第七章 图

1. 第七章 图

2. 一、图的定义 图是一种数据元素间为多对多关系的数据结构，加上一组基本操作构成的抽象数据类型。

3. ADT Graph { 数据对象V ：V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。 数据关系R： R={VR} VR={<v,w>|v,w(-V且P(v,w),<v,w>表示从v到w的弧，谓词P(v,w)定义了弧<v,w>的意义或信息}

4. 基本操作P： • CreateGraph(&G,V,VR); • 初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。 • 操作结果：按V和VR的定义构造图G • DestroyGraph(&G); • 初始条件：图G存在 • 操作结果：销毁图G • LocateVex(G,u); • 初始条件：图G存在，u一G中顶点有相同特征 • 操作结果：若G中存在顶点u, 则返回该顶点在图中位置；否则返回其它信息。 • GetVex(G,v); • 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点 • 操作结果：返回v的值。

5. PutVex(&G,v,value); • 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点 • 操作结果：对v赋值value • FirstAdjVex(G,v); • 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点 • 操作结果：返回v的第一个邻接顶点。若顶点在G中没有邻接顶点，则返回“空” • NextAdjVex(G,v,w); • 初始条件：图G存在,v是G中某个顶点,w是v的邻接顶点。 • 操作结果：返回v的（相对于w的）下一个邻接顶点。若w是v的最后一个邻接点，则返回“空”

6. InsertVex(&G,v); • 初始条件：图G存在，v和图中顶点有相同特征 • 操作结果：在图G中增添新顶点v • DeleteVex(&G,v); • 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点 • 操作结果：删除G中顶点v及其相关的弧 • InsertAcr(&G,v,w); • 初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点 • 操作结果：在G中增添弧<v,w>,若G是无向的，则还增添对称弧<w,v>

7. DeleteArc(&G,v,w); • 初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点 • 操作结果：在G中删除弧<v,w>,若G是无向的，则还删除对称弧<w,v> • DFSTraverser(G,v,Visit()); • 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点，Visit是顶点的应用函数 • 操作结果：从顶点v起深度优先遍历图G，并对每个顶点调用函数Visit一次。一旦Visit()失败，则操作失败。 • BFSTRaverse(G,v,Visit()); • 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点，Visit是顶点的应用函数 • 操作结果：从顶点v起广度优先遍历图G，并对每个顶点调用函数Visit一次。一旦Visit()失败，则操作失败。 • }ADT Graph

8. 二、图的常用术语 对上图有：G1=(V1,{A1}) 其中：V1={v1,v2,v3,v4} A1={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}

9. 如果用n表示图中顶点数目，用e表示边或弧的数目，则有：如果用n表示图中顶点数目，用e表示边或弧的数目，则有： 对于无向图，e的取值范围是0到n(n-1)/2,有n(n-1)/2条边的无向图称为完全图。 对于有向图，e有取值范围是0到n(n-1)。具有n(n-1)条弧的有向图称为有向完全图。 有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

10. v1与v2互为邻接点e1依附于顶点v1和v2v1和v2相关联v1的度为3 通路 连通

11. 对有向图， 如果每一对顶点之间都有通路，则称该图为强连通图。 环 入度 出度

12. 有关概念： Weight network Graph Subgraph Cycle Path

13. 顶点的位置 • 邻接点的位置

14. 在图所示的各无向图中： (1)找出所有的简单环：(同一个环可以任一顶点作为起点)。 (2)哪些图是连通图?对非连通图给出其连通分量。 (2)：(a)、(c)、(d)是连通图，(b)不是连通图，因为从1到2没有路径 连通图的生成树

15. 图的存储结构 • 数组表示法 • 邻接表 • 十字链表 • 邻接多重表

16. 数组表示法 用两个数组分别存储数据元素（顶点）的信息和数据元素之间的关系（边或弧）的信息。 // 图的数组（邻接矩阵）存储表示 #define INFINITY INT_MAX //最大值无穷大 #define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点个数 typedef enum{DG,DN,AG,AN} GraphKind;//有向图，有向网，无向图，无向网

17. typedef struct ArcCell{ VRType adj; //VRType是顶点关系类型。对无权图，用1或0表示相邻否，对带权图，则为权值类型 InfoType *info; //该弧相关信息的指针 }ArcCell,AdjMatrix[max_vertex_num][max_vertex_num]; tpyedef struct{ VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点向量 AdjMatrix arcs; //邻接矩阵 int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和弧数 GraphKind kind; //图的种类标志 }MGraph;

19. 关于邻接矩阵 1 压缩存储 2 判定顶点间关系 • 无向图 • 顶点vi的度是邻接矩阵中第i行（列）的元素之和 • 有向图 • 第I行的元素之和为顶点vi的出度，第j列的元素之和为顶点vj的入度 3 网的邻接矩阵

