关于动量问题的讨论

1. 关于动量问题的讨论 王新明（PB03203142） 中国科学技术大学

2. 前 言 大学的动量守恒定律与动量定理其实是对高中知识的升华。动量守恒定律在一些场合包括微观领域比牛顿定律更为有用，碰撞及变质量物体的运动中应用动量守恒定律能够大大降低问题的难度。

3. 一、变质量物体运动 二、一题多解，多种角度进行思考 三、碰撞问题 四、小结 五、建议

4. 一、变质量物体运动 • 例题：球状小水滴在静止的雾气中下落，下落过程中西服了全部所遇到的分子，设小水滴始终保持球状，雾气密度均匀，忽略空气的粘滞力，重力加速度为g。 • 试证明经过足够的时间，水滴的加速度趋于稳定并求出此稳定值。 • 首先对该题进行分析:

5. 取水滴为主题，在下落过程中不断吸附雾气中的水分子作为吸附物，在下过程中质量不断增加，是典型的变质量物体运动问题。可用变质量运动方程：取水滴为主题，在下落过程中不断吸附雾气中的水分子作为吸附物，在下过程中质量不断增加，是典型的变质量物体运动问题。可用变质量运动方程：

6. v是水滴的速度，u是被吸附雾气中水分子原先的速度，在题中u=0，F是水滴所受的外力，即重力，且随水滴吸附雾气中的水分子，质量M增大，F也相应增大。因此方程可写为：v是水滴的速度，u是被吸附雾气中水分子原先的速度，在题中u=0，F是水滴所受的外力，即重力，且随水滴吸附雾气中的水分子，质量M增大，F也相应增大。因此方程可写为：

7. 水滴在下降过程中因吸附雾气中的水分子体积不断增大（密度不变）即水滴的半径r随时间t增大而增大。因此可得 与 的关系，从而由⑴式得出水滴半径r的方程，解此方程找出r与t的关系。 另外根据水滴可吸收途中遇到的全部雾气质量的假设可找出水滴速度v与 的关系就可求v与关系，从而得加速度。 解：水滴加速度为： ⑴

8. 因为水滴不断吸附雾气中水分子，使水滴加速度比g要小。因为水滴不断吸附雾气中水分子，使水滴加速度比g要小。 • 设水滴在任一时间t质量为M速度为v半径为r密度为ρ，则有： • ⑵ • ⑶ • 水滴在时间内扫过雾气体积为 设雾气密度为 ，则该体积内雾气质量为 ，就是在时间内增加的质量：

9. ⑷ 由以上两式可得 ⑸ 代入⑴式可得： + ⑹ 该方程特解为： ⑺ A为待定系数，代入⑹得

10. 所以方程⑹特解为： 方程⑹齐次方程为 解得 所以⑹得解为 这就是r与t的关系式中第一项与t为 关系.

11. 第二项则为t2 所以经时间t后第一项可忽略 所以

12. 所以吸附全部所遇到的雾气分子经足够长的时间后水滴将作匀加速直线运动加速度a为重力加速度g的七分之一。

13. 二、一题多解，多种角度进行思考（课本P164.14）二、一题多解，多种角度进行思考（课本P164.14） • 例题：密度为长度为L的链条，用手提着一头，另一头刚好触及地面，静止不动，忽然放手，使链条自由下落。求当链条的上端下落的距离为（L-S）时链条作在地面上的力为 。 • 分析： • 方法一：用变质量物体的动力学方程，可取已在地面上的那部分链条作为主体，不断加入的部分作为附加物。

14. 方法二：用动量定理。链条中任意小质元的落地速度即为自由下落的速度，落地后速度变为零，其动量改变等于地面给予的冲量。因此得出的面冲力的反作用，既是该质元对地面的压力，加上已落在地面上的那部分链条的重力就是地面所受总压力。这是运用了数学的微元法。 • 方法三：用质心运动方程，把全部链条看作质点组，起质心的运动取决于所受重力及地面的支持力。

