天体物理学Ｉ　：　授業の内容

天体物理学Ｉ　：　授業の内容 天文学は天体からの光を研究する学問です。そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。授業計画は、Ａ．水素原子　　Ｂ．エネルギー準位　　Ｃ．熱平衡　　Ｄ．線吸収　　Ｅ．連続吸収　　Ｆ．光のインテンシティ　Ｇ．黒体輻射　Ｈ．等級　　Ｉ．色等級図　　Ｊ．光の伝達式　Ｉ　　Ｋ．光の伝達式　ＩＩ　Ｌ．星のスペクトルという順で進めます。最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、というのが目標です。ＡからＥまでは光の吸収に関係する物理の話です。Ｆでは光の強さをきちんと定義します。ＧからＩは光の強さを天文学でどう使うかを示します。ＪからＬは光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導きます。それでは、始めましょう。

Ｊ　輻射の方程式　（Ｉ） 今回の内容（Ｊ．１）　光学的深さ（Optical Depth）τ 　　二点間の吸収の強さを表わす用語です。（Ｊ．２）　源泉関数　(Source Function) ： S 　　輻射の方程式で媒質からの放射を表わす量です。　　　（Ｊ．３）　簡単な解　　輻射の方程式の意味を理解するために簡単な例を調べます。（J．４）　色等級図　　　二つのバンドでの等級が得られた場合は縦軸を等級、横軸をカラーとしてプ　　ロットすると色等級図ができます。色等級図は天文学では極めて重要な道　　具です。授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

ｄｘ σ σ S σ σ S σ σ σ Ｊ．1．光学的深さ（Optical Depth） τ σ：粒子断面積　　ｎ：粒子数密度ｄｘＩ（ｘ）＋ｄＩＩ（ｘ） σ ？ｄI＝－I・σ・ｎ・ｄｘ　＝－I・ｄτ 正面（面積Ｓ）から見ると総断面積　Σ Σ＝σ・dN ＝σ・ｎ・S・ｄｘ被覆率C C=Σ/S＝σ・ｎ・ｄｘ

横から　　　　　正面から 横から　　　　　正面から光学的深さ（ｏｐｔｉｃａｌ　ｄｅｐｔｈ）τ 　前頁でｄｘを十分に小さく取り、Σ/ S＝ｄτ＜＜１の場合（左図）を考えます。この場合粒子同士の重なりが無視できるので被覆率 C = dτが成立します。しかしｄτが大きくなると、粒子が重なって見えるケースが現れてきます。例えば、粒子断面積の総計　Σ＝Ｓ　の場合を考えてみましょう。つまり、ｄτ＝ Σ/ S＝ｎσｄｘ＝１の場合（右図）です。この時の正面図には多数の重なり合いが見られます。そのために被覆率Ｃの有効率が低下し、Ｃ＜ｄτとなります。では、粒子の重なり合いを考慮した時Ｃはいくつになるのでしょう？ τ=１ τ＜＜１

左図のように面積Ｓの不透明な紙を板の上に置きます。この場合被覆率は１です。次に紙をＮ個の紙片に切って、板の上に散らします（右図）左図のように面積Ｓの不透明な紙を板の上に置きます。この場合被覆率は１です。次に紙をＮ個の紙片に切って、板の上に散らします（右図）Ｓ千切った紙片の大きさを小さくして行った時にＣはいくつになるでしょう？実験から大体の値を推測して下さい。

光右図のようにＮ個の紙片を仮想的にＮ層に分けて考えましょう。光が上から来てまず第1層を通過します。（１）　紙片1個の面積はσ＝Ｓ/Ｎ　です。第1層の被覆率Ｃ１はいくつですか？透過率Ｔ１は？

（２）　次に第2層を通過します。この時、第1、第2層を合わせた被覆率Ｃ２は2枚の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のＣ２、Ｔ２は幾つでしょう？（２）　次に第2層を通過します。この時、第1、第2層を合わせた被覆率Ｃ２は2枚の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のＣ２、Ｔ２は幾つでしょう？ 1枚重ならない2枚重なる2枚（３）　こうしてＮ枚の紙片を巻いた時の透過率　ＴＮ　はいくつですか？

