ทฤษฏีกราฟเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5

1. ทฤษฏีกราฟเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5

2. ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง • เขียนกราฟเมื่อกำหนดจุดยอด(vertex)และเส้นเชื่อม(edge)ให้และระบุได้ว่ากราฟที่กำหนดให้เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่ • นำความรู้เรื่องกราฟไปใช้แก้ปัญหาบางประการได้

3. เนื้อหา • กราฟเบื้องต้น • ดีกรีของจุดยอด • แนวเดิน • กราฟออยเลอร์ • การประยุกต์ของกราฟ

4. ความเป็นมา ปัญหาชวนฉงน (puzzle) ปัญหาสะพานเมืองเคอนิกส์เบอร์ก(Konigsburg)

5. สะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิกส์แบร์กสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิกส์แบร์ก (Seven Bridges of Königsberg)

6. B A C E F D ตัวอย่าง 1 กำหนดสถานการณ์ว่าจังหวัดหนึ่งมี 6 อำเภอ คือ A , B , C , D , E และ F โดยที่อำเภอ A , B และ F มีถนนเชื่อมติดต่อกัน อำเภอ C มีถนนเชื่อมไปยังอำเภอ B , E และ D อำเภอ A และ E มีถนนเชื่อมติดต่อกัน และอำเภอ D และ F มีถนนเชื่อมติดต่อกัน เขียนแผนภาพโดยให้จุดแทนอำเภอ และเส้น เชื่อมโยงระหว่างจุดสองจุดแทนถนน

7. A B C D E F กราฟเดียวกันตามเงื่อนไข ลองทำกราฟแบบอื่นๆตามเงื่อนไขนี้ลงในเอกสารประกอบการเรียนนะจ๊ะ

8. บทนิยาม กราฟ G ประกอบด้วยเซตจำกัด 2 เซต 1. เซตที่ไม่เป็นเซตว่างของจุดยอด (Vertex) แทนด้วยสัญลักษณ์ V(G) 2. เซตของเส้นเชื่อม (edge) ที่เชื่อมระหว่างจุดยอด แทนด้วยสัญลักษณ์ E(G)

9. ตัวอย่างของกราฟ

10. D B A C พิจารณากราฟที่กำหนด จากกราฟ G ที่กำหนดให้ จะได้ว่า V(G) = {A , B , C , D} E(G) = 

11. ข้อสังเกต • V(G) ได้หรือไม่ ไม่ได้ เพราะถ้าไม่มีจุดยอดเลย ก็ไม่มีอะไรให้พิจารณาเป็นกราฟได้เลย • E(G) ได้หรือไม่ ได้

12. กำหนดกราฟ G ดังรูป จากกราฟ G ที่กำหนดให้ จะได้ว่า V(G) = {A , B , C , D} E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4 } หรือ E(G) = {AB , AC , BC , BD}

13. a c b a c a b b c ตัวอย่าง กำหนด V(G) = {a , b , c} และ E(G)= {ab , ac , bc} สามารถเขียนกราฟได้ดังนี้

14. ข้อสังเกต • เส้นเชื่อม เป็นส่วนของเส้นตรง,เส้นโค้ง หรือ เส้นคดก็ได้ กราฟนี้ถือเป็นกราฟเดียวกัน

15. ข้อสังเกต • เส้นเชื่อมสองเส้นอาจตัดกันได้ โดยจุดตัดไม่ถือเป็นจุดยอด

16. ลองทำ (1)

21. ตัวอย่าง จงพิจารณาเส้นในกราฟ G ต่อไปนี้ว่าเส้นใดเป็นวงวน และเส้นใดเป็นเส้นเชื่อมขนาน เส้น e1 หรือ ab เส้น e2 หรือ ab เส้น e3 หรือ ab วงวน เส้น e5 หรือ cc เส้นเชื่อมขนาน

22. ลักษณะของเส้นเชื่อม • เส้นเชื่อมขนาน(parallel edges) • วงวน (loop)

23. H R G สังเกตกันหน่อย กราฟ H มีเส้นเชื่อมขนาน กราฟหลายเชิง กราฟ R มีวงวน กราฟ G ไม่มีเส้นเชื่อมขนาน ไม่มีวงวน กราฟเชิงเดียว

24. บทนิยาม กราฟที่ไม่มีเส้นเชื่อมขนาน และไม่มีวงวน เรียกว่ากราฟเชิงเดียว(simple graph) กราฟที่มีเส้นเชื่อมขนาน หรือ มีวงวนเรียกว่ากราฟหลายเชิง (multi graph)

