二面角

1. 二面角 二面角

2. 二面角 二面角 α ι β β ι 的棱，并与两半平 P γ B A α 角 的平面角 一、二面角的定义 从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 二、二面角的平面角 1、定义 一个平面垂直于二面角 面分别相交于射线PA、PB 垂足为P，则∠APB叫做二面

3. 二面角 α ι β p β p α β ι p α ι 2、作二面角的平面角的常用方法 ①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法 B A B A B O A

4. 二面角 P C A B 2、已知P为二面角 内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ β B p α O A ι 练 习 1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 60º

5. 二面角 α M P O A B N β C ∴CO=a，DO=a，PC a ，PD a ∴CD=PC a O P 例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。 解： 在PB上取不同于P 的一点O， C 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， 在β内作OD⊥AB交PN于D， 连CD，可得 D ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a，∵∠BPM =∠BPN = 45º 又∵∠MPN=60º a ∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º

6. 二面角 P B β α A ι 由余弦定理得 例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 解： 过PA、PB的平面PAB与 棱ι交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι O ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角 又∵PA=5，PB=8，AB=7 ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴这二面角的度数为120º

7. 二面角 P ∴OE∥BC且OE BC E B 在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PE A P O C 在Rt△POE中， OE ，PO ∴ O E ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。 解： 取AB 的中点为E，连PE，OE ∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º OE⊥AB ，因此 PE⊥AB ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角

8. 二面角 练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。 B’ 练习2：在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=CD= , ∠B=120º；将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来，使DB′= ，求△AB ′C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。 D α C β C O O A A B B D

9. 二面角 小 结 α ι 二面角 α ι β β p β p α ι β ι β p α P B γ α A 二面角 ι 2、求二面角的平面角方法 一、二面角的定义 从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 二、二面角的平面角 1、定义 —定义法 ①点P在棱上 —三垂线定理法 ②点P在一个半平面上 —垂面法 ③点P在二面角内 B A B A B O A

10. 作 业 二面角 A为二面角α– CD –β的棱CD上一点，AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与平面β成30º，求二面角α– CD – β的大小。 二面角 α B C D A β 二面角

11. 二面角 谢谢！