MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA 2007 Gilberto Weissmüller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch

2. POR QUE AS BIOCIÊNCIAS PRECISAM DE MATEMÁTICA?

3. “O livro da natureza é escrito na língua da Matemática” • Galileo (1564-1642) • “Aqueles que querem analisar a natureza sem usar Matemática devem se contentar com uma compreensão reduzida” Richard Feynman, (1918-1988) (People who wish to analyze nature without using mathematics must settle for a reduced understanding)

4. CONCEITOS FUNDAMENTAIS • Número • Grandezas • Constantes • Variáveis • Domínio de definição • Tipos de variáveis

5. O que é Número? Pitágoras (570-496 aC, Grécia)essência e o princípio de todas as coisas Aristóteles (384-322 aC, Grécia) o movimento acelerado ou retardado Euclides (360-295 aC, desconhecido) um composto da unidade Isaac Newton (1643-1727, Inglaterra) a relação entre a quantidade e a unidade Condorcet (1746-1794, França) uma coleção de unidades Benjamin Constat (1767-1830, Suiça) o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade Schopenhauer (1788-1860, Alemanha)o conceito numérico apresenta-se como a ciência do tempo puro Bertrand Russel (1872-1970, Inglaterra) a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe

7. Domínio de definição de uma variável um conjunto de valores numéricos que a variável é passível de assumir (a partir de sua própria definição) O domínio de definição de uma variável é sempre representado por um intervalo entre dois valores, a e b, chamados extremos do intervalo. O intervalo pode ser: aberto, se fechado, se ou ainda um semi-intervalo aberto

8. EXEMPLOS DE DOMINIOS DE DEFINIÇÃO • Uma grandeza: a área, S, de um figura limitada por uma curva fechada O domínio de definição de Sserá • Outra grandeza: a área, S, dos ambientes de um edifício de 30m x 10m O domínio de definição de Sserá • Uma grandeza: a variável x=cosb, para todos os valores de b O domínio de definição de xserá

9. Tipos de variáveis ordenadas uma variável é ordenada se, conhecido o seu domínio de definição, para cada par de seus valores, podemos indicar aquele antecedente e aquele conseqüente. crescentes (ou decrescentes) uma variável é dita crescente, se cada valor conseqüente é maior que cada valor antecedente. limitadas uma variável é dita limitada se existe um valor constante M>0, tal que, para todos os valores conseqüentes da variável, a partir de um determinado valor, fica satisfeita a inequação

10. x2 x1 x3 x5 .. xn A NOÇÃO DE FUNÇÃO Sejam das variáveis, x e y. Dizemos que y é uma função de x, que designamos simbolicamente por y=f(x), se a cada valor da variável x, através de uma aplicação de um conjunto ordenado de operações, fica associado um valor da variável y. f y1 f y2 yn f ..

11. Acompanhe a seguinte “receita” matemática: f é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações(potenciação, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x 1o. Tome o valor de x e quadre; 2o. Multiplique o resultado obtido por 3; 3o. Some o valor da metade x; 4o. Acrescente mais 10.

12. Agora esta: f é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações (seno, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x 1o. Tome o valor do seno de x ; 2o. Multiplique o resultado obtido por 3; 3o. Some o valor da metade x; 4o. Acrescente mais 10.

13. DOIS IMPORTANTES CONCEITOS Domínio de definição de uma função conjunto de valores de x, para os quais a função tem um valor determinado valor da função num ponto é o valor (numérico) que a função assume para um dado valor de x

14. Exemplos de Domínios de Definição

15. Exemplos de Valor da Função

16. REPRESENTAÇÕES DE UMA FUNÇÃO Analítica A notação simbólica do conjunto de operações matemáticas conhecidas que devemos aplicar, na ordem indicada, a números e letras que exprimem as constantes e variáveis envolvidas. Por exemplo: Tabular (tabela)

17. Graficamente

18. Periodicidade • Zeros (ou raízes) • Função de função Outras noções sobre funções • Paridade • Positividade/Negatividade • Função inversa • Função implícita

19. FUNÇÕES ELEMENTARES São aquelas funções cujos conjuntos de operações ordenadas se resumem à forma mais simples das operações conhecidas da álgebra e da trigonometria: potenciação, logaritmo, seno, co-seno, tangente, etc. Os nomes pelos quais são conhecidas derivam daí, como veremos.

20. FUNÇÃO POTÊNCIA A forma geral da função Onde a é um número inteiro ou fracionário, positivo ou negativo Qual o domínio de definição destas funções? Seria, por acaso, ?

22. FUNÇÃO LOGARÍTMICA A forma geral da função Onde a é um número positivo  1 quando a=número de Euler=e

23. FUNÇÃO EXPONENCIAL A forma geral da função Onde a é um número positivo  1 quando a é o número de Euler, designado por e

24. AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS seno co-seno tangente cotangente secante secante