (2)振幅变换 sin( ωx +φ)→ Asin(ωx+φ)； (3)纵移变换 Asin( ωx +φ)→ Asin(ωx+φ)+m； 而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.

8. 复合函数的周期性 (1) 2 sinx ； (2) 【解答】 (1) 2 sinx 的定义域为R，值域为 ，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. (2) 的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，loga x，sinx， ，sin(sinx)都是最小正周期2π的周期函数. 1. 复合函数 f(sinx)的周期性 【例题】研究以下函数的周期性：

9. 复合函数的周期性 2. y= sin3 x的周期性 对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下. 图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.

10. 复合函数的周期性 3. y= sin2 x的周期性 对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下. 图上看到，y = sin2x的最小正周期为π，不是2 π.

11. 复合函数的周期性 4. sin2nx和sin2n-1 x 的周期性 y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x 的周期也是π. sin2x 的周期，由cosx 的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负得正”所致. 因此，正弦函数 sinx的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为π；m = 2n – 1时，sin m x的最小正周期是2 π.

12. 复合函数的周期性 【解答】最小正周期为π. 【例2】求 的最小正周期. 【解答】最小正周期为2π. 【例2】求 的最小正周期. 【解答】最小正周期为π. 【说明】正弦函数sinx的幂复合函数 当 q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π. 5. 幂复合函数举例 【例1】求 y =| sinx |的最小正周期.

13. 三角函数的周期性 三、周期函数的和函数 两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？ 和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？

14. 周期函数的和函数 1. 函数 sinx+sin2 x的周期性 sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下. 表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.

15. 周期函数的和函数 1. 函数 sinx+sin2 x的周期性 依据上表，作sinx+sin2x的图象如右. 从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由sinx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍. 从图上看到， sinx+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.

16. 周期函数的和函数 sin x的最小正周期为2π，sin x的最小正周期是3π. 它们之间的和sinx+sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？ 不妨按周期定义进行检验. 设 则x0 +3π= 因此3π不是sinx + sin x的最小正周期. 通过作图、直观看到，sinx+sin x的最小正周期为6π，即sin x和 sin x最小正周期的最小倍数. 2. 函数 sinx+sin x的周期性

17. 三角函数的周期性 四、周期函数在高考中 三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合. 正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. 一、直接考，求正弦函数的最小正周期. 二、间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.

18. 周期函数在高考中 【例1】函数 y =| sin |的最小正周期为 （A） （B）π （C）2π （D）4π 【解答】 最小正周期是 最小正周期的一半，即2π. 答案为（C） 1. 求正弦函数的周期 【说明】 图象法判定最简便，|sin x|的图象是将sinx的图象在 x 轴下方部分折到x轴上方去. 倍角法判定最麻烦

19. 周期函数在高考中 【例2】（1） y =2cos2x+1的最小正周期为 （2） y =|sinx + cosx|的最小正周期为 （2） 【说明】 都可看作sinx的幂函数的复合函数. 1. 求正弦函数的周期 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定， 故答案为π. 故答案为π.

20. 周期函数在高考中 若 时 f (x) = sinx 试求 的值. 2. 函数周期性应用于求值 【例题】f (x)是R上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数. 【解答】 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.

21. 周期函数在高考中 【例题】x∈R，求函数 y =sin2x + sinx cosx+2cos2x 的单调增区间. 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为 3. 函数周期性应用于求单调区间 【解答】 函数的最小正周期为π. 令 得 【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.

22. 周期函数在高考中 【例题】已知函数 【解答】 令 得 故交点横坐标的值的集合为 4. 周期性应用于求函数零点 【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.

23. 三角函数的周期性 五、高考史上的周期大难题 高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上. 本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 . 一、函数抽象，导致周期中含有参数；二、求参数范围，与解不等式综合；三、求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.

24. 高考史上的周期大难题 【考题】设三角函数 ，其中k≠0. 【解答】 1. M=1，m = -1， 2. f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m . 而任意两个整数间的距离都≤ 1因此要使任意两个整数间函数 f(x)至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使 f (x)的周期≤1即： k=32就是这样的最小正整数. 2006年的周期大难题 1．写出 f (x)极大值M、极小值m与最小正周期; 2．试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x)至少有一个值是M与一个值是m.

25. 三角函数的周期性 六、高考史上的周期大错题 中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究. 然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2005年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.

26. 高考史上的周期大错题 2005年的周期大错题 【考题】 f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0，则方程 f (x) = 0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D，即答案为5. 答案D从何而来？以下，就是“D”的一种解法. 【解答】 f (x)周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得f (-4) = f (2-6) = f (2)=0 f (x)为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0 于是，求得 f (x)=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D.

27. 高考史上的周期大错题 【讨论】 除了上述解法得 f (x)=0的5个解外，还有如下的解. 根据方程 f (x)=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x)的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x)的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0. 所以，1.5和4.5也是方程 f (x)=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D是错的.

28. 高考史上的周期大错题 【实验检验】 f (x)同时满足4个条件：（1）定义在R上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x)的一个具体例子： 并在区间（0，6）上找到 f (x)=0的7个解，列表如下： 这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.

29. 高考史上的周期大错题 函数 在一个周期［0，3］上的图象如右. 图象与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点. 【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己. 严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.

30. 三角函数的周期性 尾 声 正弦函数记周期 其他函数有根基 复合函数作转化 抽象函数回具体