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一、集合的基本概念

一、集合的基本概念. 1. 集合與元素:. (1) 集合 :界定明確,且能判定組成的個體 ( 分子 ) 的一個群體,. 常以英文 S 或其他 大寫字母 表示。. (2) 元素 :組成群體的個體,常以英文 x 或其他 小寫字母 表示。. (3) 集合與元素的關係:. 若 x 是集合 S 中的一個元素,以 x  S ( 讀作 x 屬於 S ) 表示之;. 若 x 不是集合 S 中的一個元素,以 x  S ( 讀作 x 不屬於 S ) 表示之。. 例: 1 { 1, 2, 3, 4, 5 } , 9 {1, 2, 3, 4, 5 } 。.

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一、集合的基本概念

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  1. 一、集合的基本概念 1. 集合與元素: (1) 集合:界定明確,且能判定組成的個體(分子)的一個群體, 常以英文 S或其他大寫字母表示。 (2) 元素:組成群體的個體,常以英文 x或其他小寫字母表示。 (3)集合與元素的關係: 若 x是集合 S中的一個元素,以 x S (讀作 x 屬於S)表示之; 若 x不是集合 S 中的一個元素,以 xS (讀作x不屬於S)表示之。 例:1{ 1, 2, 3, 4, 5 },9{1, 2, 3, 4, 5 }。 本段結束

  2. 2. 集合表示法: (1) 列舉法:將集合的元素一一列出,用逗號分開,寫在大括號{ }內。 例:12 的所有正因數所成的集合為{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 }。 (2) 描述法:將集合的元素以通式表之, 其表示法為 例:4的倍數所成的集合為 3. 空集合:不含任何元素的集合,稱為空集合,以符號或{ }表示之。 4. 子集(部分集合): 若集合 A 的每一個元素都是集合 B 的元素,即 A 是 B 的一部分, 則稱 A 是 B 的子集(或部分集合),以 AB或 BA表示。 例:正整數集合 N 為實數集合 R 的一部分,即 NR。 注意:我們視空集合  為任何集合的部分集合。 本段結束

  3. 5. 集合的相等:若 AB且 BA,則 A、B兩集合相等,記為 A=B。 例:設A={ x x2+2x3=0},B={ x  |x+1|=2 },則 A=B。 6. 交集:由集合 A與集合 B共同元素所組成的集合, A B 稱為 A與 B的交集,記為 AB, 即 AB={x xA且 xB }。 例:設 A={ 1, 2, 3 },B={ 2, 3, 4 }, AB 則 AB={ 2, 3 }。 則 M2M3= M6。 例:設 Mk為所有k的倍數所成的集合, 注意:若集合 A與集合 B沒有共同元素,則 AB = 。 本段結束

  4. 7. 聯集:集合 A與集合 B所有元素組成的集合, A B 稱為 A與 B的聯集,記為 AB, 即 AB={ xx A或 xB }。 例:設 A={ 1, 2, 3 }, B={ 2, 3, 4 }, AB 則 AB={ 1, 2, 3, 4 }。 8. 差集:在集合 A中但不在集合 B中的元素所成的集合, 稱為 A與 B的差集,以 AB表示, A A B B 即 AB={ xx A但 xB } 。 例:設 A={ 1, 2, 3 },B={ 2, 3, 4 }, 則 AB={ 1 }, AB BA BA={ 4 }。 本段結束

  5. 9. 範例: 若 AB=,求 k 的範圍。 解: 若 A  B =  B A AB   k+1 3 k+1 1 k 4。 故所求 k 4。 Let’s do an exercise !

