Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

1. Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab Marco Antonio Montebello Júnior montebello@facens.br

2. Interpolação Polinomial “Consiste em determinar, de forma aproximada, uma função que descreve o comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do tipo (x, f(x)).” Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

3. Interpolação Polinomial • Através dos pontos: • (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)) (n+1 pontos) • Deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que: • f(xi) = pn(xi) i = 0, 1, 2, ..., n • Onde: • pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

4. Interpolação Polinomial • Portanto, interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa: • Calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x); • Ajustar uma função analítica aos dados • Podemos concluir que: • A interpolação polinomial consiste em obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto n+1 de dados {xi,f(xi)} Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

5. Interpolação Polinomial • De maneira que: • p(x0) = f(x0) • p(x1) = f(x1) • ... • p(xn) = f(xn) • Detalhe importante: o índice se inicia em 0 (zero) portanto temos n+1 pontos. • O polinômio p(x) é chamado de polinômio interpolador Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

6. Interpolação Polinomial • Conforme demonstrado podemos escrever: ... Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

7. Interpolação Polinomial • Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)} • Como obter o valor de f(x) para um determinado valor de x que não foi medido • A função f(x) não é conhecida Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

8. Interpolação Polinomial Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

9. Forma de Lagrange • Considere o conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)} • Deseja-se obter o polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n, que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

10. Forma de Lagrange • Podemos representar pn(x) como: • Onde os polinômios Lk(x) são de grau n • Para cada i a condição pn(xi) = f(xi) deve ser satisfeita Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

11. Forma de Lagrange • Para satisfazer a condição imposta, devemos considerar: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

12. Forma de Lagrange • Portanto, vamos provar a condição imposta: e Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

13. Forma de Lagrange • Ou seja, p(x) passa exatamente sobre {xi,f(xi)} • E, podemos verificar isso facilmente, pois: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

14. Forma de Lagrange • Uma das maneiras de definir Lk(x) seria: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

15. Forma de Lagrange • Podemos definir o polinômio interpolador na Forma de Lagrange, como: e Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

16. Forma de LagrangeInterpolação para 2 pontos • Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)} • Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

17. Forma de LagrangeInterpolação para 2 pontos • Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições • L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 • L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 • Passo 3 – Montar os Li(x), conforme: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

18. Forma de LagrangeInterpolação para 2 pontos • Passo 3 (continuação)... • Passo 4 – Substituir os Li(x) no polinômio p(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

19. Forma de LagrangeInterpolação para 3 pontos • Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)} • Passo 1 – Montar a estrutura do polinômio Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

20. Forma de LagrangeInterpolação para 3 pontos • Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições • L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 L2(x0) = 0 • L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 L2(x1) = 0 • L0(x2) = 0 L1(x2) = 0 L2(x2) = 1 • Passo 3 – Montar os Li(x), conforme: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

21. Forma de LagrangeInterpolação para 3 pontos • Passo 3 (continuação)... • Passo 4 – Substituir os Li(x) no polinômio p(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

22. Forma de LagrangeExemplo • Ajustar uma reta aos seguintes pontos: • Passo 1 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

23. Forma de LagrangeExemplo • Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições • L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 • L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 • Passo 3 – Montar os Li(x), conforme: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

24. Forma de LagrangeExemplo • Passo 3 (continuação)... Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

25. Forma de LagrangeExemplo • Passo 4 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

26. Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) • Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ n, comete-se um erro: • Erro absoluto: • En(x) = f(x) – pn(x), para todo x no intervalo [x0, Xn] • Estudar o erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

27. Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) • Sejam x0 < x1 < x2 < ... < xn (n pontos) • Seja f(x) com derivadas até a ordem n para todo x pertencente ao intervalo [x0, xn] • Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn • Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x0, xn], o erro é dado por: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

28. Limitante para o Erro • A fórmula para o erro mostrada anteriormente tem seu uso limitado na prática, pois são raras as situações que conhecemos f(n)(x) e o ponto xnunca é conhecido. • Agora estudaremos 2 corolários do Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2), que relacionam o erro com um limitante de f(n)(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

29. Limitante para o ErroCorolário 1 • Baseados no que foi dito anteriormente, se f(n)(x) for contínua em I=[x0,xn], podemos escrever a relação: Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

30. Limitante para o ErroCorolário 2 • Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou seja: x1 - x0 = x2 – x1 = ... = xn – xn-1 = h, • Então: • Observe que o majorante acima independe do ponto x considerando, x  [x0, xn] Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

31. Forma de LagrangeExercícios • 1. Interpolar o ponto x = 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

32. Forma de LagrangeExercícios • A tabela seguinte relaciona a velocidade de queda de um pára-quedista em função do tempo. • Determine a velocidade de queda do pára-quedista ao fim de 10s usando polinômio interpolador de Lagrange de grau menor igual a 3 Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab

33. Forma de LagrangeExercícios • Dada a tabela da função f(x) = ln(x), calcule uma aproximação para o valor f(12,3), usando a interpolação parabólica baseada no método de Lagrange. Introdução a Computação e Cálculo Numérico - Lab