MAth

1. บทที่ 3 เวกเตอร์ 3.1 เวกเตอร์ เวกเตอร์ คือ ปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เราเขียนส่วนของเส้นตรง แทนขนาดเวกเตอร์และหัวลูกศรแทนทิศทาง B C ABเป็นเวกเตอร์จาก ไป หรือ มีขนาด เป็นเวกเตอร์จาก ไป หรือ มีขนาด CD  u A B  AB u u v CD D C v v A D MTH2103 Unit 3 1

2. 3.2 การเท่ากันของเวกเตอร์  เมื่อ 1.  u v u v 2. และ มีทิศทางเดียวกัน u v นิยาม เท่ากับ ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน และมีทิศทางเดียวกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ u v  E G B D v u จากรูป หรือ หรือ     u v AB EF CD GH a b b u a v A F H C MTH2103 Unit 3 2

3. นิยาม นิเสธของ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน เขียน แทนด้วยสัญลักษณ์ u  B C และ เป็นนิเสธกัน เมื่อ 1. u v u u  u v u 2. และ มีทิศ ทางตรงข้ามกัน u   v v u A D นั่นคือ หรือ และ กับ เป็น นิเสธกัน   v u v u v MTH2103 Unit 3 3

4. D ตัวอย่าง C จากรูป ด้านขนาน จงเขียนเวกเตอร์ที่ เท่ากับเวกเตอร์ต่อไปนี้ AB BA     เป็นรูปสี่เหลี่ยม ABCD O A B     จงเขียนนิเสธของเวกเตอร์ต่อไปนี้ AB     AD CB     BA AO OA BC DA BO OB AO OA BO OB MTH2103 Unit 3 4

5. 3.3 การบวกเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย w   u v MTH2103 Unit 3 5

6. เวกเตอร์ศูนย์ คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุดเป็นจุดเดียวกัน เวกเตอร์ ศูนย์จะมีขนาดเท่ากับศูนย์ เขียนแทนด้วย 0 MTH2103 Unit 3 6

7. ส าหรับการลบเวกเตอร์ เรานิยามด้วยการบวกเวกเตอร์กับนิเสธของเวกเตอร์ ตัวลบ เขียนแทนด้วย โดยที่ u v  u  จากรูป ABCD C      v u v D เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน v B A u เวกเตอร์ที่เป็นผลลบ จะมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด เป็นจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ทั้ง สองที่ก าหนดให้ MTH2103 Unit 3 7

8. สมบัติของการบวกเวกเตอร์สมบัติของการบวกเวกเตอร์ ก าหนดให้ และ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ 1. เป็นเวกเตอร์ในระนาบ 2. 3. 4. มี เป็นเอกลักษณ์ของการบวก โดยที่ 0 w , u v v  v  (สมบัติปิด) (สมบัติการสลับที่) (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม) 0 u     u  w u  v v  u       u u v w   0 u u (สมบัติการมีเอกลักษณ์) (สมบัติการมีอินเวอร์ส)   5. 6. มี ถ้า ที่ท าให้ แล้ว v     u   v    w 0  u u u u  u u (สมบัติการบวกด้วยเวกเตอร์ที่เท่ากัน) w MTH2103 Unit 3 8

9. ตัวอย่าง จากรูป ก าหนด , AF AB u  เป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า และ ABCDEF BC w   , v ข้อใดต่อไปนี้จริง และข้อใดไม่จริง    ___5. BF v u          ___1. AC u w       ___6. AO u v w 1 2 ___2. AD u v w   w u  ___7. BO v 1 2 ___3. AE v w        ___8. 0 AO DO OF OC ___4. FC v u w MTH2103 Unit 3 9

10. 3.4 การคูณด้วยสเกลาร์ ก าหนดให้ เป็นจ านวนจริง และ เป็น เวกเตอร์ ผลคูณระหว่าง และ จะ เป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย a u a u โดยที่ au  2u 2u u 1. 2. ถ้า ถ้า และมีทิศทางเดียวกับ ถ้า แล้ว จะมีขนาดเท่ากับ และมีทิศทางตรงข้ามกับ แล้ว แล้ว a  a  au  au 0 0 0 จะมีขนาดเท่ากับ u a u 3. a  au a u 0 u MTH2103 Unit 3 10

11. สมบัติของการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์สมบัติของการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ก าหนดให้ และ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ และ เป็นจ านวนจริง 1. เป็นเวกเตอร์ในระนาบ 2. 3.     a u v au av    1 1 u u u   u a v b (สมบัติปิด) (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม) (สมบัติการแจกแจง) au a bu     b u  ab u    a au bu 4. (สมบัติการมีเอกลักษณ์) MTH2103 Unit 3 11

12. ทฤษฎีบท ส าหรับ และ ที่ไม่เท่ากับ จะขนานกับ ก็ต่อเมื่อ มีจ านวนจริง ที่ไม่เท่ากับศูนย์ที่ท าให้ u av  a 0 u v u v ทฤษฎีบท ส าหรับ และ ที่ไม่เท่ากับ และ ไม่ขนานกับ ถ้า แล้วจะได้ และ 0 a  0 b    v 0 v au bv u u 0 หมายเหตุ กับ ขนานกัน หมายถึง กับ มีทิศทางเดียวกัน หรือมีทิศ ทางตรงข้ามกันก็ได้ v u u v MTH2103 Unit 3 12

13. ตัวอย่าง จากรูป เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มี เป็นจุดกึ่งกลางของเส้น ทแยงมุม ถ้า จงเขียนเวกเตอร์ และ v ABCD AB O และ ในรูป   , u AD v AO BO u BD D C O A B MTH2103 Unit 3 13

14. 3.5 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในปริภูมิ 2 มิติ y y   4,3 P j x o i x o MTH2103 Unit 3 14

15. ให้ A A cA A และ b      a   A ai a j a B bi  b j 1 2 1 2 1. 2. 3. 4. 5. ก็ต่อเมื่อ  a  cai ai   1 , P x y  2 2 PP    , b B B   1 1  2 b 2    ca j a j  b i a j 1 1 2 2  1 2   a  y a 2 1 2 2 1 2   ให้ และ  1 x i เป็นจุดสองจุดใด ๆ จะได้ j , P x y  2  1 1 2 2  2  x y 1 1 6. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย เวกเตอร์หนึ่ง หน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ แทนด้วย A 1 A A A   A   u A MTH2103 Unit 3 15

16. 3.6 ผลคูณภายในของเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ นิยาม ก าหนดให้ และ จะได้ว่า 1 2 A a i a j     B bi b j 1 2 A B    1 1 a b 2 2 a b ในอีกนัยหนึ่ง เราสามารถหาผลคูณสเกลาร์ โดยใช้นิยาม A B   A B   cos เมื่อ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ และ  B A   ถ้าเวกเตอร์ ท ามุม กับแกน จะได้ว่า A      x cos sin A A i j MTH2103 Unit 3 16

17. 3.7 โปรเจกชันของเวกเตอร์ โปรเจกชันของเวกเตอร์ บน มีได้ 2 แบบ คือ 1. สเกลาร์โปรเจกชัน A B A  A B B   cos A  2. เวกเตอร์โปรเจกชัน B       A B B B   ProjB A B MTH2103 Unit 3 17

18. 3.8 การประยุกต์ของเวกเตอร์ในระนาบ   1) ใช้หาสมการเส้นตรง ถ้าเส้นตรงผ่านจุด จะมีสมการ คือ N ai bj   และตั้งฉากกับเวกเตอร์ , P x y 1 1 1         0 a x x b y y 1 1 ข้อสังเกต เวกเตอร์ เสมอ เรียกเวกเตอร์ ว่า Normal Vector N ตั้งฉากกับเส้นตรง เมื่อ        0 ax by c 0, 0 a b N ai bj MTH2103 Unit 3 18

19.   ax 2) ใช้หาระยะทาง จากจุด ไปยังเส้นตรง    , P x y : 0 L ax by c 1 1 1   by  c  d 1 1 b a 2 2 MTH2103 Unit 3 19

20. 3.9 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในปริภูมิ 3 มิติ เวกเตอร์ 1 หน่วยพื้นฐาน คือ เวกเตอร์ที่เริ่มต้นจากจุด O ไปตามแกนพิกัด เป็นระยะทาง 1 หน่วย มีอยู่ด้วยกัน 3 เวกเตอร์ ได้แก่ เริ่มจากจุด O ไปยังจุด (1, 0, 0) เริ่มจากจุด O ไปยังจุด (0, 1, 0) เริ่มจากจุด O ไปยังจุด (0, 0, 1) k i z   j , , P x y z ส าหรับเวกเตอร์ที่เริ่มจากจุด O ไปยัง จุด P(x, y, z) ใด ๆ จะแทนด้วย k j y o i    OP xi yj zk x MTH2103 Unit 3 20

