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第八章 力　法

第八章 力　法. 本章提要. 本章主要介绍超静定结构计算的基本方法 —— 力法。介绍了超静定次数的确定、如何选择力法的基本结构、建立力法典型方程，并求出超静定结构的内力图。 通过本章的学习应重点掌握： 1 、超静定次数的确定； 2 、力法的基本原理； 3 、基本结构的选择方法； 4 、力法解低次超静定结构的方法。. 本章内容. 8.1 超静定结构概述 8.2 力法基本原理 8.3 力法的典型方程 8.4 力法应用举例 8.5 超静定结构位移计算. 8.1 超静定结构概述. 一、超静定结构的概念. 1 、静定结构

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第八章 力　法

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  1. 第八章 力　法 本章提要 本章主要介绍超静定结构计算的基本方法——力法。介绍了超静定次数的确定、如何选择力法的基本结构、建立力法典型方程，并求出超静定结构的内力图。 通过本章的学习应重点掌握： 1、超静定次数的确定； 2、力法的基本原理； 3、基本结构的选择方法； 4、力法解低次超静定结构的方法。

  2. 本章内容 8.1 超静定结构概述 8.2 力法基本原理 8.3 力法的典型方程 8.4 力法应用举例 8.5 超静定结构位移计算

  3. 8.1 超静定结构概述 一、超静定结构的概念 1、静定结构 凡在几何组成上为几何不变且无多余约束的结构，其全部的反力和内力都可由静力平衡方程唯一地确定。如图1（a）、（c）所示。 2、超静定结构 凡在几何组成上为几何不变且有多余约束的结构，其全部的反力和内力不能完全由静力平衡方程唯一地确定。如图1（b）、（d）所示。

  4. 图 1

  5. 3、多余未知力 多余约束中产生的约束力称为多余未知力。 二、超静定次数的确定 超静定结构中多余约束的数目称为超静定次数。 判断超静定次数可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法进行。 去掉多余约束的方式一般有以下几种： (1)去掉一根支座链杆或切断一根链杆等于去掉一个约束，如图3。 (2)去掉一个铰支座或拆去联结两刚片的单铰等于去掉两个约束，如图4。

  6. 图 3

  7. 图 4

  8. (3)将固定端支座改成铰支座，或将刚性联结改成单铰联结，等于去掉一个约束，如图5。 (4)去掉一个固定端支座或切开刚性联结等于去掉三个约束，如图6。 图 5

  9. 图 6

  10. 所去掉的多余约束的总数即为结构的超静定次数。如从原结构中去掉n个约束结构就成为静定结构，则原结构称为n次超静定结构。所去掉的多余约束的总数即为结构的超静定次数。如从原结构中去掉n个约束结构就成为静定结构，则原结构称为n次超静定结构。

  11. 8.2 力法原理 一、力法的基本思路 力法是计算超静定结构最基本的方法。基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题，利用以熟知的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的目的。 二、力法的基本结构 如图7(a)所示为一次超静定梁，虚线表示梁在受力后的弹性变形情况。拆去B端的多余约束链杆并用多余未知力X1代替B端的约束对原结构的作用，得到如图7(b)所示静定梁。这种去掉多余约束后所得到的静定结构，称为原结构的基本结构，待求的多余未知力X1称为力法的基本未知量。

  12. 图 7

  13. 三、力法的基本方程 基本结构在B端不受约束限制，在外力P作用下B点竖向位移Δ1P向下（图7(c)），在X1作用下B点竖向位移Δ11向上(图7(d))。由于X1是取代了被拆去约束对原结构的作用，因此基本结构的变形位移状态应与原结构完全一致，即B点的竖向位移Δ1必须为零，也就是说基本结构在已知荷载与多余未知力X1共同作用下，在拆除约束处沿多余未知力X1作用方向产生的位移应与原结构在X1方向的位移相等。即： Δ1=0 由叠加原理根据位移条件可得下列方程 　　 Δ1=Δ11+Δ1P=0

  14. 若X1=1时在X1方向产生的位移为δ11，则有： Δ11=δ11X1 于是得： δ11X1+Δ1P=0 　　此求解多余未知力的补充方程，称为力法基本方程。 为了计算δ11和Δ1P，分别作基本结构在荷载q作用下的弯矩图MP(图8(a))和在单位力X1=1作用下的单位弯矩图M1(图8(b))，应用图乘法可得：

  15. 图 8

  16. 代入力法方程得： 多余未知力X1求得后，即可由静力平衡条件求得其余的约束反力和内力。最后弯矩图也可以利用已经绘出的基本结构的M1图和MP图，由叠加原理按下式求得  M=M1X1+MP 最后内力图如图9所示。

  17. 图 9

  18. 综上所述，我们把这种取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构，利用计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法，称为力法。综上所述，我们把这种取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构，利用计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法，称为力法。