  6. 馬上練習:設 a 是實數,且A={ 2, 4, a2a+3 },B={ a2, a+11, a+6 }, 若 AB={ 4, 9 },求 a 的值。 Ans:2。 a=3或 2。 解:由 AB={ 4 , 9 } 知 a2a+3=9 B={ 1, 14, 9 } 不合。 (1) 若 a=3 滿足所求。 B={ 4, 9, 4 } (2) 若 a=2 故 a=2。 #

  7. 10. 宇集:所討論對象之全體所成的集合,常以 U表示。 例:設宇集 U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B={ 2, 4, 6, 8 }, 則 U  (AB) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }  { 2, 4, 6 } = { 1, 3, 5, 7, 8, 9 }。 11. 補集:若 U為宇集,UA稱為 A的補集,記為 A, 即 A= U A ={ xxA}。 例:設宇集 U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 則 A={ 7, 8, 9 }。 本段結束

  8. (A  B) = A  B。 12. 迪摩根定律:(A  B) = A  B; (1)(A  B)  = AB: 左圓:A;右圓:B 說明:(AB) = 兩圓所成區域之外 = 藍橫線且 紅直線劃過的區域 = 左圓之外且 右圓之外 = A B。 (2)(A  B)  = A  B: 說明:(AB) = 兩圓共同的區域之外 = 藍橫線或 紅直線劃過的區域 = 左圓之外或 右圓之外 = A B 。 To be continued :例

  9. 例:設宇集U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } 2倍數:M2={ 2, 4, 6, 8, 10 , 12, 14 }, 3倍數:M3={ 3, 6, 9, 12, 15 }。 2且 3的倍數 M2  M3 = { 6, 12}。 2或 3的倍數=M2  M3 = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 }。 (1) 不是 2或 3 的倍數(與 6 互質) :(M2 M3) = U  (M2 M3) = {1, 5, 7, 11, 13 }。 刪除 2倍數,再刪除 3倍數:M2  M3 = { 1, 5, 7, 11, 13 }。  (M2 M3) = M2  M3 。 (2) 不是2倍數,或不是 3倍數 :M2 M3= { 1, 2, 3, 4, 5, 7,8, 9, 10, 11, 13, 14, 15 }。 不是 2與 3的倍數 : (M2M3 )= { 1, 2, 3, 4, 5, 7,8, 9, 10, 11, 13, 14, 15 }。 (M2 M3)=M2 M3。 本段結束

  10. 二、集合元素的計數 1. 高斯符號: [x]表示小於或等於x的最大整數。 例:[] = 3 , [2] = 2 , [3.1] = 4 。 2. 集合元素的個數:集合 S 中所有元素個數以 例:S = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } n(S) = 5。 本段結束

  11. 3. 排容原理(二個):任意兩集合 A與 B,恆有 A B n(A B) = n(A) + n(B)  n(AB) 。 範例:在 1 到 1000 的整數中, 3 或 5 的倍數共有多少個? AB 解:令 M3為 3倍數的集合,M5為 5倍數的集合, 所求 = n(M3 M5) = n(M3) +n(M5) n(M3M5) = 333 + 200  66 = 467 。 Let’s do an exercise !

  12. 馬上練習:在 1 到 500 的整數中,與 35 互質的整數共有多少個? Ans:343。 解:由 35 = 5  7 與 35 互質即表不是 5 或 7 的倍數。 所求 = n(M5M7) = 全  n(M5M7) = 500  [n(M5)+n(M7)n(M3M5)] = 500  (100+7114) = 343。 #

  13. 4. 排容原理(三個):設 A、B、C為三集合,則 B n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C) AB BC n(AB)n(BC)n(AC) A +n(ABC)。 ABC 範例:在 1 到 1000 的整數中, C 4 或 6 或 9 的倍數共有多少個? AC 解:所求 = n(M4M6M9) = n(M4)+n(M6)+n(M9) n(M4M6)n(M6M9)n(M4M9) +n(M4M6M9) = 250+166+111835527+27 = 389。 Let’s do an exercise !