15. 解： • 方法一： • 把地面上链条作为主体，其质量为： • 这段链条所受外力F为重力-g(L-S)及地面支持力N。即：

16. 在dt时间有质量dM为的链条加入主体，附加物加入主体前速度为： 由变质量运动方程得 把前三式代入方程得

17. 得证。

18. 方法二 用动量定理 • 在dt时间内有ds段绳子以速度 • 下落到地面速度变为0。则有 • 得证

19. 方法三 用质心运动定理 • 把全部链条看作质心组，下降L－S段链条后质心有：

20. 由质心运动定理得 代入 得 得证。

21. 三、 碰撞问题 • 例题：在光滑地面上静止地放着质量为m的箱子，在箱内光滑地面上，质量为m的滑块以水平速度 开始运动并与两壁所复碰撞。已知滑块与箱子每碰一次两者相对速度改变 倍 。 • 试求⑴最多经几次碰撞后，系统总能量损耗不大于40%。

22. ⑵从滑块开始运动到完成上述次数的碰撞后，箱子的平均速度是多少。⑵从滑块开始运动到完成上述次数的碰撞后，箱子的平均速度是多少。 • 分析：为了计算使总动能有一定的损耗的碰撞次数需知道每次碰后箱子与滑块分别具有的速度与动能，显然仅由滑块与箱子系统碰撞前后在水平方向的动量守恒难以如愿。 • 题目又给出滑块与箱子碰撞前后相对速度比即恢复系数，为了由此找出碰撞后两者速度关系，取质心系比较方便，因质心系中系统总动量为0。

23. 解：取滑块与箱子为物体系。碰撞时在水平方向动量守恒，总动量为mv0。设质心速度为vc，则有：解：取滑块与箱子为物体系。碰撞时在水平方向动量守恒，总动量为mv0。设质心速度为vc，则有： • 设箱子碰后相对地面速度分别为 • 则有 • 即

24. 可见箱子与滑块在地面参考系和质心系相对速度相同可见箱子与滑块在地面参考系和质心系相对速度相同 ⒈碰前相对速度为 ，第一次碰后为 第二次 为 ，……，第N次为 。 即有： 因为质心系总动量为0，所以

25. 由以上两式得 动能损失 因为 所以

26. 所以最多碰撞4次。 • （2）取箱子和滑块作为质心系。设箱子宽为L，则箱子总在L/2范围内运动，经偶数次碰撞后总位移为零。所以质心系中从静止到第四次碰撞平均速度为零。又因为质心速度为 。

27. 所以箱子从静止到第4次碰撞后平均速度为：

28. 由质心运动定理得 代入 得 得证。

29. 小 结 • 对于变质量物体运动问题，可运用变质量物体运动方程进行求解。根据题目所给的数据求出相应的变量值，然后求解。 • 在解题时，可以从不同角度思考，拓宽思路，从而选择最简单易懂的方法进行解答。 • 在碰撞问题中，如是两体问题，有时只运用动量守恒及能量守恒难以解出，我们可以选取质心系，因为在质心系中总动量为零，这样关系比较简单，方便解答。

30. 建 议 • 讲课时，最好把最基础的东西讲的深一点，使同学们能理解透彻，那样老师讲比较难懂的问题时，我们才能理解。比如力学第一章是最基本的，你却用很短时间讲完，当时我们听的一头雾水，等你再讲时，碰到第一章的问题不得不回头看，这样是有助于复习，但浪费时间，假如你当时讲的很明白我们都听懂了，当你向下讲，遇到第一章的问题时，我们不须再翻书，只须想想就行，照样复习，又节约时间，何乐而不为呢？

31. 上课时能否多讲点例题。要不然我们虽然有了理论知识，但当我们做题时，简单的还好，稍微难一点的，就找不到思路了，我想假如你在课上能讲些例题的话，就不会出现这样的情况。上课时能否多讲点例题。要不然我们虽然有了理论知识，但当我们做题时，简单的还好，稍微难一点的，就找不到思路了，我想假如你在课上能讲些例题的话，就不会出现这样的情况。