（４）　Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮは幾つでしょう？（５）　始めに用意する紙がＫ枚の時に、Ｎを無限に大きくしていった時のＣＮ、ＴＮは幾つになるでしょう？

ｄｘ I I－Iｄτ 光学的深さ τ と被覆率 C こうして、光学的深さτと透過率T、被覆率Cの関係は、 T=exp（－τ）、　　　C=１－T＝１－exp（－τ）　とわかります。 τ＜＜１のときは、C=１－（１－τ）＝τで最初の結果が確認されます。　微分方程式による考え方授業の最初に出てきた図に戻ると、ｄI=-Idτだから、右上の解に出てくる eーτが最初の導出にあったTにあたります。ここまでは途中の粒子は何の光も放出せず、もっぱら光を吸収するだけと仮定していました。次に、粒子が吸収と同時に自身で光を放出する場合を扱います。

輻射エネルギー発生率 ４πεｄＶ＝体積ｄＶからの輻射エネルギー発生率で、　ε＝体積輻射係数　を定義します。テキストによってはεに４πをつけないので注意して下さい。 εを輻射の式にどう組み込むかを考えましょう。Ａ点ｄＳ ε ｄΩ ｄＸ輻射強度を定義するため、いつものようにＡ点に微小面積ｄＳを立て、ｄＳを通ってｄΩに流れる輻射エネルギーの量ｄＥを計算しましょう。そのため上の図で、断面積ｄＳの後ろに、深さｄＸの箱を考えの中にもっと小さいｄｖの微小体積を考えます。この箱の体積はｄＶ＝ｄＸ・ｄＳ、箱から放出される輻射エネルギーは４πεｄＶです。しかし、このエネルギーは全立体角４πにばら撒かれてしまいます。ｄＥに必要なのはその内ｄΩ方向に流れる部分だけです。　その割合は、ｄΩ/４πです。

したがって、巾ｄＸの箱からｄΩ方向に流れていく放射エネルギーは、したがって、巾ｄＸの箱からｄΩ方向に流れていく放射エネルギーは、　　　　　　ｄＥ＝４πεｄＶ（ｄΩ/４π）　　　　　　　　＝４πεｄＳ・ｄＸ・（ｄΩ/４π）　　　　　　　　＝εｄＸ・ｄＳ・ｄΩ です。輻射強度 I の定義は、　　　　　　ｄＥ＝Ｉ・ｄＳ・ｄΩ でした。二つの式を見較べると、Ｉの方向に沿った微小区間ｄＸからＩへεｄＸ　の寄与があることが判ります。つまり、　　　　　　ｄＩ＝εｄＸです。　

輻射の方程式 ここまでに、　　　吸収：　ｄＩ＝－ＩσｄＮ＝－Ｉσｎｄｘ＝－Ｉ k ｄｘ＝－I ｄτ　　　放射：　ｄＩ＝ εｄｘの二つの過程を見てきました。吸収と放射の両方を合わせて、ｄI = -I kdｘ＋εｄｘ d I(x) /dx = - I k +ε d I(x) /kdx = - I+ (ε/ k) とし、Ｉ（ｘ＋ｄｘ）Ｉ（ｘ） k dx＝ dττ ＝ Optical Depth (光学的深さ) ε/ k ＝Ｓ　　　　　Ｓ＝Source Function(源泉関数) 　で、τとＳを定義すると、輻射の基礎方程式 equation of radiative transfer

前頁の式では、簡単のため表示方式を指定していません。実際は周波数表示、波長表示、総エネルギー表示の式を一括して書いてあるので注意がいります。具体的には下の３式をまとめて書いたのが前頁の式です。最初の総輻射強度に対する式で、τをどう定義するかは後で議論します。輻射の方程式の直感的な理解を戻して、　ｄＩ＝－Ｉ・ｄτ＋Ｓ・ｄτ で改めて式の意味を考えましょう。まず、－Ｉ・ｄτはｄτ≒１くらいで初めの I は消えてしまうことを意味します。そして、Ｓ・ｄτはｄτ≒１くらいで初めの I がＳに置き換わってしまうことを意味します。

