PROPRIETĂŢILE LEGILOR DE COMPOZIŢIE

1. PROPRIETĂŢILELEGILOR DE COMPOZIŢIE Îndrumător: D-na prof. Flori Hîrjabă

2. ARGUMENT • Tema “Proprietăţile legilor de compoziţie”, face parte din programa de studiu pentru clasa a XII-a, la disciplina Matematică. • Această temă este studiată la toate profilele: real, tehnic şi servicii; • Tema “Proprietăţile legilor de compoziţie” face parte din programa examenului de Bacalaureat, la toate profilele: real, tehnic şi servicii.

3. SCOPUL PROIECTULUI • Redefinirea unor noţiuni studiate încă din gimnaziu şi în clasele IX-XI. Extinderea unor termeni cunoscuţi din anii precedenţi, pentru alte categorii de mulţimi. Interpretarea lucrurilor învăţate în ceilalţi ani, într-un mod mai abstract.

4. I. LEGI DE COMPOZIŢIE • Definiţie: Fie M o mulţime nevidă. Prin produsul cartezian M x M, înţelegem mulţimea tuturor perechilor (x, y), pentru x, yM, adică: M x M = {(x, y), x, yM}. • Definiţie: O aplicaţie: ƒ: M x M M, care asociază fiecărei perechi x, yM x M, un element unic ƒ(x,y) M se numeşte lege de compoziţie (operaţie algebrică) pe mulţimea M. Elementul ƒ(x,y) se numeşte compusul lui x cu y, prin legea de compoziţie.Pentru legile de compoziţie se folosesc diferite notaţii: +, .,┴, ┬, *, ◦. • Exemple:1) Operatia de adunare a numerelor reale este lege de compoziţie pe mulţimea numerelor reale R: (x, y) → x + y R. • 2) Operaţia de înmulţire a numerelor reale este lege de compoziţie pe mulţimea numerelor reale R: (x, y) → x . yR • 3) Operaţia de adunare a matricelor pătratice de ordinul doi este lege de compoziţie pe mulţimea M(R): M(R) x M(R) → M(R): (A, B) → A + B M(R) • 4) Operaţia „◦”: R x R→ R: x ◦ y = x.y – 2.x – 2.y + 6, este lege de compoziţie pe mulţimea numerelor reale R. • Concluzie: Noţiunea de lege de compoziţie prezintă un mare grad de generalitate. În definiţia unei legi de compoziţie pe o mulţime M se ignoră atât natura elementelor mulţimii M, cât şi modul efectiv în care acţionează pe M x M. Singura restricţie impusă este să se asocieze unui cuplu ordonat (x, y) de elemente din M, numai un singur element (x, y) din M.

5. II. Proprietăţi ale legilor de compoziţie • Numeroase legi de compoziţie se definesc cu ajutorul altora deja cunoscute. Asemenea operaţii pot prelua unele proprietăţi de la cele de plecare, prin mecanismul dat chiar de definiţia lor.

6. 1. ASOCIATIVITATEA • Definiţie: Fie x, y, z aparţinând lui M. Legea de compoziţie „* ” se numeşte asociativă pe mulţimea M dacă: • Prezenţa parantezelor, în expresia (x*y)*z, cere următoarea procedură de calcul: se află mai întâi compusul lui x cu y şi apoi (x * y) se compune cu z, obţinându-se, în final, elementul (x*y)*z, care aparţine lui M. Prezenţa parantezelor în expresia x*(y*z) impune să aflăm mai întâi (y*z) şi apoi să-l compunem cu x, obţinându-se astfel elementul x*(y*z), care aparţine lui M. • Dacă legea de compoziţie este notată cu „+” sau „.” atunci proprietatea de asociativitate a acesteia se scrie: • (x + y) + z = x + (y + z), respectiv (x.y).z = x.(y.z); x, y, zM. • Exemple: 1. Adunare şi înmulţirea numerelor reale sunt legi de compoziţie asociative, pentru că: • (x + y) + z = x + (y + z) şi (x.y).z = x.(y.z); x, , yzR. • 2. Adunarea şi înmulţirea matricilor din M(R) sunt legi de compoziţie asociative, deoarece: • (A + B) + C = A + (B + C) şi (A.B).C = A.(B.C). • 3. Reuniunea şi intersecţia părţilor unei mulţimi E sunt legi de compoziţie asociative, deoarece: • (XUY)UZ = XU(YUZ). • 4. Compunerea funcţiilor unei mulţimi E, în ea însăşi este o lege de compoziţie asociativa, deoarece: • (f * g)*h = f*(g * h).