20. 假设图的顶点是A,B...，无向图 有向图 邻接矩阵

21. 算法7.1 7.2 CreateUDN(Mgraph &G) { Scanf(&G.vexnum, &G.arcnum, &IncInfo); For (I=0; I<G.vexnum; ++ I) scanf(&G.vexs[I]); For (I=0; I<G.vexnum; ++ I) for (j=0; j<G.vexnum; ++j) G.arcs[I][j] = {INFINITY, NULL}; For (k=0; k<G.arcnum; ++k) { Scanf(&v1, &v2, &w); I = LocateVex(G, v1);J=LocateVex(G, v2); G.arcs[I][j].adj = w; If (IncInfo) Input(*G.arcs[I][j].info); G.arcs[j][I] = G.arcs[I][j]; } Return OK; }

22. 表结点 adjvex data nextarc firstarc info 头结点 邻接表 邻接表是图的一种链式存储结构。 在邻接表中，对图中每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点vi的边（对有向图是以顶点vi为尾的弧）。每个结点由三个域组成，其中邻接点域(adjvex)指示与顶点vi邻接的点在图中的位置（序号），链域(nextarc)指示下一条边或弧的结点；数据域(info)存储和边或弧相关的信息，如权值等。每个链表上附设一个表头结点，包含链域(firstarc)指向链表中第一个结点，还设有存储顶点vi的名或其它有关信息的数据域(data)。如： 例

23. #define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef struct ArcNode{ int adjvex; //该弧所指向的顶点的位置 struct ArcNode *nextarc; //指向下一条弧的指针 InfoType *info; //该弧相关信息的指针 }ArcNode; typedef struct VNode{ VertexType data; //顶点信息 ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的弧的指针 }VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct { AdjList vertices; int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和弧数 int kind; //图的种类标志 }ALGraph;

24. 例p164 • 例 • 逆邻接表 • 优缺点

25. 十字链表 弧结点 顶点结点 存储表示 p165

26. 邻接多重表 边结点 顶点结点 存储表示 p167

27. 图的遍历 • Depth First Search • Breadth First Search

28. DFS • 搜索思想 • 例 • 如何实现 • 数据结构上 • Algorithm 7.4 7.5 • 时间复杂度 • 数组表示时：O(n^2) • 邻接表 O(n+e)

29. BFS • 搜索思想 • 例 • 如何实现 • 数据结构上 • Algorithm 7.6 • 时间复杂度 • 数组表示时：O(n^2) • 邻接表 O(n+e)

30. 无向图的连通分量和生成树 • 连通 非连通图的 遍历问题 • 连通分量 • 连通图的生成树 • 非连通图的生成森林

31. 非连通图的DFS生成森林算法 Void DFSForest(Graph G, CSTree &T){ T=NULL; For (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; For (v=0; v<G.vexnum; ++v) If (!visited[v]) { p = (CSTree) malloc (sizeof(CSNode)); *p = {GetVex(G, v), NULL, NULL}; if (!T) T = p; else q -> nextsibling = p; q = p; DFSTree(G, v, p);} }

32. 最小生成树 • 应用背景

33. 最短树的Kruskal算法 (1) 对属于E的边进行排序得 (2) 初始化操作 （3）若t=n-1,则转（6），否则转（4） （4）若 （6）输出T，w，停止 例

34. 最短树的Prim算法 (1) 初始化操作 （2）若k>=n, 则做：[输出T，结束] 否则做：

35. 最短路径的Dijkstra算法 (1) 初始化操作 （2）若 则做：[打印S后停止]，否则转（3）。

36. 应用例子 某公司在六个城市C1，…C6有分公司，从Ci到Cj的直接航程票记在下述矩阵的（i,j）位置上。该公司想要一张任两城市间的票价最便宜的路线表，试作出这样的表格

37. 应用例子 在一河岸有狼、羊、菜，摆渡人要将他们渡过河去，但由于他的船太小，每次只能载一样东西，显然，狼和羊、羊和菜都不能在无人监视的情况下放在一起，问摆渡人如何将他们渡过河去？

38. 任意两点间的最短距离

39. 按顺序输入顶点对：(1，2)，(1，6)，(2，6)，(1，4)，(6，4)，(1，3)，(3，4)(6，5)，(4，5)，(1,5),(3,5)。按顺序输入顶点对：(1，2)，(1，6)，(2，6)，(1，4)，(6，4)，(1，3)，(3，4)(6，5)，(4，5)，(1,5),(3,5)。 画出相应的邻接表。 并写出在该邻接表上，从顶点4开始搜索所得的DFS和BFS序列，及DFS和BFS生成树。

40. 对图所示的连通图，请分别用Prim和Kruskal算法构造其最小生成树。对图所示的连通图，请分别用Prim和Kruskal算法构造其最小生成树。

41. DFS和BFS遍历各采用什么样的数据结构来暂存顶点?当要求连通图的生成树的高度最小，应采用何种遍历?DFS和BFS遍历各采用什么样的数据结构来暂存顶点?当要求连通图的生成树的高度最小，应采用何种遍历? 对n个顶点的无向图和有向图，采用邻接矩阵和邻接表表示时，如何判别下列有关问题? (1) 图中有多少条边? (2)任意两个顶点i和j是否有边相连? (3) 任意一个顶点的度是多少?