Практически приложения на числови редици

1. Практически приложения на числови редици

2. Пример 1 За да избегнат вредните последствия от безтегловността, космонавтите в орбиталната станция се упражняват на специални тренажори, като времето за упражнение трябва да се увеличава всяка седмица с 6 мин.Ако времето за упражнение първата седмица е 30 мин, колко часа трябва да се упражняват космонавтите след 24 седмици?

3. Решение: Тъй като времето за упражнение всяка седмицасе увеличава с постоянно число (6 мин), то стойностите му са членове на аритметична прогресия с първи член а = 30 и разлика d = 6.Общия член на тази прогресия е аn= 30 + 6 ( n – 1).Търсим аnпри n = 24. Така получаваме а24= 30 + 6 (24 -1 ) = 168. Следователно времето за упражнение след 24 седмици е 2ч 48 мин.

4. Пример 2 Огледалата на големите телескопи ги изливат от специално стъкло, което трябва да се охлажда много бавно, за да не се получат пукнатини. Стъклото се излива при температура 1400° и се охлажда с 1,3° на ден. Колко дни са необходими, за да се охлади огледалото до 22°?

5. Решение: Тъй като началната температура от 1400° намалява всеки ден с 1,3°, то последователните стойности на температурата образуват аритметична прогресия с първи член а1= 1400 и разлика d = -1,3. Общия член на тази прогресия е an = 1400 – 1,3 ( n – 1). В задачата аn= 22 и трябва да намерим n. От уравнението 22 = 1400 – 1,3 ( n – 1) получаваме n = 1061. Следователно за охлаждането са необходими 1061 дни.

6. Карл Фригрих Гаус Известна е следната история за гениалния математик Гаус. Когато бил в началното училище, учителят е поставил на учениците задача да намерят сбора на числата от 1 до 100, очаквайки, че те ще смятат цял час. Вместода събирапоследователно числата, Гаус постъпил по друг начин.

7. Да запишем сбора по два начина - в нарастващред и в намаляващ ред: 1+2+3+...+98+99+100 100+99+98+...+3+2+1 Можем да забележем, че 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ..., 99+2=101, 100+1=101. Оттук е ясно, че 2(1+2+3+...+100)=100*101.Следователно 1+2+3+...+100=50*101=5050 a1+an 50 = (1+100)100 =5050 Sn= n 2 2

8. Формула за сбора на първите n члена на геометричната прогресия. qn - 1 q - 1 Sn=a1 Пример 1 Според една известна легенда владетелят на Индия, очарован от шахматната игра, попитал какво възнаграждение иска изобретателят й. Той поискал да му се заплати със зърно, като за първото квадратче на шахматната дъска му се даде едно зърно, а за второто две, и така за всяко следващо квадратче- два пъти повече.Владетелят отвърнал, че това е твърде скромно искане. Успял ли е той да се разплати?

10. Решение: Трябва да намерим сбора на първите 64 члена на геометричната прогресия с частно 2 и първи член 1. По формулата за сбора на на геометричната прогресия имаме 264 - 1 S64=1 =264 – 1. С помощта на компютър можем да пресметнем това число S64=18 446 744 073 709 551 615. Като вземем предвид, че средно 20 пшенични зърна тежат около 1г, то изобретателят на шахмата е поискал приблизително 900 млрд. тона зърно, което е 1500 пъти повече от произвежданото количество пшеница в света сега. Ясно е, че владетеля, който не е знаел математика силно е подценил искането. 2 - 1

11. n ( ) p 100 Формула за сложна лихва Kn=Kqn=K 1+ Пример 1 Родители внесли за десетия рожден ден на детето си 4000 лева при сложна годишна лихва 4%. Каква ще бъде сумата когато детето навърши 18 години? Решение: В тази задача К = 4000, n = 18 – 10 =8 и р = 4. По формулата за сложна лихва получаваме: K8=4000 1+ =4000(1,04)8≈5474,276. Следователно когато детето навърши 18 години ще разполага със сумата 5474,28 лв. 8 ( ) 4 100

12. Пример 2 Каква сума трябва да внесем при 5% сложна лихва, за да имаме след 5 години 10 000 лева? Решение: В този случай имаме К5=10000, р=5, т.е. q=1.054 и търсим К. От формулата за сложна лихва имаме: К= = ≈7835,262 Кn 10000 qn 1,055 Следователно трябва да внесем 7835,26 лв. за да можем да изтеглим след 5 години 10000 лв.

13. Пример3 В банка са вложени 1500 лева на срочен месечен депозит при годишен лихвен процент 3,6. Каква ще бъде сумата след 18 месеца? Решение: В тази задача К = 1500, n = 18 и месечния лихвен процент е р=3,6:12=0,3%. По формулата за сложна лихва получаваме: K18=15001+ =1500(1,003)18 ≈ 1583,098. 18 ( ) 0,3 100 Следователно след 18 месеца сумата ще бъде 1583 лева и 10 ст.

14. Формула за погасителна вноска qn(q - 1) qn - 1 V=K Пример 1 Фирма е взела заем от 10000 лева при годишна лихва от 6% за срок от 5 години, който ще излпаща на равни месечни вноски. Да се намери: а) размерът на месечната вноска б) каква лихва ще е изплатила фирмата след погасяването на заема.

15. Решение: а) Тъй като заемът ще се изплаща на месечни вноски, то месечната лихва е 6:12 = 0,5% и заемът трябва да бъде изплатен за 5*12 = 60 месеца. От формулата за размера на месечната вноска намираме: V=1000 ≈ 193,328. 1,00560(1,005 - 1) 1,00560 - 1 Следователно месечната вноска е 193 лв. и 33 ст. б) Размерът на лихвата е: 60*193,33 - 10000= 1599,8 Следователно платената лихва е 1599 лeва. и 80 ст.

16. Изготвили: Милен Минев и Тихомир Желев 11 А клас СОУ” Железник “ 2010 година Учител по математика Г-жа Малинова