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非線形方程式. 教科書 第２章 非線形方程式その１. 非線形方程式. 二分法 ニュートン法 Von Mises 法（改良ニュートン法） 加速法 Aitken, Steffensen. 2次以上の代数方程式と非線形方程式を解く 方法を考える ⇒ 反復法 収束の問題. ここでは，連立方程式でない場合を考える. y. y = f ( x ). x 1. x. O. x m. x 2. 二分法. 非線形方程式 f ( x ) = 0 y = f ( x ) の x 軸との交点を求める
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非線形方程式 教科書 第２章 非線形方程式その１ 第6章 連立一次方程式その３
非線形方程式 • 二分法 • ニュートン法 • Von Mises法（改良ニュートン法） • 加速法 • Aitken, Steffensen 2次以上の代数方程式と非線形方程式を解く 方法を考える ⇒ 反復法 収束の問題 ここでは，連立方程式でない場合を考える 第6章 連立一次方程式その３
y y = f(x) x1 x O xm x2 二分法 • 非線形方程式 f (x) = 0 • y = f (x) のx軸との交点を求める • 交点を含む区間 [x1, x2] を半分ずつ狭めていく • 特徴 • 長所：必ず収束する • 短所：反復回数が多い 解 解をはさむ探索区間を設定 する． 探索区間 第6章 連立一次方程式その３
ニュートン法(Newton-Raphson法) • 関数を x0のまわりでTaylor展開 • 一次の項まで考慮すると • f(x)=0となる解 点x0を通る接線の方程式 反復式 第6章 連立一次方程式その３
ニュートン法(Newton-Raphson法) • 接線と x 軸との交点に対する反復法 y y -f (x0) =f '(x0)(x-x0) 傾きf '(x0) y =f (x) O x x0 x1 第6章 連立一次方程式その３
ニュートン法 例題１ • f(x)=x2-2=0を解け f’(x)=2xであるから,ニュートン法の公式より 初期値を x0=1.5 とすると 小数点8位まで一致 第6章 連立一次方程式その３
ニュートン法と二分法の比較 二分法 ニュートン法 1 5.5000000000000000000e+00 1.138e+01 2 4.7500000000000000000e+00-3.953e+00 3 5.1250000000000000000e+00 2.393e+00 4 4.9375000000000000000e+00-1.090e+00 5 5.0312500000000000000e+00 5.713e-01 6 4.9843750000000000000e+00-2.791e-01 7 5.0078125000000000000e+00 1.412e-01 8 4.9960937500000000000e+00-7.018e-02 9 5.0019531250000000000e+00 3.519e-02 10 4.9990234375000000000e+00-1.757e-02 11 5.0004882812500000000e+00 8.791e-03 12 4.9997558593750000000e+00-4.394e-03 13 5.0001220703125000000e+00 2.197e-03 14 4.9999389648437500000e+00-1.099e-03 15 5.0000305175781250000e+00 5.493e-04 16 4.9999847412109375000e+00-2.747e-04 17 5.0000076293945312500e+00 1.373e-04 18 4.9999961853027343750e+00-6.866e-05 19 5.0000019073486328125e+00 3.433e-05 20 4.9999990463256835938e+00-1.717e-05 21 5.0000004768371582031e+00 8.583e-06 22 4.9999997615814208984e+00-4.292e-06 23 5.0000001192092895508e+00 2.146e-06 24 4.9999999403953552246e+00-1.073e-06 25 5.0000000298023223877e+00 5.364e-07 26 4.9999999850988388062e+00-2.682e-07 27 5.0000000074505805969e+00 1.341e-07 28 4.9999999962747097015e+00-6.706e-08 29 5.0000000018626451492e+00 3.353e-08 30 4.9999999990686774254e+00-1.676e-08 31 5.0000000004656612873e+00 8.382e-09 32 4.9999999997671693563e+00-4.191e-09 33 5.0000000001164153218e+00 2.095e-09 34 4.9999999999417923391e+00-1.048e-09 35 5.0000000000291038305e+00 5.239e-10 1 7.59562841530054644323400e+00 2 6.12571526494821849695427e+00 3 5.33895988477328398147392e+00 4 5.04548534982205953980383e+00 5 5.00099912463051943234404e+00 6 5.00000049873744956130395e+00 7 5.00000000000012434497876e+00 8 5.00000000000000000000000e+00 ニュートン法の方が圧倒的早い 第6章 連立一次方程式その３
ニュートン法収束の早さ • 収束の速さを調べる 以下の関係を利用した 区間 I1において とできる 2次収束 第6章 連立一次方程式その３
収束の速さ • 一般に，αに収束する反復列が のとき，線形収束（一次の収束） • また，次のとき p次収束であるという （ニュートン法は2次の収束） 第6章 連立一次方程式その３
ニュートン法の長所と短所 • ニュートン法の特徴 • 収束し始めると，その後の収束は早い． • 必ずしも，収束しない．重根の場合等 • 単根の場合は，収束性に優れる．遠く離れた初期値からでも，必ず解に収束する． • ニュートン法使用時の注意点 • 解の見当をつけて初期値を選ぶ． • 近接した解は分離しにくい．２つの近接解があるときは，その両側に初期値を選ぶと分離できることがある． • 収束判定が厳しすぎると，収束しないで無限に計算を繰り返すことがある． 第6章 連立一次方程式その３
Von Mises(フォンミーゼ)法 • ニュートン法の改良法 • 発散を防ぐ改良を施した方法 直線の傾きは不変 y y = f(x) x1 x x2 x1 x0 O 第6章 連立一次方程式その３
収束の加速法(Aitkenの加速法) • 反復 xkが線形収束のとき，十分大きいkに対して ニュートン法は線形収束ではないので，適用不可．二分法は適用可能 Aを消去すると 反復式 第6章 連立一次方程式その３
Steffensenの反復法 • 反復 xkが線形収束のとき，十分大きいkに対して に対してAitken加速したもの ただし，g(x)は x=g(x) を満たす関数 f(x)=x2-2=0の場合は 第6章 連立一次方程式その３
反復法の比較(1) a=1.0 Steffensen反復 Newton反復 1次収束のものも加速法の適用により，ニュートン法並みに早くなる！ Aitken加速 第6章 連立一次方程式その３
反復法の比較(1) a=3.0 Steffensen反復 Newton反復 Aitken加速で発散する場合でも，Steffensen反復法なら収束する Aitken加速 第6章 連立一次方程式その３
縮小写像の幾何学的意味 第6章 連立一次方程式その３