25. ตัวอย่าง จงพิจารณาว่ากราฟที่กำหนดต่อไปนี้เป็น กราฟเชิงเดียว(กราฟอย่างง่าย) และ กราฟใดเป็นกราฟหลายเชิง G4 G1 G2 G3 G1 เป็นกราฟเชิงเดียวเนื่องจากกราฟ G1ไม่มีเส้นเชื่อมขนานและไม่มีวงวน G2 เป็นกราฟหลายเชิง เนื่องจาก G2มีวงวน G3 เป็นกราฟหลายเชิง เนื่องจาก G3 มีเส้นเชื่อมขนาน G4 เป็นกราฟหลายเชิง เนื่องจาก G4 มีวงวน และเส้นเชื่อมขนาน

26. กราฟใดเป็นกราฟเชิงเดียว และกราฟใดเป็นกราฟหลายเชิง กราฟหลายเชิง กราฟหลายเชิง กราฟหลายเชิง กราฟเชิงเดียว กราฟเชิงเดียว กราฟเชิงเดียว

28. กราฟเชิงเดียว ได้แก่ กราฟ G1 G2 กราฟหลายเชิงได้แก่ กราฟ G3 G4 G5

29. ตัวอย่าง บริษัทเสียงใสจริงๆ มีตำแหน่งว่าง 4 ตำแหน่ง นักร้อง 1 ตำแหน่ง นักพากษ์ 1 ตำแหน่ง นักแสดง 1 ตำแหน่ง นักจัดรายการ 1 ตำแหน่ง มีผู้มาสมัคร 4 คนซึ่งมีความสามารถแตกต่างกันดังนี้ แดน มีความสามารถด้านนักร้อง บีม มีความสามารถด้านนักร้องนักแสดง และจัดรายการ กอล์ฟ มีความสามารถด้านนักพากษ์ และจัดรายการ ไมค์ มีความสามารถด้านนักร้อง นักแสดง ต้องการให้แต่ละคนได้งานตามความสามารถในตำแหน่งที่ว่างเพียงคนละ 1 ตำแหน่งเท่านั้น

30. จำลองปัญหาสถานการณ์นี้ด้วยกราฟ G โดยที่ V(G) = {แดน , บีม , กอล์ฟ , ไมค์, นักร้อง , นักแสดง , นักพากษ์ , นักจัดรายการ} E(G) ={แดนนักร้อง, บีมนักร้อง , บีมนักแสดง, บีมนักจัดรายการ , กอล์ฟนักพากษ์ ,กอลฟ์นักจัดรายการ ,ไมค์นักร้อง , ไมค์ นักแสดง} สรุปว่า แดน เป็น นักร้อง บีม เป็น นักจัดรายการ กอล์ฟ เป็น นักพากษ์ ไมค์ เป็น นักแสดง แดน นักร้อง บีม นักแสดง กอลฟ์ นักพากษ์ นักจัดรายการ ไมค์

31. ตัวอย่างที่ 6 ในการจัดตารางสอบของวิชา 6 วิชา คือ วิชาคณิตศาสตร์ วิชาภาษาอังกฤษ วิชาภาษาไทย วิชาวิทยาศาสตร์ วิชาสังคมศึกษา วิชาสุขศึกษา โดยที่ทราบว่า มีนักเรียนบางคนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ และวิชาภาษาอังกฤษ มีนักเรียนบางคนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ และวิชาภาษาไทย มีนักเรียนบางคนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ และวิชาสุขศึกษา มีนักเรียนบางคนเรียนวิชาสังคมศึกษา และวิชาสุขศึกษา มีนักเรียนบางคนเรียนวิชาสังคมศึกษา และวิชาวิทยาศาสตร์ มีนักเรียนบางคนเรียนวิชาภาษาไทย และวิชาวิทยาศาสตร์ มีนักเรียนบางคนเรียนวิชาภาษาไทย และวิชาภาษาอังกฤษ จะสามารถจัดตารางสอบทั้ง 6 วิชาใช้เวลาสอบ 3 คาบได้อย่างไร นักเรียนจึงสามารถจึงจะสอบได้ครบทั้ง 6 วิชา

32. จำลองปัญหาด้วยกราฟ จุดยอด แทน วิชา มีเส้นเชื่อมเมื่อบางคนเรียนทั้งสองวิชา

33. คณิต สุขศึกษา อังกฤษ ไทย วิทย์ สังคม

34. คณิต สุขศึกษา อังกฤษ ไทย ตารางสอบ คาบที่ 1 คณิต วิทย์ วิทย์ สังคม สุขศึกษา อังกฤษ คาบที่ 2 คาบที่ 3 สังคม ไทย คณิต ,ไทย อังกฤษ สอบพร้อมกันได้หรือไม่ คาบ1 ไม่ได้ คาบ2 คาบ2 คาบ1 วิชาที่สอบพร้อมกันได้ มีวิชาใดบ้าง คณิต และสังคม คณิต กับวิทย์