  14. 馬上練習:在 1 到 200 的整數中,與 30 互質的整數共有多少個? Ans:54。 解:由 30=235 與 3 0互質即表不是 2 或 3 或 5 的倍數。 所求 = n(M2M3M5) = 全n(M2M3M5) =200[n(M2)+n(M3)+n(M5)n(M2M3)n(M3M5)n(M2M5) +n(M2M3M5)] = 200(100+66+40331320+6) = 54。 #

  15. 5. 範例: 15 個學生之中有 10 個高,11 壯,12 帥, 求其中又高又壯又帥至少有幾個? 解:n(高壯) = 10 + 11  n(高壯)  15  10 + 11  15 n(高壯)  6n(高壯) 8n(壯帥) 同理,11 + 12  15 n(壯帥) 10 + 12  15 n(高帥) 7n(高帥) ∵n(高壯帥) = n(高) + n(壯) + n(帥)  n(高壯)  n(壯帥)  n(高帥)+ n(高壯帥) ∴n(高壯帥) = n(高壯帥)  n(高)  n(壯)  n(帥) +n(高壯) + n(壯帥) + n(高帥) 15 10  11  12+ 6 + 8 + 7= 3。故所求為 3。 #

  16. 三、加法原理 1. 樹狀結構:將原本零散無組織的東西,將其組成像樹枝分叉 的結構圖,將這樣的圖形稱為樹狀圖。 範例:如圖之正立方體中, H B 從 A 走到 B 的捷徑有多少條? G F B D D 解: E C B G A D B C E A H B H B F 故所求為 6。 G B Let’s do an exercise !

  17. 馬上練習:右圖為一正四面體,從 A 點出發, 沿著稜線走到 D 點,且各頂點最多經過一次, 求有幾種走法? D Ans:5 種。 A C 解: C D B D B D B C A D D #

  18. 2. 範例:甲乙兩人下棋,沒有平手的情形下, 連勝兩盤或先勝三盤者即贏得比賽, 求比賽的情形可能有幾種? 甲 甲 甲 甲 乙 甲 乙 乙 乙 解: 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 乙 乙 故所求為 10 種。 Let’s do an exercise !

  19. 馬上練習:甲乙兩人比賽網球,先勝三局者贏得比賽,馬上練習:甲乙兩人比賽網球,先勝三局者贏得比賽, 目前甲已贏了一局,求比賽的情形可能有幾種? Ans:10種。 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 解: 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 甲 甲 乙 乙 乙 #

  20. 3. 加法原理: 當完成一件事的辦法有相異的 n 類, 在第一類辦法中有 m1種不同的方法, 在第二類辦法中有 m2種不同的方法, …, 在第 n 類辦法中有 mn種不同的方法, 則完成這件事共有 m1+m2+…+mn種不同的方法, 此性質稱為加法原理。 210 126 5 15 70 35 1 4. 範例:如右圖(小方格皆正方形), B 10 20 35 4 56 由 A 取捷徑走到 B, 84 1 共有多少方法? 15 10 6 21 3 28 1 解:由 A 到各路口的方法數, 5 6 4 2 3 7 1 如圖所示。 A 1 1 1 1 1 1 故所求方法數為 210。 Let’s do an exercise !

  21. 馬上練習:(1) 如左下圖(小方格皆正方形),不經著色區域, 由 A 取捷徑走到 B 共有多少方法? (2) 如右下圖(小方格皆正方形),由 A 取捷徑走到 B, 共有多少方法? Ans:(1) 110 (2) 48。 解:由 A 到各路口的方法數,如下圖所示。 110 48 5 15 25 6 16 30 40 66 1 B B 26 15 6 14 10 10 4 10 44 18 1 11 4 5 3 3 4 6 18 4 1 1 6 4 5 6 2 3 2 3 4 7 1 1 A A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 #

