第 6 章

1. 第6章 連續機率分佈

2. 前言 • 本章介紹幾種統計學常用的數種連續機率分佈，例如常態分佈、卡方分佈、F分佈、t分佈等。這都是推論統計學中不可或缺的分佈。

3. 第一節 連續變項 （1） • 連續變項（溫度）和間斷變項（如丟骰子出現的點數）最大的不同在於連續變項的任兩個數值之間，存在著第三個值。 • 若X為間斷變項，則f(X = x) = P(X = x)。小寫的x表示某個特定數值。f(X = x) 可解釋成X = x的「機率」。 • 連續變項的f(X = x)並無機率意義，因為每個點出現的機率等於0。f(X = x) 改稱為機率密度（probability density）。

4. 第一節 連續變項 （2） • 假設x值介於a和b之間，則f(x)屬於機率密度函數（probability density function）的兩大條件為： 1.任何一點的值要大於等於0。即f(x)  0。此條件使得任兩點間的機率介於0到1之間。 2.x從下限a到上限b的面積等於1。即。此條件使得機率的總和等於1。

5. 第一節 連續變項 （3） • 在實用上更常使用累積機率函數（cumulative probability function）。即 • 也就是說X小於x的機率稱為F(X = x)，就是從x的最小值a積分至x的面積。 • x介於c到d的機率為

6. 第一節 連續變項 （4） • 平均數 • 間斷變項 連續變項 • 變異數 間斷變項 連續變項

7. 第二節 連續機率分佈 （1） • 均勻分佈 • 若一隨機的連續變數X，其值介於a和b之間。假設每一點出現的機率都是均等，那麼就稱這個變數X的機率分佈是連續均勻分佈（continuous uniform distribution）。 • 機率密度函數為： f(X = x) = 1/ (b - a)

9. 第二節 連續機率分佈 （2） • 若要計算x值介於c和d之間的機率，就等於計算其面積。而矩形面積為長乘寬： • 均勻分佈的平均數和變異數為 • 平均數: µ= (a + b) / 2 變異數: s2 = (b - a)2 / 12

10. 第二節 連續機率分佈 （3） 例子1 • 某市場調查公司訪問一位受訪者的時間為5分至15分的均勻分佈。 (1) 要在10分鐘內結束訪問的機率有多大？ (2) 介於9分至11分之間結束訪問的機率有多大？ (3) 平均而言，訪問一位受訪者要多少時間？變異數多大？

11. 第二節 連續機率分佈 （4） 作法 1. 在此a = 5, b = 15；c = 5, d = 10。10分鐘內結束訪問的機率： 2. 在此c = 9, d = 11。介於9分至11分之間結束訪問的機率： 3. 平均數µ = (a + b) /2 = (5 + 15 ) / 2 = 10；變異數s2 = (b - a)2 / 12 = (15 – 5)2 / 12 = 8.33

12. 第二節 連續機率分佈 （5） • 常態分佈 • 如果一連續隨機變數X，具有以下機率密度函數，就是常態變數。該分佈就是常態分佈： • 其中p = 3.1416，e是自然對數之底2.7183，X介在正負無限大，m是平均數，s是標準差（s2為變異數）。m和s就是常態分佈的參數。

13. 第二節 連續機率分佈 （6） • 二項分佈的n趨近無限大，二項分佈會趨近常態分佈（平均數為np，變異數為np(1-p)）。 • 在現實裡，如果樣本數n夠大，用常態分佈代替二項分佈的效果會很好。即使n不大，只要p接近0.5，常態分佈的效果也會很好。 • 通常如果np和np(1-p)都大於5，就可以放心使用常態分佈來代替二項分佈了。 • 若波氏分佈中的密度l夠大（如大於10），可用常態分佈（平均數和變異數都等於l）逼近。

14. 當l等於10時，波氏分佈已經非常接近常態分佈。

15. 第二節 連續機率分佈 （7） • 如果超幾何分佈中的樣本大小佔母體大小的比率（n / N）小於0.05，可用二項式分佈取代之。 • 若二項式分佈的n很大，但是p很小，如n > 100, np < 10，可用波氏分佈取代二項式分佈。 • 假如二項式分佈的np和np(1-p)都大於5，可用常態分佈取代二項式分佈。 • 如果波氏分佈的密度l夠大的話，如l > 10，可用常態分佈取代之。 • 當樣本數無限大時，超幾何分佈、二項式分佈、波氏分佈都會變成常態分佈。

16. 第二節 連續機率分佈 （8） • 標準常態分佈 • 若常態分佈的平均數為0，變異數為1就是標準常態分佈，簡稱Z分佈。 • 常態分佈可以轉換為標準常態分佈，只要讓該變數減去平均數µ後，再除以標準差σ後所形成的新變數Z，就是標準常態分佈，即

