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控制科学与工程 研究生基础理论课- I

控制科学与工程 研究生基础理论课- I. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. 第一章 线性控制系统的状态空间描述. 状态空间描述的概念. 由微分方程导出状态空间表达式. 由传递函数导出状态空间表达式. 由方块图导出状态空间表达式. 状态变量的线性变换. 离散系统的状态空间表达式. 主要内容：. § 1. 状态空间描述的概念. 1—1 基本定义. 例 1-1 设有一个 R-L-C 网络，如图 1.1 所示，试求其数学描述。. 图 1.1 R - L - C 网络. § 1. 状态空间描述的概念. 解：依题意，列写方程.

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  1. 控制科学与工程 研究生基础理论课-I

  2. §1 §2 §3 §4 §5 §6 第一章 线性控制系统的状态空间描述 状态空间描述的概念 由微分方程导出状态空间表达式 由传递函数导出状态空间表达式 由方块图导出状态空间表达式 状态变量的线性变换 离散系统的状态空间表达式 主要内容：

  3. §1 状态空间描述的概念 1—1 基本定义 例1-1设有一个R-L-C网络，如图1.1所示，试求其数学描述。 图1.1R-L-C网络

  4. §1 状态空间描述的概念 解：依题意，列写方程 （1-1） 把 作为输出，消去中间变量 ，得系统微分方程为： （1-2）

  5. §1 状态空间描述的概念 把公式（1-1）用它的两个一阶微分方程表示为 （1-3） 用向量矩阵方程表示为 （1-4）

  6. §1 状态空间描述的概念 定义 1.1 状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量。 状态变量的特点： • 相互独立性：变量之间必然线性无关，变量的个数最少。 • 多样性：状态变量的选取并不唯一，存在无穷多种方案。 • 等价性：两状态向量之间只差一个非奇异变换。

  7. 定义 1.2 状态向量：以状态变量为元素组成的向量。 定义 1.4 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的一组一阶微 §1 状态空间描述的概念 （1-5） 的坐标轴构 定义 1.3 状态空间:以状态变量 成的 维空间。 分方程组。 （1-6）

  8. §1 状态空间描述的概念 定义 1.5 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学 表达式。 （1-7） 定义 1.6 状态空间表达式: 状态方程和输出方程总合起来，构成 对一个系统的完整动态描述。 （1-8）

  9. §1 状态空间描述的概念 1—2 系统状态空间描述的特点 ●状态空间描述即：“输入—状态—输出” 即输入引起状态 的变化，而状态决定了输出。 ●输入引起状态的变化是一个运动的过程，即状态方程；而状 态决定输出是一个变换过程，即输出方程。 ●一个 n 阶系统仅有n个状态变量可以选择。 ●对于给定的系统，状态变量的选择不唯一。

  10. §2 由微分方程导出状态空间表达式 2—1 方程中不包含输入函数的导数 线性微分方程中输入函数为 u ，不包含各阶导数的微分方程形式为： （1-9） 1)选择状态变量 一个 n 阶系统具有n个状态变量，当给定 和 的输入 u(t) 时，系统在 时的运动状态就完全确定了。

  11. §2 由微分方程导出状态空间表达式 为系统的一组状态变量。 所以，可取 令 （1-10）

  12. §2 由微分方程导出状态空间表达式 2)将高阶微分方程化为状态变量 的一阶微分方程组 （1-11） 系统输出关系式为 （1-12）

  13. §2 由微分方程导出状态空间表达式 3)将一阶微分方程组化为向量形式 状态方程为： （1-13）

  14. §2 由微分方程导出状态空间表达式 输出方程为 （1-14）

  15. §2 由微分方程导出状态空间表达式 2—2 方程中包含输入函数的导数 线性微分方程为 （1-15） 选择的状态变量要使导出的一阶微分方程组等式的右边不出现 u 的导数项，所以通常把状态变量取为输出 y 和输入 u的各阶导数的适当组合。

  16. §2 由微分方程导出状态空间表达式 1)选择状态变量 （1-16）

  17. §2 由微分方程导出状态空间表达式 2)导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式 对式（1-16）求导，可得 （1-17） 输出关系式为 （1-18）