  22. 5. 範例:一樓梯共有 10 階,今有一人上樓,若每步跨 1 階或 2 階, 則此人上到第 10 階共有多少種方法? 解:令an表上到第 n階的方法數, a2 = 2。 a1 = 1; 顯然上到第 1階有 1種 上到第 2階有 2種 a3=a1+ a2 而上到第 3階可由第 1階或第 2階上去 = 1 + 2 = 3。 同理,上到第 4階可由第 2階或第3階上去 a4 =a2 + a3 = 2 + 3 = 5。 … 上到第 n階可由第 n2階或第 n1階上去 an = an2+ an1,其中 n  3,a1 = 1,a2 = 2。 1, 13, 21, 34, 2, 3, 55, 89,…, 因此 an形成數列: 5, 8, Let’s do an exercise ! 故所求 a10 = 89種。 注意:滿足 an = an2+a n1的數列,是一種遞迴數列。

  23. 馬上練習:一樓梯共有 8 階,今有一人上樓,若每步跨 1 階 或 2 階或 3 階,則此人上到第 8 階共有多少種方法? Ans:81。 解:令 an表上到第 n 階的方法數, a2 = 2。 a1 = 1 ; 上到第 2 階有 2 種 顯然上到第 1 階有 1 種 a3 = 4。 上到第 3 階有 4 種 而上到第 4 階,可由第 1 階或第 2 階或第 3 階上去 a4= a1 + a2 + a3 = 1+2+4 = 7。 同理,上到第 5 階,可由第 2 階或第 3 階或第 4 階上去 a5= a2 + a3 + a4 = 2+4+7 =13。 … 上到第 n 階,可由第 n3 階或第 n2 階或第 n1 階上去 an= an3+an2+an1 , 其中 n4,a1=1,a2=2,a3=4。 因此 an形成數列:1,2,4,7,13,24,44,81,…。 故所求 a8=81 種。 #

  24. 四、乘法原理 當完成一件事需要分成 n 個步驟, 在第一個步驟有 m1種不同的方法, 在第二個步驟有 m2種不同的方法, … 在第 n 個步驟有 mn種不同的方法, 則完成這件事共有 m1m2…mn種不同的方法, 此性質稱為乘法原理。 本段結束

  25. 1. 範例:以「0,1,2,3,4,5」等五個數字中的三個, 做成數字相異的三位數, 求:(1) 共有幾個? (2) 偶數有幾個? (3) 奇數有幾個? 5 5  4 = 100個。 解:  5  4  1 = 20個。 4 4  2 故偶數共 52個。 = 32個。 4 4  3 = 48 個。 Let’s do an exercise ! 注意:奇數個數 = 全  偶數個數 = 100  52 = 48個。

  26. 馬上練習:以「0,1,2,3,4,5,6」七個數字中的三個,馬上練習:以「0,1,2,3,4,5,6」七個數字中的三個, 做成數字相異的三位數, 求:(1) 共有幾個? (2) 偶數有幾個? (3) 奇數有幾個? Ans:(1) 180 (2) 105 (3) 75。 665 = 180 個。 解:  651 = 30 個。 = 75 個。  553  553 = 75 個。 #

  27. 2. 範例:在 1 到 1000 的自然數中, 求:(1) 數字中有 0 的有幾個 ? (2) 一共有多少個 0 ? 9個。 解:(1) 二位數: □ 0  99=81個 (不含100、200、…)。 三位數: □ □ 0 □ 0 □  99=81個(不含100、200、…)。 □ 0 0 9個。 1個。 四位數:1000 共有 9+81+81+9+1 = 181 個數。 (2) 91+ 811+ 811+ 92+13 = 192 個, 即共有 192 個 0。 Let’s do an exercise !