結局荒っぽい言い方をすると、τ＝１のあたりまでの光が輻射強度に貢献しているのです。結局荒っぽい言い方をすると、τ＝１のあたりまでの光が輻射強度に貢献しているのです。 τ＝１００ τ＝１０それを、さらに粗く、 τ＝１の源泉関数Ｓ（τ＝１）を見る、とも言います。 τ＝１このあたりの放出光は殆ど届かないこのあたりの放出光が届く。

Ｊ．２．Source Function(源泉関数) ： S 源泉関数Ｓはどう表せるのか？　　それでは輻射強度を決めている源泉関数Ｓとは何なのでしょう？。吸収係数κや放射係数εはイメージが湧きますが、源泉関数Ｓがどんなものか、いまいちピンときません。通常の環境でＳは何と考えればいいでしょう？０局所熱平衡の仮定：　各点での吸収係数κや放射係数εが温度Ｔと密度ρ （ＬＴＥ）　　　　　で決定されると考えます。 ε(x)＝ εν (ρ,T)、κ＝ κν (ρ,T) すると、　　　　　　Ｓν (τν) =εν (τν) /κν (τν) ＝Ｓν (ρ,T) 　　　　　　　　　　Ｓは温度Ｔと密度ρの関数とられます。 1 Ｔ＝Ｔ（ｘ）　：　Ｔが場所によって変わる一般的な環境を考えます。輻射の式によって、Ⅰはｄｘの間に、ΔＩ＝－[Iν(x)－Ｓν (ρ,T)] dτνの変化を受けます。 I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) dx＋ε(ρ,T) ｄｘ　　　＝ I(x) －[I(x)－Ｓ (ρ,T)] dτ I(x) Ａ点 (ρ,T) ｄｘ

I(x)=Ｂ(T,ν) I(x+dx)=Ｂ(T,ν)－[Ｂ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)]dτλ すると、Ⅰν(ｘ)はどこでも、Ⅰν ＝Ｂ(T,ν) Ｓν (ｘ)は前と同じ、Ｓν＝Ｓν(ρ,T) 2 その他の点でも温度がＡ点と同じＴになった特別な状況（熱平衡）を考えてみます。 I (x)＝I (x+dx)=Ｂ(T,ν) なのでＢ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)＝０熱平衡状態ではＳν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν) ところが、Ｓν (ρ,T) は系全体が熱平衡かどうかには関係なく、そこがＬＴＥであればそこの(ρ,T) から決まるので、一般に　Ｓν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν)　が成立します。普通の状況（ＬＴＥ）では、源泉関数Ｓは黒体輻射強度Ｂだったのです。 dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=Ｂλ[Ｔ(τλ)] ：　LTEの輻射の方程式

Ｊ．３．簡単な解 （i） ελ（ｘ）＝０：途中の物質がとても冷たい。ｘ＝０に光源Iλ０があります。光源吸収体 Iλ(x) Iλ (x=0) ｘｘ＝０ ελ＝０　つまり、Sλ＝０なので、輻射の方程式は下のように書けます。または

ｋ５ τ ０Ｉ / Ｉo 0 τ 入射光吸収体出射光

Ｍｒｋ　２３１ 活動核連続光１星間ガス吸収を受けた光０.５０５９８０Ａ５９７０Ａ５９９０Ａ λ 吸収の強さ＝の関係が使えそうです。 (i)の例１：　ＡＧＮ銀河のＮａガス下のグラフは、1995 ApJ 450, 74-89 Forster, Rich and McCarthy 　　による、　　　　活動銀河　Ｍｒｋ２３１　のスペクトルです。この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続（滑らかな）スペクトルが銀河内星間ガスにより吸収を受けています。波長５９８０Ａ（＝０．５９８μｍ）の吸収線はＭｒｋ２３１星間ガス中のＮａ原子によるもので、Ｄ線と呼ばれます。吸収線の深さから　Ｍａｒ２３１銀河内のＮａ原子のコラム密度Nを求めましょう。