  19. 8.3 力法的典型方程 如图10(a)所示的为一个三次超静定刚架。现去掉固定端支座B，加上相应的多余未知力X1、X2和X3，便得到图10(b)所示的基本结构。由位移条件可知，基本结构在外荷载和多余未知力X1、X2及X3共同作用下，B处的水平位移Δ1、竖向位移Δ2和角位移Δ3即分别沿X1、X2及X3方向的位移都应等于零，即：  Δ1＝0 Δ2＝0 Δ3＝0

  20. 根据叠加原理得： Δ1=δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0 Δ2=δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0 Δ3=δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0 对于n次超静定结构有： δ11X1+δ12X2+…+δ1nXn+Δ1P=0 …… δi1X1+δi2X2+…+δinXn+ΔiP=0 …… δn1X1+δn2X2+…+δnnXn+ΔnP=0  　　 上式为力法方程的一般形式，通常称为力法典型方程。

  21. 式中：δ11、δ22、δ33……δnn----主系数 δ12、δ21、δ13 ……δij----副系数 Δ1P、Δ2P、Δ3P ……ΔnP-----自由项 由力法方程解出多余未知力X1,X2,…,Xn后，即可按照静定结构的分析方法求得原结构的反力和内力，或按叠加原理求出弯矩：  M=M1X1+M2X2+…+MnXn+MP 　　再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。

  22. 8.4 力法应用举例 一、力法计算超静定结构的步骤 (1)选取基本结构。 确定原结构的超静定次数，去掉多余约束代之以相应的多余未知力，从而得到基本结构。 (2)根据变形协调条件建立力法方程。 (3)计算系数和自由项。 首先作基本结构在荷载和各单位未知力分别单独作用在基本结构上的弯矩图或写出内力表达式，然后计算系数和自由项。 (4)求多余未知力。将计算的系数和自由项代入力法方程，求解得各多余未知力。 (5)绘制内力图。

  23. 例1 图示两跨连续梁，作其内力图。 解：1.选取基本结构，确定基本未知量X1： 2.建立力法典型方程： Δ11=δ11X1+Δ1P=0 3.计算系数和自由项：

  24. 4、求基本末知量： 5、作内力图 M=M1X1+MP

  25. 例2 作图(a)所示超静定刚架的内力图。已知刚架各杆EI均为常数。 解：(1)选取基本结构 　此为二次超静定刚架，去掉C支座约束得如图(b)所示悬臂刚架作为基本结构。 　(2)建立力法方程 δ11X1+δ12X2+Δ1P=0 δ21X1+δ22X2+Δ2P=0 (3)计算系数和自由项 　 分别作基本结构的荷载弯矩图MP图和单位弯矩图M1图、M2图，如图(c)、(d)、(e)所示。

  26. 由图乘法计算各系数和自由项分别为： δ11= 4a3/3EI δ22=a3/3EI δ12=δ21=a3/2EI Δ1P=-5qa4/8EI Δ2P=-qa4/4EI (4)求多余未知力 　　 将以上各系数和自由项代入力法方程得：

  27. (5) 作内力图 　　① 根据叠加原理作弯矩图，如图(f)所示。 ② 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图(g)所示。 　　③ 根据剪力图和荷载利用结点平衡作轴力图，如图(h)所示。

  28. 例3 计算图 (a)所示铰结排架的内力，并作出弯矩图。 解：(1)选取基本结构 　　此排架是一次超静定结构，切断横梁代之以多余未知力X1得到基本结构如图(b)所示。 (2)建立力法方程 δ11X1+Δ1P=0 (3)计算系数和自由项 　　分别作基本结构的荷载弯矩图MP图和单位弯矩图M1图如图 (c)、(d)所示。 　　利用图乘法计算系数和自由项分别如下：

  29. (4)计算多余未知力 　　 将系数和自由项代入力法方程得： 解得： X1=-5kN (5)作弯矩图 M=M1X1+MP 作出排架最后弯矩图如图(e)所示。 

  30. 8.5 超静定结构的位移计算 计算超静定结构的位移时可以用原超静定结构已经求出的弯矩图与静定的基本结构的单位荷载弯矩图用图乘法求位移。 具体步骤： (1)力法解超静定结构，并绘出弯矩图(即MP图)； (2)选择一个最简单的基本结构作为虚拟状态，并绘出相应的弯矩图(即M图)； (3)图乘法求位移。

  31. 例 试求图(a)所示超静定刚架横梁BC中点D的竖向位移ΔDV。 解：1、力法解超静定刚架，绘出弯矩图如图(b)所示。 2、采用悬臂刚架作为基本结构，并绘出单位荷载作用于D点的弯矩图M如图(d)所示。 3、图乘法计算ΔDV 将MP图改成易于图乘的简单的图形组合，如图(c)所示。

  32. 再 见

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