  28. 馬上練習:在 10 到 1000 的自然數中,數字中有 6 的有幾個 ? Ans:270。 8個(不含66)。 解:二位數:□ 6 9個(不含66)。 6 □ 6 6 1 個。  89 = 72個(不含166、266、…)。 三位數:□ □ 6  89 = 72個(不含166、266、…)。 □ 6 □  99 = 81個(不含166、266、…)。 6 □ □ □ 6 6 8個(不含666)。 6 □ 6 9個(不含666)。 9 個(不含666)。 6 6 □ 1個。 6 6 6 共有 8+9+1+72+72+81+8+9+9+1 = 270 個數。 #

  29. 3. 範例:求 104的: (1) 正因數的個數。 (2) 所有正因數的總和。 (3) 正因數中為完全平方數的個數。 (4) 所有正因數的乘積。 解:(1) 104= 24  54, 正因數為 2a 形式的有 20,21,22,23,24,有 5種。 正因數為 5b 形式的有 50,51,52,53,54,有 5種。 故正因數共有 (4+1)(4+1) = 5  5 = 25個。 (2) 正因數總和 = (20+21+22+23+24)(50+51+52+53+54) = 24211。 To be continued (3) (4)

  30. (3) 正因數中為完全平方數的個數。 (4) 所有正因數的乘積。 解:(3) 正因數中為完全平方數(次方為偶數), 其中 2a形式的有 20,22,24,共 3種; 5b形式的有 50,52,54,共 3種。 故所求 = 3  3 = 9個。 (4) 104 的正因數共有 25個, 則 104 = 1 104 = 2 5000 共 25組 = 4  2500 … Let’s do an exercise ! = 104  1 故 104的所有正因數乘積

  31. 馬上練習:求 504 的: (1) 正因數個數。 (2) 所有正因數的總和。 (3) 正因數中為完全平方數的個數。 (4) 所有正因數的乘積。 Ans:(1) 24個 (2) 1560 (3) 4個 (4) 50412。 解:(1) 504 = 23  32  7, 正因數為 2a形式的有 20,21,22,23,共 4種。 正因數為 3b形式的有 30,31,32,共 3種。 正因數為 7c形式的有 70,71,共 2種 故正因數共有 (3+1)(2+1)(1+1) = 432 = 24 個。 (2) 正因數總和 = (20+21+22+23)(30+31+32)(70+71) = 1560。 To be continued (3)

  32. (3)正因數中為完全平方數的個數。 (4)所有正因數的乘積。 (3) 正因數中為完全平方數(次方為偶數), 解: 其中 2a形式的有 20,22,共 2種。 其中 3b形式的有 30,32,共 2種。 故所求 = 2  2 = 4 個。 (4) 504 的正因數共有 24個, 則 504 = 1  504 = 2  252 = 3  168 共 24組 … = 504  1 故 504 的所有正因數乘積 #

  33. 4. 範例:如右圖,由 A 取捷徑走到 B,必過 C 點有多少方法? B  解:由 A 到 C 有 15種, C C 到 B 有 6種。  故所求方法數為 15  6 = 90。  A 6 3  1 B 2 1 3 15 3 10 6 1  C  1 C 1 4 2 3 1 5 1  A 1 1 1 Let’s do an exercise !

  34. 馬上練習:一樓梯共有 9 階,今有一人上樓,若每步跨 1 階或 2 階, 求此人上到第 9 階且其中必過第 5 階種方法數。 Ans:40。 解:令 an表上到第 n 階的方法數,且 n  5。 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, 令 bmn表從第 m階上到第 n階的方法數,且 m  5。  b56=1,b57=2,b58=3,b59=5, 故所求為 8 5= 40。 #

  35. 5. 範例:如圖,由 A 走到 B,只可向右、向上、向下走 (不得向左走),且同一點不得經過兩次,則 (1) 畫出「上下上上下」的方法 ? (2) 共有幾種方法 ? B 解:(1)「上下上上下」的方法,  上 上 上 下 下 如右圖所示。  A (2) 以虛線隔開,由左至右共有 5 個區域, B 每個區域都有  4 5 1 2 3 上、下兩種路徑可選。  A 故所求 = 2  2  2  2  2 = 32 種。 Let’s do an exercise !