そのためには、D線中央部でのNa原子吸収断面積σが必要です。そのためには、D線中央部でのNa原子吸収断面積σが必要です。Ｄ線中央の吸収断面積はσ＝(２.２×１０－２３/D ) cm2で与えられます。　ここにDは吸収線の幅をA（オングストローム）で表した値です。グラフから読み取ると　Ｄ≒１．８Ａです。ですから、σ＝１．２２×１０－２３cm2です。銀河ではDは星間ガスの運動によるNa原子の視線速度のばらつきを表わします。実験室ではDはNaガスの温度に対応し、　Ｄ＝１．１×１０－３ √Ｔ　（Ａ）　です。　グラフから読み取ると　Ｄ≒１．８Ａです。ガス温度と考えるとＴ＝１．６４×１０６Kとなりますが、星間ナトリウムがそんなに高い温度で中性原子でいるわけはありません。ガス運動速度のばらつきVと考えると、V/c=1.8A/5980A, V=90km/sec です。吸収線中央では　( Ｉ / Ｉｏ ) = eｘｐ（ーτ）＝０．５　　τ＝０．７Ｎａ原子のコラム密度を　Ｎ　（ｃｍ－２）　とすると、　τ＝Ｎσ　でした。したがって、Ｎ＝０．７/ （１．２２×１０－２３）＝５．８×１０２２/ｃｍ２　　この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたＮａコラム密度とファクター２程度しか違わいませんでした。

簡単な解（ii）　　I(x=0) = 0 この式の解は、＝一定の場合は、上の仮定のように天体の向こう側からは光が来ない。簡単のため、Sλ(τλ)＝一定と仮定。 I=0 I(x,λ) S(τλ)＝一定ｘ x=0

ＬＴＥが成立 [つまりS(τλ)=Bλ(T) ] の場合には上の式のSをBに置き換えて右のグラフから分かるように、０　　　　　１　　　　　　２　　　　　　３（ii）の例１：　放射星雲の輝線光学的に薄い（τ＜＜１）星雲では、星では吸収線が見える波長に、しばしば輝線が現れます。例えば、温度１０，０００ＫのＡ型星では0.656μに強いＨα吸収線が見られますが、温度の同じ１０，０００Ｋの放射星雲からは強いＨα輝線が観測されています。

この現象はτ＜＜１では、Ｉ＝τ・Ｂ　となることから容易に理解できます。この現象はτ＜＜１では、Ｉ＝τ・Ｂ　となることから容易に理解できます。吸収の強い波長では、光学的にアクティブで他より速く黒体輻射に達しようとしていると考えると理解しやすいです。 G型星スペクトルＨα＝６５６nm Ｈβ＝４８６nm 吸収線Ｈβ線Ｈα線惑星状星雲スペクトルＨα＝６５６nm Ｈβ＝４８６nm 輝線

Ｔ τL＝Ｘ・ｋL ｋλ 星雲 τＣ＝Ｘ・ｋＣ λL λC X 星雲の光学的深さはラインでτL＝Ｘ・ｋL、　連続光の所でτＣ＝Ｘ・ｋＣと大きく異なります。しかし星雲は希薄な為、ラインでさえτL <<１です。すると、例(2) で見たように、星雲からの輻射強度は、　　　　　　ＩL ＝ τL・Ｂ（Ｔ）　　　　　　ＩＣ＝ τＣ・Ｂ（Ｔ）となります。　これが、星雲に輝線が見つかる理由です。では星ではなぜ吸収線になるのか？それは次回。Ｉλ λL λC

τ（λ、θ＝０°） １ 0.5 0.1 0 0.3 0.6 0.7 1 λ（μｍ）（ii）の例２：　ガス板からの輻射スペクトルの方向による変化無限に広がる２枚の透明な板の間に、温度Ｔ＝５０００Ｋのガスが詰まっています。表面に垂直な方向のガスの光学的深さτ（λ,θ＝０°）は下図のようで、波長λ＝0.6μｍから0.7μｍの吸収帯では両側波長での１０倍吸収が強くなっています。 θ 垂直からθの方向に対する光学的深さを表にすると、 θ（°）　　　　　　　　　０　　　　　　３０　　　　　６０　　　　８０　　　　８７ τ（吸収帯）　　　　1.000 1.155 2.000 5.759 19.107 τ(連続光) 0.100 0.116 0.200 0.576 1.911