17. 第二節 連續機率分佈 （9） • 伽瑪分佈 • 如果一連續隨機變數X，具有以下的機率密度函數，則該分佈就是伽瑪分佈（gamma distribution）： • 其中α和β就是伽瑪分佈的參數，其值均大於0，G(α)是伽瑪函數：

18. 第二節 連續機率分佈 （10） • 這個分佈有著伽瑪函數，故稱為伽瑪分佈。若a是正整數，那麼G(α) = (α - 1)!，其中G(1) = 0。 • 伽瑪分佈的平均數µ =ab，變異數σ2 = ab2。 • 伽瑪分佈可用來計算等候時間。在波氏歷程裡，單位時間成功次數為λ，那麼等候第一個成功事件出現的時間，平均就需要b = 1 / λ 。若要等候至第n個成功成功事件，那麼µ = n，這個等候的時間就是伽瑪分佈。

19. 第二節 連續機率分佈 （11） • 例子2 • 電話查號台平均而言2分鐘會有1通電話上門，那麼第5通電話會在10分鐘內上門的機率是多少？第5通電話上門的時間的平均數和變異數各為多少？

20. 第二節 連續機率分佈 （12） 作法 • 電話上門是波氏歷程，因此這是伽瑪分佈。第一通電話上門的平均時間b為2，a為5，x = 10，因此 • 平均數µ = ab = 5  2 = 10，變異數σ 2 = ab2 = 5  22 = 20。

21. 第二節 連續機率分佈 （13） • 指數分佈 • 伽瑪分佈中的a = 1，b = 1 / λ ，就是指數分佈（exponential distribution）。因此指數分佈就是伽瑪分佈的一個特例，其機率密度為： • 累積分佈函數為 • 指數分佈的平均數µ = 1 / λ ，變異數σ 2 = 1 / λ 2。

22. 第二節 連續機率分佈 （14） • 指數分佈和伽瑪分佈可用來計算等候時間、產品可靠度、排隊問題等。伽瑪分佈裡是等候第n個成功事件的出現。指數分佈是等待第1個成功事件所需的時間。 例子3 • 小華每天早上8點左右都會搭乘公車上班。依照過去經驗，平均而言，每5分鐘會有一班公車。今天早上小華等了10分鐘，還沒有公車到來，今天有特別的倒楣嗎？

23. 第二節 連續機率分佈 （15） 作法 • 公車抵站的事件可視為波氏歷程，因此等候時間為伽瑪分佈。其中a為1，b為5，x = 10。第一輛公車於10分鐘內通過的機率為0.86。10分鐘內沒有列車通過的機率就是1 – 0.86 = 0.14 • a為1，伽瑪分佈為指數分佈，其中λ =1/b=1/5。鍵入「=EXPONDIST(10,0.2,TRUE)」得第一輛公車於10分鐘內通過的機率為0.86。10分鐘內沒有公車通過的機率就是1 – 0.86 = 0.14。算不上特別倒楣。

24. 第二節 連續機率分佈 （16） • 卡方分佈 • 若令伽瑪分佈中的a =n / 2，b = 2，就是卡方分佈（c2）。其機率密度為： • ν（唸作/nu/）是卡方分佈的參數，又稱為自由度（degree of freedom, df），n是正整數。卡方分佈的平均數µ = ab =n，變異數σ2 = ab2=2n。

25. 第二節 連續機率分佈 （17） • 變項X是標準常態分佈，則X2是自由度為1的卡方分佈。 • 變項X1，，Xn均是獨立的標準常態分佈，則 • Y服從自由度為n的卡方分佈，此謂之卡方分佈的「可加性」。

26. 第二節 連續機率分佈 （18） 例子4 • 在第五章裡關於標準常態分佈的敘述中，知道介於±1.645的機率為90%，介於±1.96的機率為95%，試問在自由度n為1的卡方分佈中，佔有中間的90%和95%的左右兩端的數值是多少？累積分佈（即左邊起算的面積）佔95%和97.5%的數值是多少？

27. 第二節 連續機率分佈 （19） • 作法 1. 如果中間佔90%，表示左右兩端的面積各要5%。解 a和b使得P(X < a) = P(X > b) = 0.05。即： 鍵入「=CHIINV(0.95,1)」，就可得到P(X < a ) = 0.05中的a值為0.004，常寫成c20.95,1 = 0.004。鍵入「=CHIINV(0.05,1)」，就可得到P(X > b) = 0.05中的b值為3.841，常寫成c20.05,1 = 3.841。

28. 第二節 連續機率分佈 （20） 2. 如果中間佔95%，表示左右兩端的面積各要2.5%。解 a和b使得P(X < a) = P(X > b) = 0.025。鍵入「=CHIINV(0.975,1)」得到a值為0.001。鍵入「=CHIINV(0.025,1)」，得到b值為5.024。 3. P(X > 3.841) = 0.05，P(X > 5.024) = 0.025，則左邊面積佔95%和97.5%的數值分別為3.841和5.024。