  36. 馬上練習:如圖,由 A 走到 B,只可向右、向上、向下走 (不得向左走),且同一點不得經過兩次, 求共有幾種方法? B  Ans:80 種。 解: 4  4  5 = 80 種。 #  A

  37. 6. 範例:如圖,由 A 走到 B,只可向右、向上、向下走 (不得向左走),且同一點不得經過兩次, B  求 (1) 共有幾種方法 ? (2) 若要經過 C 點,共有幾種方法 ? 解:(1) 共有 4  4  5  4 = 320種。 C  (2) 刪除 C 點後的圖形,如右圖所示。  A 以虛線可區隔出三個區域。 B   不過 C 點有 4(22+12)4 = 96種 故過 C 點共有 320  96 = 224種。 #  A

  38. 7. 範例:將 5 種不同顏色塗在下圖各區域中, 每區域一顏色且相鄰區域異色,各有幾種方法? 解:(1) AC 是否同色將影響 B 與 D 的選擇。 AC同色: D A C B AC異色: 故共有 5144 + 5433 = 80+180 = 260 種。 B (2) BD同色: C A E BD異色: D 故共有 54133 + 54322 = 180+240 = 420 種。 Let’s do an exercise !

  39. 馬上練習:一家四口,父母兄妺,每人都會洗碗,也會做飯,馬上練習:一家四口,父母兄妺,每人都會洗碗,也會做飯, 但每餐飯,做飯者不洗碗。某假日午晚兩餐, 做飯者非同一人,洗碗者也非同一人,問有幾種情形? Ans:84 種。 解:所求即在 4 個區域各塗上 午飯後洗碗 作午飯 一種顏色,相鄰不同色, 晚飯後洗碗 作晚飯 且有 4 種顏色可選 A D AC同色: B C AC異色: 故共有 4133 +4322 = 36 + 48 = 84 種。 #

  40. 8. 範例:設一室有四個門,甲乙二人由不同之門進入 再由不同的門出去,且各人不得由同一門進出, 求共有幾種方法? A  進入有 12 種。 解:進入: B D 出去:設甲由 A 進入,乙由 B 進入 C 甲由 B 出:  3 種。  4 種。 甲不由 B 出: 故共有 12  7 = 84 種。 Let’s do an exercise !

  41. 馬上練習:設一室有五個門,甲乙二人由不同之門進入馬上練習:設一室有五個門,甲乙二人由不同之門進入 再由不同的門出去,且各人不得由同一門進出, 求共有幾種方法? Ans:260種。 甲 A 進入有 20種。 解:進入: 甲 E 甲 乙 B 出去:設甲由 A 進入,乙由 B 進入 乙 C 乙 D 4種。 甲由 B 出: 甲不由 B 出: 9種。 故共有 20  13 = 260種。 #

  42. 9. 範例:若一個體育場有 6 個出入口,甲乙丙三人,分別由 不同的門進入體育場,出場時也由不同的門離開, 但限制每人不能由同一門進出,共多少方法數? 解:進入: 進入有120種。 令 A、B、C 分別表甲、乙、丙三人再由進入之門出去。 所求出去數 = 全  n(ABC) = 全  [n(A)+n(B)+n(C)n(AB)n(BC)n(AC)+n(ABC)] = 654 ( 15431143+111) = 71 。 故共有 12071 = 8520 種。 #

  43. 10. 範例:某公司生產多種款式的「阿民」公仔,各種款式只是 球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共有黑、灰、紅、藍四色, 球衣有白、綠、藍三色,而球鞋有黑、白、灰三色。公司決定 紅色球帽不搭配灰色鞋子,而白色球衣則必須搭配藍色帽子, 其他顏色的搭配沒有限制,問最多有少種不同款式的公仔? 解:白衣有限制:分白衣與非白衣考慮。  3 種。  4 種。  18 種。 本節結束 故共有 3 + 4 + 18 = 25 種。 注意:白衣須藍帽,但藍帽可搭綠衣或藍衣。

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