1 / 32

Экспоненциальная модель «хищник-жертва»

Экспоненциальная модель «хищник-жертва». Существование и устойчивость положений равновесия. Математическая модель. (1). Преобразование модели. Уменьшим размерность области параметров, выполнив замену При этом система (1) примет вид где. (2).

Download Presentation

Экспоненциальная модель «хищник-жертва»

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Экспоненциальная модель «хищник-жертва» Существование и устойчивость положений равновесия

  2. Математическая модель (1)

  3. Преобразование модели Уменьшим размерность области параметров, выполнив замену При этом система (1) примет вид где (2) Допустимые значения параметров модели: A>1, 0<B<1, a>0, b>0.

  4. Положения равновесия Найдем положения равновесия системы (2), решая систему уравнений: Положения равновесия: P0(0; 0), P1(ln A; 0), P2(x*; y*), где Положение равновесия P2имеет смысл, если aln A + ln B > 0. (3) Система (2) имеет два положения равновесия P0и P1, если aln A + ln B  0, иначе – три: P0, P1и P2. 1) Если aln A + ln B = 0, то P1= P2. 2) Решение (0; ln B) системы (3) не является положением равновесия системы (2), так как ln B < 0.

  5. Линеаризованная система Для системы (2) в окрестности произвольного положения равновесия соответствующая линеаризованная система имеет вид: где (4) Положение равновесия системы (2) асимптотически устойчиво, если все собственные значения iматрицы линеаризованной системы (4)удовлет-воряют условию |i|<1.

  6. Анализ на устойчивость положений равновесия Положение равновесия P0 (0; 0) Для точки P0 система (4) принимает вид: Для собственных значений матрицы системы имеем: 1 = A > 1, 2 = B < 1. Следовательно, положение равновесия P0неустойчиво при всех допустимых значений параметров системы (2).

  7. Анализ на устойчивость положений равновесия Положение равновесия P1 (ln A; 0) Для точки P1 система (4) принимает вид: Собственные значения матрицы системы равны: 1 = 1 – ln A , 2 =BAa. Положение равновесия P1будет асимптотически устойчиво, если параметры A, Bи a удовлетворяют условиям: Заметим, что, если положение равновесия P1асимптотически устойчиво, то в системе (2) нет* положения равновесия P2. * Нарушается условие существования точки P2: aln A + ln B > 0.

  8. Анализ на устойчивость положений равновесия Положение равновесия P2 (x*; y*) Для точки P2 система (4) принимает вид: Собственные значения матрицы будут корнями уравнения: 2 – (2 –x* – y*) + 1 – x* – y* + x*y* = 0. Положение равновесия P2будет асимптотически устойчиво, если его координаты удовлетворяют условиям*: * Все корни уравнения 2+a1+a2 =0 будут по модулю меньше единицы, если коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям: 1+a1+a2>0, 1– a1+a2>0, a2 < 1.

  9. Существование и устойчивость положений равновесия

  10. y* 2 2/ 1/ x* 0 2/ 1/ 2 Область устойчивости P2(x*; y*)

  11. Динамика численности «жертвы» в отсутствии «хищника» В отсутствии «хищника» (y(t)=0 t0)динамика численности «жертвы» описывается моделью Риккера*: (5) Свойства решений уравнения (5): Существует два положения равновесия P0(0)и P1(ln A). Если 1< A  e2, то положение равновесия P1 асимптотически устойчиво. Если A>e2, то оба положения равновесия P0и P1 неустойчивы, но существует цикл длины 2, который является устойчивым (притягиваю-щим), если A  e*, где *  2,526. Если A>e* , то среди решений уравнения (5) есть цикл длины 4, для которого существует критическое значение A* параметра Aтакое, что при A < A* цикл длины 4 будет устойчивым. При дальнейшем возрастании значений параметра Aвстречаются устойчивые циклы длины 8, 16, … , 2k (k – любое натуральное число). * Подробное исследование динамики модели (5) дано в [1].

  12. Динамика видов. Пример № 1

  13. Динамика видов. Пример № 1 При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника наблюдается вырождение хищникапри t  +. Численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A (A < e, монотонное затухание отклонений).

  14. Динамика видов. Пример № 2

  15. Динамика видов. Пример № 2 При любой ненулевой начальной численности жертвы в отсутствии хищника при t  +численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A (A < e, монотонное затухание отклонений).

  16. Динамика видов. Пример № 3

  17. Динамика видов. Пример № 3 При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника при t  + наблюдается стабилизация численности обоих видов на равновесном уровне. (A < e, монотонное затухание отклонений).

  18. Динамика видов. Пример № 4

  19. Динамика видов. Пример № 4 При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника наблюдается вырождение хищникапри t  +. Численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A ( e < A  e2, затухающие колебания).

  20. Динамика видов. Пример № 5

  21. Динамика видов. Пример № 5 При любой ненулевой начальной численности жертвы в отсутствии хищника при t  +численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A (e < A  e2, затухающие колебания).

  22. Динамика видов. Пример № 6

  23. Динамика видов. Пример № 6 При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника при t  + наблюдается стабилизация численности обоих видов на равновесном уровне.

  24. Динамика видов. Пример № 7

  25. Динамика видов. Пример № 8

  26. Динамика видов. Пример № 9

  27. Динамика видов. Пример № 10

  28. Динамика видов. Пример № 11

  29. Динамика видов. Пример № 12

  30. Динамика видов. Пример № 13

  31. Динамика видов. Пример № 14

  32. Литература Якобсон М.В. О свойствах динамических систем, порождаемых отображениями вида x Axe-x/ Моделирование биологических сообществ. Владивосток, 1975, с. 141 –162. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии. М.: Наука, 1983.

More Related