TEMA 14 * INFERENCIA ESTADÍSTICA

1. TEMA 14 * INFERENCIA ESTADÍSTICA MATEMÁTICAS A. CS II Matemáticas 2º Bachillerato CS

2. Tema 14.8 * 2º B CS NIVEL DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN Matemáticas 2º Bachillerato CS

3. INTERVALO DE CONFIANZA • Se desea estimar la proporción de elementos, p, que posee una cierta característica. • Para ello se recurre a una muestra de tamaño n, en la que se obtiene una proporción muestral pr. • El error máximo admisible sabemos que era: • E = zα/2 .√p.q/n • En caso de proporciones debemos asegurarnos que p.n > 5 y q.n > 5 para que realmente exista una distribución normal. • Y además es necesario que la muestra sea grande n > 30. • Cumpliendo las dos premisas anteriores, el error máximo admisible o cota de error para la estimación de p es: • E = zα/2 .√pr.(1 – pr)/n • El intervalo de confianza de p con un nivel de confianza (1 – α).100% es: • (pr – zα/2 .√[pr.(1 – pr)/n] , pr + zα/2 .√[pr.(1 – pr)/n] ) Matemáticas 2º Bachillerato CS

4. EJEMPLO_1 • Se toma una muestra de 500 adultos. De ellos, 200 leen habitualmente el periódico. • Hallar, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo para estimar la proporción p de lectores adultos. • Resolución: • Una probabilidad o nivel de confianza del 95% significa: • 1 – α = 0,95  α/2 = 0,025  zα/2 = 1,96 • La proporción muestral es: pr = 200/500 = 0,40 • Tenemos n=500 y pr=0,40  Hallamos 1 – pr = 0,60 • El error máximo admisible o cota de error para la estimación de p es: • E = zα/2 .√pr.(1 – pr)/n = 1,96. √0,40.0,60/500 = 1,96.0,0219 = 0,04294 • El intervalo pedido es: • ( pr – E , pr + E)= (0,40 – 0,04294, 0,40 + 0,04294) = (0’3570 , 0’4429) • Con un nivel de confianza del 95%, la proporción de lectores adultos de toda la población oscila entre el 35,70% y el 44,29 % Matemáticas 2º Bachillerato CS

5. EJEMPLO_2 • Se toma una muestra de 500 adultos. De ellos, 200 leen habitualmente el periódico. Con un nivel de confianza del 95%, el intervalo donde se encuentra la proporción p de lectores adultos es (0’3570 , 0’4429). La cota de error ha sido de 0,04294. • Queremos repetir la experiencia para conseguir una cota de error de 0,02 con el mismo nivel de confianza. • ¿Qué tamaño debe tener la muestra?. • Resolución: • Conocemos zα/2 = 1,96 y E = 0,02 • El error máximo admisible o cota de error para la estimación de p es: • E = zα/2 .√pr.(1 – pr)/n • Tomamos como pr el valor de pr de la muestra anterior, pues no podemos saber su valor sin estudiar la muestra; pero si sabemos que estará muy próximo al valor anterior. • 0,02 = 1,96. √0,40.0,60/n  (0,02 / 1,96)2= 0,24/n • 0,000104123. n = 0,24  n = 0,24 / 0,0001041 = 2305,47 • La muestra debe ser de 2306 adultos. Matemáticas 2º Bachillerato CS

6. EJEMPLO_3 • A partir de una muestra de 141 adultos se ha estimado una proporción mediante el intervalo de confianza (0,15, 0,19). • ¿Cuál es el nivel de confianza con el que se ha hecho la estimación?. • Resolución: • pr es el valor medio del intervalo: pr = (0,15+0,19)/2=0,17 • El error E es la mitad de la longitud del intervalo: E =0,04/2 = 0,02 • El error máximo admisible o cota de error para la estimación de p es: • E = zα/2 .√pr.(1 – pr)/n • 0,02 = zα/2 √0,17.(1 – 0,17)/141 • 0,02 = zα/2 0,0316  zα/2 = 0,02 / 0,0316 = 0,6331 • P(Z > zα/2 ) = α/2  P(Z > 0,6331) = 1 – P(Z< 0,6331) • Por Tablas: P(Z< 0,6331) = 0,7366 • Luego P(Z > 0,6331) = 1 – 0,7366 = 0,2633 • α/2 = 0,2633  α = 0,5266  (1 – α) = 0,4733 • La estimación se ha realizado con un nivel de confianza del 47,33%, muy bajo. Matemáticas 2º Bachillerato CS