  18. §2 由微分方程导出状态空间表达式 3)化为向量形式 状态方程为 （1-19）

  19. §2 由微分方程导出状态空间表达式 输出方程为 （1-20）

  20. §3 由传递函数导出状态空间表达式 3—1 传递函数的极点为两两相异 控制系统的传递函数为 （1-21） 将其化为部分分式的形式 （1-22）

  21. §3 由传递函数导出状态空间表达式 所以 （1-23） 1)选择状态变量 令式（1-23）为状态变量的拉氏变换式 （1-24）

  22. §3 由传递函数导出状态空间表达式 则可导出 （1-25）

  23. §3 由传递函数导出状态空间表达式 2）化为状态变量的一阶方程组 （1-26） （1-27）

  24. §3 由传递函数导出状态空间表达式 对式（1-26）和（1-27）进行拉氏反变换，得 （1-28） （1-29）

  25. §3 由传递函数导出状态空间表达式 3）化为向量形式 状态方程为 （1-30）

  26. §3 由传递函数导出状态空间表达式 输出方程为 （1-31）

  27. §3 由传递函数导出状态空间表达式 即 （1-32）

  28. §4 由系统方块图导出状态空间表达式 4—1 典型二阶系统状态空间描述 已知系统方框图如图1.2所示。 图1.2 系统方框图

  29. §4 由系统方块图导出状态空间表达式 1）列写每一典型的传递函数 由图1.2，有 （1-33）

  30. §4 由系统方块图导出状态空间表达式 2）拉氏反变换得一阶微分方程组 由式（1-33），得 （1-34） 即 （1-35）

  31. §4 由系统方块图导出状态空间表达式 拉氏反变换得 （1-36） 输出为 （1-37）

  32. §4 由系统方块图导出状态空间表达式 3）用向量矩阵形式表示 （1-38） （1-39）

  33. §5 状态变量的线性变换 5—1 线性变换 已知 为一组 n 维状态变量， 为另一组 n 维状态变量，则有 （1-40） 即： （1-41）

  34. §5 状态变量的线性变换 同理，有： （1-42） 只要 Q 是非奇异矩阵，则 也是该系统的状态向量。 P也应是非奇异矩阵，且 。 结论：同一个系统的不同状态向量之间存在线性变换的关系，而 且必是非奇异变换。

  35. §5 状态变量的线性变换 5—2 线性变换的基本特性 性质一 线性变换不改变系统的特征值。 性质二 线性变换不改变系统的传递函数矩阵。

  36. §5 状态变量的线性变换 5—3 化系数矩阵为标准型 1）化系数矩阵A为对角阵 设系数矩阵A为任意方阵，且有 n 个互异实特征值 ， 则可由非奇异线性变换化为对角阵Λ。 （1-43） 其中，P 阵由 A阵的实数特征向量 组成。

  37. §5 状态变量的线性变换 2）化系数矩阵A为约当阵 设系数矩阵A具有m重实特征值λ1，其余为n-m个互异实特 征值，则可由非奇异线性变换使A化为约当阵J。 （1-44）

  38. §5 状态变量的线性变换 其中 （1-45） J 中虚线表示存在一个约当块， 为广义实特征向量，满 足式（1-44）， 是互异特征值对应的实特征向量。 （1-46）

  39. §6 离散系统的状态空间表达式 6—1 离散系统状态空间描述的特点 1）状态方程为差分方程。 2）描述方程的线性属性，即状态方程和输出方程的右端，对状态 x 和输入 u 都呈现为线性关系。 3）所有变量只能在离散时刻 k取值。

  40. §6 离散系统的状态空间表达式 6—2 离散系统的状态空间表达式 离散系统的状态空间表达式为： （1-47） 在式（1-45）中，第一个式子是状态方程，为向量差分方程，第 二个式子是输出方程，为向量代数方程。

  41. §6 离散系统的状态空间表达式 离散系统的方块图如图1.3所示。 图1.3 离散系统的方块图

  42. §6 离散系统的状态空间表达式 6—3 由差分方程化为状态空间表达式 设系统的差分方程为 （1-48） 取状态变量： （1-49）

  43. §6 离散系统的状态空间表达式 写成向量形式 （1-50） （1-51）

  44. 本章要点 状态变量 状态向量 状态空间 状态方程 状态空间描 述的概念 状态空间表达式的导出 由微分方程导出状态空间表达式 由传递函数导出状态空间表达式 由系统方块图导出状态空间表达式 状态空间的描述 状态变量的线性变换 对角型 约当型 化系数矩阵为标准型 离散系统的状态空间描述

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