分类讨论思想方法

1. 分类讨论思想方法 南宁三中 颜显桐

2. 分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况 加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论 思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练 人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 一、在什么情况下要进行分类讨论 1．数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义 或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论。 2．研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的 “量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论。

3. 3．在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定3．在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定 或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各 种情况分别进行讨论。 4．含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基 本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的 划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合 加法原理或乘法原理完成解答。 5．树立划分意识，训练思维的严谨性，保证解题的正确 与完整。 二、分类讨论的步骤、原则和方法 1．分类评论的一般步骤是： →明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类→逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论。

4. 2．逻辑划分应遵循的原则： 分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、 分层次，不越级讨论。 3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。 4．分类讨论后如何归纳结论。 （1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题 有不同的结论，归纳结论时应采用分列式。 （2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均是 总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。

5. 2．若a>0且a≠1，p＝ ，q＝ ， 则p、q的大小关系是_________。 A.p＝q；B.p<q；C.p>q；D.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q。 三、灵活运用逻辑划分的思想方法 1．通过“补集”间接求解。 2．有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}， 若AB，那么a的范围是_________。 A.0≤a≤1；B.a≤1；C.a<1；D.0<a<1。

6. 3．函数 的值域是_________。 4.若 ，则 的值为_________。 A.1或－1；B.0或－1；C.0或1；D.0或1或－1。 5.函数 的值域是_________。 A.[2,+∞]；B.(-∞,-2]∪[2,+∞]；C.(-∞,+∞)；D.[-2,2]。 6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形， 则它的体积为_________。 A. ；B. ；C. ；D. 或 。

7. 例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较| |与| | 的大小。 | |－| |＝ － 当0<a<1时， >0; 当a>1时，| |－| |＝…… 5．过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_________。 A.3x－2y＝0； B.x＋y－5＝0； C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0； D.不能确定。 Ⅱ、示范性题组： 【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。 【解】∵0<x<1∴0<1－x<1,1＋x>1 由①、②可知，……

8. 【解】 · ＋ · ＋ · ＝1084 例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素， 试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①CA∪B且 C中含有3个元素；②C∩A≠φ。 【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类： ①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中 元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 【另解】（排除法）： 例3.设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有 f(x)>0，求实数a的取值范围。 【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题， 先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分 类讨论。（也属数形结合法）

9. 【解】当a>0时，f(x)＝a（x－ ）＋2－ ∴ 或 或 ∴a≥1或 <a<1或φ即a > ； 当a<0时， ，解得φ； 由上而得，实数a的取值范围是a > 。 当a＝0时，f(x)＝－2x＋2 , f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意

10. 例4.解不等式 >0 (a为常数，a≠－ ) 【分析】含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根 －4a、6a的大小，故对a>0、a＝0、－ <a<0、a<－ 分别加以讨论. 【解】2a＋1>0时，a > － ；－4a<6a时，a> 0。 所以分以下四种情况讨论： 当a＝0时， >0，解得：x≠0； 当－ <a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得:x<6a或x>－4a； 当a>－ 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。 当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x <－4a或x>6a； 综上所述，……

11. 【注】含参问题，结合参数的意义及对结果的影响【注】含参问题，结合参数的意义及对结果的影响 而分类讨论。（含参型） 例5.设a≥0,在复数集C中，解方程： ＋2|z|＝a。(90年全国高考) 【解】∵z∈R，由 ＋2|z|＝a 得： ∈R； |z|＝－1＋ 当z∈R时， ＋2|z|＝a,解得： ∴z＝±(－1＋ )； ∴ ＋2y＝a 解得： y＝1± （0≤a≤1） 由上可得，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ ∴z为实数或纯虚数 当z为纯虚数时，设z＝±yｉ(y>0)， 【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个 方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分 两类讨论则简化了数学问题。（简化型）

12. ∴ 【另解】设z＝x＋yｉ，代入得 当y＝0时，… 例6.在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上 的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40） 【分析】求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数， 转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而 引起对参数a的取值讨论。 【解】设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则

13. 由于 ＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论： 综上所述，有f(a)＝ 。 当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即 当a－1<0时，x＝0取最小值，即

14. 1.若 <1，则a的取值范围是_____ 2.非零实数a、b、c，则 ＋ ＋ ＋ 的值组成 的集合是_____。 A.{-4,4}；B.{0,4}；C.{-4,0}；D.{-4,0,4} 3.f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。 A.当x＝2a时，有最小值0； B.当x＝3a时，有最大值0； C.无最大值，且无最小值； D.有最小值但无最大值。 4.设f(x,y)＝0是椭圆方程，g(x,y)＝0是直线方程，则方程 f(x,y)＋λg(x,y)＝0（λ∈R）表示的曲线是_____。 A.只能是椭圆； B.椭圆或直线； C.椭圆或一点； D.还有上述外的其它情况. Ⅲ、巩固性题组：

15. 5.函数f(x)＝ (a≠0)在闭区间[2,3]上有最 大值5，最小值2，则a、b的值为_____。 A.a＝1,b＝0； B.a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3 C.a＝－1，b＝3； D.以上答案均不正确。 A. 1； B. 3； C. 4；D. 5。 6.方程 的整数解的个数是_____。 8. z∈C，方程 －3|z|＋2＝0的解的个数是_____。 A. 2； B. 3； C. 4； D. 5。 10.解关于x的不等式：2log (2x－1)>log (x－a)(a>0且a≠1) 11.设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为S， 又设 ，求 T 。 7.到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。 A. 7； B. 6； C. 5； D. 4。 9.复数z＝a＋aｉ(a≠0)的辐角主值是______________。

16. 12.若复数z、z 、z 在复平面上所对应三点A、B、C组成 直角三角形，且|z|＝2，求z。 14.函数f(x)＝(|m|－1) x －2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个 公共点，求参数m的值及交点坐标。 13.有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张 卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用， 问可组成多少个不同的三位数。

17. 再见