θ＝０，３０，６９°では、 λ＝０．６－０．７μｍの　　吸収帯が逆に強い放射帯　　として現れます。 θ＝８０，８７°になると、　　吸収帯のτ＞＞１となり、　　Ｂ（Ｔ＝５０００Ｋ）で頭打ち、　　一方、連続光はτーー＞１　　でＢ（Ｔ）に近づくので相対　　的にバンドは弱くなります。

下に示すのは、λ＝０．６μｍ、吸収帯の短波長端での連続光と放射バンドの下に示すのは、λ＝０．６μｍ、吸収帯の短波長端での連続光と放射バンドのＩ（θ、λ＝０．６μｍ－）とＩ（θ、λ＝０．６μｍ+）の角度分布です。 θ→９０°になるにつれ、バンドでも連続光でも、Ｉ→Ｂ（Ｔ）に接近していくことが分かります。Ｉ（θ、放射バンド） θ Ｉ（θ、連続光）

（ii）の例３：　町の灯り 黒体表面での輻射強度は等方的です。すなわち、黒体表面をどのような角度から見ても同じ輝き（表面輝度）に見えます。それは、面表面での輻射強度が等方的だからです。Ａ点Ａ点から黒体表面上の点への角度 θ を図のようにとります。Ａ点からθ方向を見た時の輻射強度をＩ（θ）としてグラフを描くと下のように　　Ｉ（θ）＝一定の線となります。ＩＩＩ θ Ｉ仮にそのような板を写真に撮ると下のようになるでしょう。Ｉ（θ）０° ９０° θ

そのような等方的に光る板のモデルとして、板の上に一様に電球を並べます。電球を十分小さくして、並べ方を密にすれば一様に光る板ができそうです。そのような等方的に光る板のモデルとして、板の上に一様に電球を並べます。電球を十分小さくして、並べ方を密にすれば一様に光る板ができそうです。下の写真はグリフィス公園から見たロサンゼルスの夜景です。一様に光っているというより、地平線に近づくに連れて表面輝度が増加しているように見えませんか？

平らな面上に、Ｗ＝１００ワットの電球を　ｎ＝０．1個/１ｍ２　の割合で並べます。この面を高さＨ＝５０ｍの公園Ｇから眺めます。真下から角度θの方向を見た時の輻射強度Ｉ（θ）を求めましょう。（１）　図のようにＧから　θ　の方向に　ｄω　の立体角をとると、面上での面積ｄＳ　はいくつになりますか？そこにある電球の数ｄＮはいくつですか？ Θ Ｇｄω ＨＲ＝Ｈ/cosθ ｄＳ

（２）　Ｇ点でｄω方向と垂直に小面積ｄｓを立てます。ｄＳにある出力Ｗの電球の光の内、ｄｓを通過するエネルギーはいくつですか？（２）　Ｇ点でｄω方向と垂直に小面積ｄｓを立てます。ｄＳにある出力Ｗの電球の光の内、ｄｓを通過するエネルギーはいくつですか？ＧｄｓＲＨＷ（３）　ｄＳ内のｄＮ個の電灯の光の内ｄｓを通過するエネルギーｄＰはいくつになるでしょう？

（４）　ｄＰの式から、Ｉ（θ）をＷ、ｎ、θの関数として表わして下さい。（４）　ｄＰの式から、Ｉ（θ）をＷ、ｎ、θの関数として表わして下さい。（５）Ｗ、ｎの数値を使い、　Ｉ（θ）をグラフにして下さい。