21. การบวก - ลบเวกเตอร์ ถ้าเราก าหนด เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ เราจะสามารถเขียนได้ว่า A    A ai bj ck       นิยาม ก าหนดให้ และ จะได้ว่า   1 A B a   A ai a j a k B bi b j bk 1 2 3 1 2 3                  A B a b i a b j a b k 1 1 2 2 3 3      b i a b j a b k 1 2 2 3 3 MTH2103 Unit 3 21

22. เวกเตอร์ระหว่างจุด 2 จุดในปริภูมิ     ก าหนด และ , , , , P x y z P x y z 2P  2 y   1 1 1 1 2 2 2 2 เวกเตอร์ที่เริ่มจากจุด ไปยังจุด จะเขียนแทนด้วย  1 2 2 PP x x i   โดยที่  z k 1P 1 2 PP      y j z 1 1 2 1       ตัวอย่าง ก าหนด จงหา 2,1,8 , , 0,3,5 , 4,3,0 A , B C , AB AC CB BC MTH2103 Unit 3 22

23. ขนาดของเวกเตอร์ ก าหนด    A ai bj ck ขนาดของเวกเตอร์ แทนด้วย เมื่อ A A    2 2 2 A a b c ตัวอย่าง ก าหนด จงหา และ        4 2 B i j k 3 2 A , i j , k  , A B A B A B MTH2103 Unit 3 23

24. การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ก าหนดให้ เป็นสเกลาร์ และ c    A xi yj zk         cA c xi yj zk cxi cyj czk   cA c A 2 A  ตัวอย่าง ก าหนด จงหา    3 2 A i j k    3 A A 1 4 A MTH2103 Unit 3 24

25. เวกเตอร์ศูนย์ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับศูนย์ แทนด้วย    0 0 0 0 i j k เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ แทนด้วย A 1 A A A   A   u A MTH2103 Unit 3 25

26. 3.10 ผลคูณภายในของ 2 เวกเตอร์ใน 3 มิติ       นิยาม ก าหนดให้ และ จะได้ว่า A B A ai a j a k B bi b j bk 1 2 3 1 2 3     1 1 ab 2 2 a b 3 3 a b ในอีกนัยหนึ่ง เราสามารถหาผลคูณสเกลาร์ โดยใช้นิยาม A B   A B   cos  เมื่อ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ และ A B MTH2103 Unit 3 26

27. คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์               i i   j j   k k   1 1   j k   i k   2 0 i j 2   A A   3 0 A A   A B   4 0 A B A B   B A  5        A cB    6 cA B c A B    A B C    A B   A C  7         A C   B C  A B C     A B C D MTH2103 Unit 3 27

28. 3.11 ทิศทางของเวกเตอร์ y u a   ai bj   cos  a b 2 2 b    cos   x a b 2 2 o MTH2103 Unit 3 28

29.    u ai bj ck a b b b c b   cos   a c 2 2 2   cos   a c 2 2 2   cos   a c 2 2 2 MTH2103 Unit 3 29

30. 3.12 ผลคูณภายนอก; ผลคูณเวกเตอร์ : A B  เมื่อ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วยที่ตั้งฉากกับทั้ง และ B A n

31. คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์         4 i j i    A B    1 0 A B    A B    B A  2      3 0 i i j j k k i   j k     j k i k i j j k       k k j i i k j      7         A B  5 cA dB cd A B   B A

32. 3.13 กฎการกระจาย              B C  A B   A C  A    B C   B A   A C A MTH2103 Unit 3 32

33. 3.14 ผลลัพธ์ของ A B  A B    sin n A B เมื่อ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วยที่ตั้งฉากกับทั้ง และ B A n A B  a k  เรายังสามารถค านวณหาค่า A ai  ได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ ถ้าก าหนด B bi     a j b j bk 1 2 3 1 2 3 i j k a b A B   a b a b 1 2 3 1 2 3