35. เอกสารฝึกหัด 1. ที่จอดรถแห่งหนึ่งมีรถที่จอดประจำ 6 คัน ในช่วงเวลาต่างๆ ดังนี้ คันที่ 1 จอดเฉพาะช่วงเวลา 7 นาฬิกา ถึง 15 นาฬิกา คันที่ 2 จอดเฉพาะช่วงเวลา 12 นาฬิกา ถึง 21 นาฬิกา คันที่ 3 จอดเฉพาะช่วงเวลา 9 นาฬิกา ถึง 13 นาฬิกา คันที่ 4 จอดเฉพาะช่วงเวลา 16 นาฬิกา ถึง 24 นาฬิกา คันที่ 5 จอดเฉพาะช่วงเวลา 8 นาฬิกา ถึง 18 นาฬิกา คันที่ 6 จอดเฉพาะช่วงเวลา 22 นาฬิกา ถึง 8 นาฬิกาของวันถัดไป

36. 1.1 จงจำลองปัญหานี้ด้วยกราฟ โดยให้จุดยอดแทนรถแต่ละคัน และจุดยอดสองจุดมีเส้นเชื่อมก็ต่อเมื่อรถที่แทนด้วยจุดทั้งสอง มีช่วงเวลาจอดรถซ้อนกัน จำลองปัญหาด้วยกราฟ G ให้จุดยอด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 แทนรถคันที่ 1 ถึง รถคันที่ 6 จะได้ V(G) = { 1, 2, 3 ,4 , 5, 6} E(G) = {12 , 13 , 15 , 16 , 23 ,24 , 25 ,35 45 ,46} 2 3 1 6 5 ต้องเตรียมพื้นที่จอดรถไว้อย่างน้อย 4 คัน 4

37. บทนิยาม จุดยอด u และจุดยอด v ของกราฟ เป็นจุดยอดประชิด (adjacent vertices) ก็ต่อเมื่อมีเส้นเชื่อมระหว่างจุดทั้งสอง เส้นเชื่อม e ของกราฟเกิดกับ(incident) จุดยอด v ถ้าจุดยอด v เป็นจุดปลายจุดหนึ่งของเส้นเชื่อม e

38. c e1 b e4 e5 e3 e2 a e d e6 จุดประชิด ได้แก่ จุด b ประชิดกับ จุด a และ จุด e จุด e ประชิดกับ จุด b จุด c และ จุด d จุด c ประชิดกับ จุด e และ จุด d

39. c e1 b e4 e5 e3 e2 a e d e6 จุดที่ไม่เป็นจุดประชิด เช่น จุด b และ c จุด aและ e เป็นต้น เนื่องจากไม่มีเส้นเชื่อมระหว่างจุดแต่ละคู่นี้

40. c e1 b e4 e5 e3 e2 a e d e6 เส้นเชื่อม c e1 เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด a คือ e1 และ e2 เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด b คือ e1 และ e3 เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด c คือ e4 และ e5 เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด d คือ e5 และ e6 เส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด e คือ e3 และ e4

41. ถูก ถูก ผิด ถูก ผิด ผิด ถูก ผิด ถูก ถูก

42. ถูก ผิด ถูก ผิด ถูก

43. พิจารณากราฟต่อไปนี้ a 2 b 4 c 4 d 2 ดีกรี

44. บทนิยาม • ดีกรี (degree) ของจุดยอด v ในกราฟ คือ จำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด v • ใช้สัญลักษณ์ deg vแทน ดีกรีของ v

45. ดีกรีของจุดยอด พิจารณากราฟที่กำหนด แล้วเติมคำตอบลงในตาราง

46. 2 2 ab ac จุดยอด a มีเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด a คือ ab และ ac bb bb babc 4 4 เส้นเชื่อม bb เป็นวงวนที่เกิดกับจุดยอด b ให้นับเส้นเชื่อมที่เป็นวงวน 1 วงวนเป็น 2 ca cb cd cd 4 4 2 2 dc dc 12

49. พิจารณากราฟต่อไปนี้ 2 deg A = deg B = 3 deg C = 2 deg D = 3 deg E = 0

50. 2 deg A = deg B = 3 deg C = 2 deg D = 3 deg E = 0 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด= 2+3+2+3+0