7. 2. COMUTATIVITATEA • Definiţie: Presupunem că M este o mulţime nevidă, echipată cu o lege de compoziţie „* ”. Legea de compoziţie „* ” se numeşte comutativă pe mulţimea M dacă: • Exemple: Adunarea şi înmulţirea pe fiecare din mulţimile N, Z, Q, R, C, reuniunea şi intersecţia părţilor unei mulţimi sunt legi de compoziţie comutative. • x + y = y + x; x, yR • Comutativitatea adunării matricelor din M(R) este o consecinţă a proprietăţii de comutativitate a adunării numerelor reale. • Exemple de legi de compoziţie necomutative: • Scăderea pe R: Pentru x = 3, y = 5, x - y = - 2; y – x = 2 • Înmulţirea matricilor din M(R) nu este comutativă, deşi înmulţirea numerelor reale este comutativă.

8. 3. ELEMENTUL NEUTRU • Definiţie: Legea de compoziţie „* ” admite element neutru pe mulţimea M, dacă există , astfel încât: • Numerele reale 0 şi 1 au pruprietăţile: • 0 + x = x + 0 = x; pentru xR, respectiv1.x = x.1 = x, pentru xR. • De asemenea, pentru orice matrice A M(R) avem: I. A = A şi, analog A + O= A. • Teorema: Dacă o lege de compoziţie are element neutru, atunci acesta este. unic. Aşadar, elementul neutru, în caz că există, este unic determinat. • Exemple: 1. Numărul real „ 0 ” este elementul neutru al adunării numerelor reale, numărul real „1” este elementul neutru al înmulţirii numerelor reale.

9. 4. ELEMENTUL SIMETRIZABIL • Definiţie: Fie M o mulţime nevidă, înzestrată cu legea de compoziţie „*”. Presupunem că, această lege de compoziţie este asociativă şi că admite element neutru, fie acesta „e”.Un element se numeşte simetrizabil în raport cu legea de compoziţie „ * ” (asociativă şi cu element neutru) MMM, (x,y)  x*y, dacă există x` M, astfel încât: x * x' = x' * x = e • Exemple : • 1. Cum e*e = e, rezultă că elementul neutru este şi simetrizabil şi simetricul lui e este tot e. În notaţie multiplicativă avem : 1`= 1, iar în notaţie aditivă : - 0 = 0. • 2. Orice număr întreg este simetrizabil în raport cu adunarea numerelor întregi; numerele întregi simetrizabile faţă de înmultire sunt 1 şi –1, 1`=1, (-1)`= -1. • Teorema: Dacă x, yM sunt elemente simetrizabile în raport cu o lege de compoziţie MM  M, (x, y)  x*y (asociativă şi cu element neutru), atunci x*y şi x` sunt simetrizabile. Mai mult: • (x*y)`= y`*x`, (x`)`= x .

10. III. APLICAŢIE • Pe mulţimea Z a numerelor întregi definim legea de compoziţie: • ZZZ, (x, y)  x ◦ y = x + y – xy, numită compunere circulară. Să se arate că, legea de compoziţie „◦” este: a) asociativă; b) comutativă; c) are element neutru; d) are element simetrizabil. • a) (x ◦ y) ◦ z = (x + y - xy) ◦ z = x + y – xy + z - (x+y-xy)z = x + y + z – xy – yz – zx + xyz; • x ◦ (y◦z) = x ◦ (y + z - yz) = x + y + z – yz - x(y + z - yz) = x + y + z – xy – yz – zx + xyz; •  (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z). • b) x ◦ y = x + y – xy = y + x – yx = y◦x; • c) x ◦ e = x  x + e – x.e = x  e (1 - x) = 0  e = 0; • e ◦ x = x  e + x – e.x = x  e (1 - x) = 0  e = 0. •  e = 0 este elementul neutru. • d) x ◦ x' = e  x + x' = 0  x' = - x este elementul simetric

11. IV. VALORIFICAREA PROIECTULUI • Proiectul „Proprietăţi ale legilor de compoziţie”, poate fi utilizat anual de către profesorii de specialitate, în predarea acestei teme, de către elevii clasei a XII-a, profil real sau tehnic, în pregătirea lucrării semestriale sau a probei de simulare a examenului de bacalaureat, dar şi de către absolvenţii de liceu, în pregătirea examenului de bacalaureat.

12. V. BIBLIOGRAFIE • Mircea Ganga - Manual de Algebră pentru clasa a XII-a, Editura Mathpress, 2003; • L. Savu – Ghid de pregătire pentru examenul de Bacalaureat, Editura Sigma, 2005; • - Culegere de probleme