Incontro III

1. Incontro III Cremona

2. E se il rombo fosse incernierato alla guida in modo diverso … Rimini, 6 Aprile 2011

3. Produzione di ipotesi prima di avere manipolato la macchina e aver visto cosa fa Cosa potrebbe fare questa macchina?

4. Analogie e differenze nella struttura con il pantografo per la simmetria assiale

5. Esplorazione del pantografo Come è fatta la macchina Cosa fa la macchina Perché lo fa

6. Stiramento Equazioni: x'=-kx y'=y I triangoli FQG e MPN sono simili: QH:PH=QF:PM QH:PH=(QB+BM):PM QB=l PM=d QH:PH=(2l-d):d K=(2l-d)/d

7. Zone di piano messe in corrispondenza dalla trasformazione geometrica

8. 8 settembre 2014 8

9. Genesi spaziale Nel modello fisico, le lastre rettangolari p (trasparente) e p’ rappresentano due piani incidenti lungo la retta u.Le figure tracciate su p’ si possono considerare come ombre solari di quelle giacenti su p. I raggi del sole (materializzati nel modello con fili tesi e supposti paralleli) determinano, in generale, una corrispondenza biunivoca (prospettività con centro improprio) tra p e p’: ad ogni punto P di p corrisponde in p’ la sua ombra P’.

10. Genesi spaziale Il modello permette di ruotare p attorno alla retta u. Si può osservare che: - durante la rotazione i raggi (i fili tesi) rimangono paralleli; - quando p è sovrapposto a p’, i raggi (i fili) che congiungono due punti corrispondenti qualsiasi sono perpendicolari ad u. Se p e p’ sono sovrapposti, la corrispondenza esistente fra i loro punti P e P’ diventa una trasformazione geometrica nota come stiramento (particolare omologia affine).

11. Genesi spaziale

12. Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche Idee di percorsi didattici Indicazioni metodologiche Alcune linee guida e materiali di lavoro Idee di percorsi Autori: R. Garuti e F. Martignone

13. Indicazioni metodologiche • Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga, squadrette, compasso. • Lavoro a piccoli gruppi. • Verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) • Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi

14. Quanto tempo? Almeno 3 ore per introdurre la prima macchina (esplorazione e successiva discussione) e poi, a seconda del percorso e del numero di macchine scelte, si potrà progettare di quanto allungare la sperimentazione Autori: R. Garuti e F. Martignone

15. Quali sono gli aspetti che mettono in gioco le attività con i pantografi? Aspetti legati • Alla geometria: analisi delle proprietà delle figure trasformate, dimostrazioni (geometria euclidea)… • All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra segmenti, figure… Autori: R. Garuti e F. Martignone

16. Quali possibili obiettivi? Fornire un contesto di apprendimento di significati matematici in cui: • vengano favoriti processi di argomentazione e dimostrazione • siano messe in luce le connessioni della matematica con la storia, la cultura e la vita quotidiana Autori: R. Garuti e F. Martignone

17. Per questo, durante le attività laboratoriali Si vuole dare spazio a: • Attività di esplorazione • Manipolazioni ed osservazioni di oggetti fisici • Verbalizzazione (orale e scritta) • Discussioni collettive

18. Qual è la matematica in gioco? • Le trasformazioni geometriche del piano • La geometria euclidea • La geometria analitica Quali processi? • Produzione di congetture e sviluppo argomentazioni e costruzioni di dimostrazioni • Attività di problemposing e solving

19. Possibili percorsi di sperimentazione I pantografi per la simmetria assiale e per lo stiramento Il pantografo di Scheiner: esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo! Autori: R. Garuti e F. Martignone

20. Percorso 1: simmetria assiale e stiramento • Analisi dello strumento (componente artefatto e schemi d’uso) • Individuazione della trasformazione svolta dalla macchina (cosa fa la macchina) • Riflessione sulle proprietà matematiche incorporate in questa (perché svolge una simmetria assiale)

21. Come è fatta la macchina? Produzione di testi descrittivi e argomentativi Discussioni matematiche Cosa fa? Perché lo fa?

22. Indicazioni metodologiche • Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti) • Strumenti: pantografi e fogli bianchi • Richiesta di verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) dell’attività con la macchina • Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi Autori: R. Garuti e F. Martignone

23. Linee guida per le attività degli studenti • Descrizione e disegno della macchina (come è fatta la macchina?) • Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi del meccanismo (come si usa?) • Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina (cosa fa la macchina?) • Analisi delle caratteristiche della macchina che permettono lo svolgimento della trasformazione (le proprietà della trasformazione incorporate nella macchina)

24. Cosa succederebbe se… Autori: R. Garuti e F. Martignone

25. E ora un altro pantografo!Come è fatta la macchina?Cosa fa?Perché lo fa?

26. Pantografo di Scheiner

27. zone di piano messe in corrispondenza: punti interni al cerchio c1 (per P) e punti interni al cerchio c2 (per Q)

28. Omotetia Nel piano cartesiano: • Occorre dimostrare: • OBP simile a OAQ • O, Q e P allineati

29. Percorso 2:Pantografo di Scheiner: Esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo… Autori: R. Garuti e F. Martignone

30. Pantografo di Scheiner(1631) Scuola secondaria di primo e secondo grado scuole professionali

31. Attività a piccoli gruppi su consegne aperte o guidati da schede: • esplorazione della macchinacon l’obiettivo di ricostruirla e di modificarla ; • individuazione ed analisi delle caratteristiche della trasformazione svolta dalla macchina.

32. Pantografo di Scheiner: Dimostriamo: perché svolge una omotetia? Autori: R. Garuti e F. Martignone

33. Esempi di dimostrazioni Partendo da triangoli simili… Partendo da triangoli congruenti…

35. Da una sperimentazione in classe Alcuni protocolli dei ragazzi

36. Cosa succederebbe se…? Volessimo un altro rapporto? Autori: R. Garuti e F. Martignone

38. E se le aste non formassero triangoli isosceli, ma scaleni?

39. Un esempio di attività che utilizza delle simulazioni delle macchine R. Garuti

40. Grazie!