34. 3.15 ผลคูณของเวกเตอร์ 3 เวกเตอร์ ผลคูณเวกเตอร์ 3 เวกเตอร์ มีอยู่ด้วยกันทั้งสิ้น 3 รูปแบบ ได้แก่ (1) มีผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์   A B C     (2) มีผลลัพธ์เป็น สเกลาร์ A B C     (3) มีผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ A B   C   ไม่มีความหมาย (4) A B   C

35.   A B C   ข้อควรสนใจ รูปแบบที่ (2) เรียกอีกอย่างได้ว่า Box product   A B    C เนื่องจาก ปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน a b c a b c a b c 1 2 3 โดยที่   A B    C 1 2 3 1 2 3          A a i a j a k เมื่อ 1 2 3 C B bi b j b k 1 2 3 B C c i  c j c k 1 2 3 A    A B C    A B C  

36. 3.16 การประยุกต์ของเวกเตอร์ใน 3 มิติ (1) เส้นตรงในปริภูมิ 3 มิติ z   , , P x y z 0 0 0 0 v L y x ,   สมการเส้นตรง ที่ผ่านจุด เวกเตอร์ จะเขียนอยู่ในรูปตัวพารามิเตอร์ เรียกว่า สมการอิงตัวแปรเสริม (parametric equation) ดังนี้ และขนานกับ L ai , P x y z ck            x y z x y z at bt ct 0 0 0 0 0    v bj  , . t 0 0

37. (2) มุมระหว่างเส้นตรง 2 เส้นในปริภูมิ 3 มิติ มุมระหว่างเส้นตรง 2 เส้นที่ตัดกัน ก็คือ มุมระหว่างเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน กับเส้นตรงสองเส้นนั้น MTH2103 Unit 3 37

38. normal vector (3) ระนาบในปริภูมิ 3 มิติ n M 0P      สมการระนาบที่ผ่านจุด เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ จะมีสมการอยู่ในรูป ดังนี้   0 a x x  และมีเวกเตอร์ n ai bj ck , , P x y z 0 0 0 0          0 b y y c z z 0 0

39.   ตัวอย่าง จงหาสมการระนาบที่ผ่านจุด เวกเตอร์ 2 n i   และตั้งฉากกับ 2, 3,5  P  3 4 j k     ตัวอย่าง จงหาสมการระนาบที่ผ่านจุด และ   3,2,1 C 1, 3,2 ,  2, 1,3  A B

40. (4) มุมระหว่างระนาบ 2 ระนาบ M 2 2 n M 1n 1   มุมระหว่างระนาบ กับ (normal vector) ของทั้งสองระนาบนั้น จะเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉาก M M 2 1

41.      ดังนั้น การหามุมระหว่างระนาบ : 0 M Ax B y C z  D 1 1 1 1 1   : 0 M A x B y C z D 2 2 2 2 2 มีขั้นตอน ดังนี้ (i) หาเวกเตอร์ตั้งฉาก นั่นคือ เราจะได้ว่า และ   2 n n n ของระนาบ B j  B j  และ และ ตามล าดับ 1n n n 2 n M M 2 1  Ai Ai Ck C k  1 1 1 1 2 2 2 2 (ii) หามุมระหว่าง และ โดยใช้สูตรผลคูณสเกลาร์ 1n    cos n n 1 2 1 2  n n n n    cos 1 2 1 2

42. ตัวอย่าง จงหามุมระหว่างระนาบ ระนาบ 2 x y  กับ     3 2 6 15 0 x y z    2 10 0 z

43. 0P (5) ระยะทางจากจุดไปยังระนาบ d M   D การหาระยะทางจากจุด ไปยังระนาบ มีขั้นตอน ดังนี้ , , P x y z  0 By 0  0 0   : 0 M Ax Cz (i) หาจุดบนระนาบมา 1 จุด เราจะเรียกว่า จุดQ    M n Ai Bj Ck (ii) หาเวกเตอร์ ที่ตั้งฉากกับระนาบ ซึ่งก็คือ n QP (iii) หาเวกเตอร์ 0 n QP  0  d (iv) หาระยะทาง โดยใช้สูตร n

44.  0  ตัวอย่าง จงหาระยะทางจากจุด 3 x  ไปยังระนาบ 02,1,8 P    2 6 12 y z