（ii）の例４：　花火 下の花火の写真を見ると、中央よりも縁の方が火の粉が多いことに気付きます。

左側の花火の写真を中心から等間隔のリングにわけてその中の火の粉の数を数えます。花火の半径＝Ｒ＝５としました。　左側の花火の写真を中心から等間隔のリングにわけてその中の火の粉の数を数えます。花火の半径＝Ｒ＝５としました。　火の粉が半径Ｒ＝５の表面に一様に面密度ｎで分布しているというモデルを立て、それを遠方から見た時の面密度Ｎを考えると、見かけ半径ｄｒに対応する表面積は中心距離　　数　　面積　　面密度　０．５　　　　４　　　１π　　　　１．３　１．５　　　１９　　　３π 　　　　２．０　２．５　　　１９　　　５π 　　　　１．２　３．５　　　４３　　　７π 　　　　２．０　４．５　　１０２　　　９π 　　　　３．６見かけ（投影）面積はｄＳ＝２πｒｄｒ　だからｄｒｄｓｒｄｓ

半径５内の火の粉の総数はＴ＝１８７だから、半径５内の火の粉の総数はＴ＝１８７だから、４π・Ｒ２・ｎ＝１８７　でモデルと測定の火の粉のより総数を揃えると、

輝度温度（brightness temperature） Tb Ⅰ（ν）　Ｂ（Ｔ２，ν） Ⅰ（ν）Ｂ（Ｔ１，ν） ν νＡ νＢ：　Ｔｂの定義 Ⅰ（ν）＝Ｂ（Ｔｂ， ν ）　Ｔｂ（νＡ）＝Ｔ２Ｔｂ（νＢ）＝Ｔ１したがって、周波数ν（または波長λ）毎に輝度温度Ｔｂは変わります。輝度温度が実際に使われるのは（１）Reyleigh-Jeans 近似が成立し、（主に電波波長域）（２）光学的深さτ＜＜１つまり、希薄な星雲の電波観測が相当します。星雲の温度＝Tc　とすると、　（２）より、Ｉ（ν）＝τνＢ（Ｔc, ν）　　　

より、 したがって、Ｔb=τνTc つまり、輝度温度Tbは星雲の実際の温度に光学的深さτをかけた値であす。 τνはνにより変わるのでTbは周波数νにより変化することに注意して下さい。

簡単な解（iii）　I(x=0) =Io(λ) 光源と途中の吸収・輻射帯の両方 Sλ (x)＝Bλ(T) Io(λ) I(λ) 光源途中の吸収・放射帯 I(x,λ) = Io(λ) exp ( －∫κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [－τλ ]　　　解(i) I(x,λ) =∫S(t) exp{－ (τλ－t)} dt 解(ii) をあわせて、 I (λ) = Io(λ) exp[－τ(x,λ)]＋∫S(τ1λ)exp{－ (τλ－τ1λ)} dτ1λ = Io(λ) exp[－τλ] + Bλ(T)[1－exp(－τλ)] τλ ＜＜１の場合には、Ｉ(λ) ＝Io(λ)（１－τλ）+ Bλ(T)τλ 　　　＝ Io(λ) + [Bλ(T) － Io(λ) ]τλ

例：　ＣａＩＩのＫ線の中心部に現れる彩層(chromosphere)輝線例：　ＣａＩＩのＫ線の中心部に現れる彩層(chromosphere)輝線 Tchrom（高温） Teff スペクトル恒星大気彩層 Teff 6,400 Teff 30,000 6,250 9,800 7,300 5,950

光右図のようにＮ個の紙片を仮想的にＮ層に分けて考えましょう。光が上から来てまず第1層を通過します。（１）　紙片1個の面積はσ＝Ｓ/Ｎ　です。第1層の被覆率Ｃ１はいくつですか？透過率Ｔ１は？Ｃ１＝ σ/Ｓ＝１/ＮＴ１＝１－Ｃ１＝１－(１/Ｎ）

