Chapter 8 堆積

1. Chapter 8 堆積

2. 何謂堆積 • 何謂堆積(Heap)？ • 堆積是一棵二元樹，其樹根的鍵值大於子樹的鍵值， • 必須符合完整二元樹的定義 • 不管左子樹和右子樹的大小順序(與二元搜尋樹最大的差異處)

3. 何謂堆積 • 堆積(Heap)和二元搜尋樹大致上雷同，但有一點點差異。 • Heap在分類上大致可分為Max-heap, Min-heap, Min-max heap及Deap。 • Heap可用在排序上，此稱為Heap sort（堆積排序）。 • 一棵Max-Heap不是唯一，因為只要父節點大於子節點即可。

4. 堆積的建立 • 堆積可以用於排序上，簡稱 Heap Sort。 • 堆積排序的步驟： • 先將資料利用完整二元樹的方式將其建立起來 • 將建立完成的完整二元樹「調整」成 Heap • 以堆疊(由大到小)或佇列(由小到大)的方式輸出

5. 堆積的建立 • 堆積的調整方式 • 由上而下，從樹根開始分別與其子節點相比，若前者大則不用交換，反之，則要交換；以符合父節點大於子節點 1 1 1 30 23 15 換 換 3 2 3 2 3 2 15 23 23 15 30 30

6. 堆積的調整 • (一) 為由下而上: • 先算出此棵樹的節點數目，假設n，再取其 n/2 ，從此節點，開始與它的最大子節點相比，若最大子節點的鍵值大於父節點之鍵值，則相互對調，一直做到樹根止。應注意的是，若相互對調後要往下繼續比較，調整的方法如下：

7. 堆積的調整 • step 1：先將每一節點按完整二元樹的順序加以編號如下圖： 1 15 2 3 23 20 5 6 4 40 8 10

8. 堆積的調整 • step 2： 6/2 ，故從第3節點開始與其較大的子節點相比。由於20比10大，故調換之。 1 15 2 3 23 10 20 5 6 4 40 8 20 10

9. 堆積的調整 • step 3：接下來將第2個節點與其較大子節點比，我們發現40大於23，故調換之，如下圖： 1 15 2 3 23 40 20 5 6 4 40 8 10 23

10. 堆積的調整 • step 4：接下來將第1個節點與其較大子節點比，我們發現40大於15，故調換之，如下圖： 1 15 40 2 3 40 20 15 5 6 4 8 23 10

11. 堆積的調整 • step 5：雖然皆已調換完成，但因為第2節點小於第4節點（15＜23），故需繼續對調，如下圖： 40 40 2 3 2 3 15 20 23 20 5 6 5 6 4 4 8 8 23 10 15 10

12. 堆積的加入 • 先按照建立一棵完整二元樹的特性將資料加入 • 判斷加入後的二元樹是否為一棵堆積樹，若符合則完成加入；若否，則再加以調整之。 • 假設有一棵Heap，加入30及50。 • 首先按照完整二元樹的特性將30加進來，如下圖：

13. 40 23 30 15 8 10 堆積的加入 40 23 10 15 8 30

14. 50 23 40 15 8 10 30 堆積的加入 40 23 30 50 15 8 10 50 30

15. 堆積的刪除 • Heap的刪除則將完整二元樹的最後一節點取代被刪除的節點，然後判斷是否為一棵Heap，若否，則再依上述的方法加以調整之。 40 40 刪除30 30 10 20 20 15 10 15 調整

16. 堆積的刪除 40 10 刪除40 調整 15 15 20 20 10 20 15 10

17. 何謂min-heap • 上述介紹的Heap，稱之為max-heap， • 在max-heap樹中的鍵值，一律是上大於下，節點內的鍵值一律大於其子節點。 • 而min-heap，其節點鍵值一律小於子節點，恰與max-heap相反。 • 加入與刪除的方法與max-heap十分類似。

18. Deap • Deap同樣也具備了Max-heap與Min-heap的特徵，其定義如下： • Deap的樹根不存任何資料，為一個空節點。 • 樹根的左子樹為一棵Min-heap；右子樹為Max-heap。 • Max-heap與Min-heap存在一對應，假設左子樹中有一節點i，則在右子樹中相同的位置存在一節點j與i對應，且i必須小於等於j。如下圖。

19. Deap 5 35 21 32 12 30 18 16 25 27 22 29

20. Deap的加入與刪除 • 加入與刪除的動作與堆積樹一樣。 • 將新的鍵值加入於整顆樹的最後，再調整至符合堆積樹的定義。 • 刪除時，當遇到刪除節點非最後一個節點時，要以最後一個節點的鍵值取代節點。