（２）　次に第2層を通過します。この時、第1、第2層を合わせた被覆率Ｃ２は2枚の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のＣ２、Ｔ２は幾つでしょう？（２）　次に第2層を通過します。この時、第1、第2層を合わせた被覆率Ｃ２は2枚の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のＣ２、Ｔ２は幾つでしょう？Ｃ２＝Ｃ１＋Ｔ１・Ｃ１＝（１/Ｎ）＋ [1-（１/Ｎ）] （１/Ｎ）＝１－ [1-（１/Ｎ）]２または、　　Ｔ２＝Ｔ１・Ｔ１＝[1-（１/Ｎ）]２　　　　　　　　　　Ｃ２＝１－ [1-（１/Ｎ）]２ 1枚重ならない2枚重なる2枚（３）　こうしてＮ枚の紙片を撒いた時の透過率　ＴＮ　はいくつですか？ＴＮ＝[1-（１/Ｎ）]N

（４）　Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮは幾つでしょう？ＴＮ＝lim [1-（１/Ｎ）]N ＝１/ｅ CＮ＝1－１/ｅ（５）　始めに用意する紙がＫ枚の時に、Ｎを無限に大きくしていった時のＣＮ、ＴＮは幾つになるでしょう？紙片1個の面積はσ＝Ｋ・Ｓ/Ｎ　なので、　Ｃ１＝ σ/Ｓ＝Ｋ/Ｎ、　Ｔ１＝１－Ｃ１＝１－(Ｋ/Ｎ）ＴＮ＝lim [1-（Ｋ/Ｎ）]N ＝（１/ｅ）Ｋ＝ｅーＫ

平らな面上に、Ｗ＝１００ワットの電球を　ｎ＝０．1個/ｍ２　の割合で並べます。この面を高さＨ＝５０ｍの公園Ｇから眺めます。真下から角度θの方向を見た時の輻射強度Ｉ（θ）を求めましょう。（１）　図のようにＧから　θ　の方向に　ｄω　の立体角をとると、面上での面積ｄＳ　はいくつになりますか？そこにある電球の数ｄＮはいくつですか？ Θ ｄＳ＝[Ｒ２ｄω]/ cosθ、　Ｒ＝Ｈ/ cosθ なので、ｄＳ＝[Ｈ２ / cos３θ]ｄω ｄＮ＝ [ｎ・Ｈ２ / cos３θ]ｄω Ｇｄω ＨＲ＝Ｈ/cosθ ｄＳ

（２）　Ｇ点でｄω方向と垂直に小面積ｄｓを立てます。ｄＳにある出力Ｗの電球の光の内、ｄｓを通過するエネルギーｄｅはいくつですか？（２）　Ｇ点でｄω方向と垂直に小面積ｄｓを立てます。ｄＳにある出力Ｗの電球の光の内、ｄｓを通過するエネルギーｄｅはいくつですか？電球からｄｓを見こむ立体角は、ｄΩ＝ｄｓ/Ｒ２＝ｄｓ[cos２θ/Ｈ２] なので、ｄｅ＝Ｗ[ｄΩ/4π] 　　＝ｄｓ[cos２θ/Ｈ２]・Ｗ/4π ＧｄｓＲＨＷ（３）　ｄＳ内のｄＮ個の電灯の光の内ｄｓを通過するエネルギーｄＰはいくつになるでしょう？ｄＰ＝ｄｅ・ｄＮ　　＝ｄｓ[cos２θ/Ｈ２]・[Ｗ/4π]・ [ｎ・Ｈ２ / cos３θ]ｄω 　　＝ [Ｗ/4π]・ [ｎ/ cosθ]・ｄｓ・ｄω

（４）　ｄＰの式から、Ｉ（θ）をＷ、ｎ、θの関数として表わして下さい。（４）　ｄＰの式から、Ｉ（θ）をＷ、ｎ、θの関数として表わして下さい。ｄＰ＝Ｉ・ｄｓ・ｄω　なので、前の問から、Ｉ（θ）＝ [Ｗ/4π]・ [ｎ/ cosθ] （５）Ｗ、ｎの数値を使い、　Ｉ（θ）をグラフにして下さい。Ｉ（θ）＝ [Ｗ/4π]・ [ｎ/ cosθ] 　　　＝[１００・０．１/ 4π]/ cosθ W m-2/str ＝[０．８/ cosθ] W m-2/str W m-2/str 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１００°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９０° θ

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