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教材地位分析

空. 角. 求. 间. 其. 及. 法. 地位分析. 教材地位分析. ( 1 ). 立体几何板块主要有两大类型 ( 1 ) 判断、推理型 ( 2 ) 有关的几何量的计算, 其中包括空间角、空间距离、体积的计算。. 空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分,是立体几何板块的一个重点,也是难点。. 高考地位分析. ( 2 ). 在历届高考中,空间角及其求法是每年必考的内容,与距离的计算、线面位置关系论证形成新的热点,该部分的分值约 6-16 分,属于中等难度。. 高考要求. 立体几何高考分析. 理解空间角的概念、会求空间角的大小。.

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Presentation Transcript


  1. 角 求 间 其 及 法

  2. 地位分析 教材地位分析 (1) 立体几何板块主要有两大类型 (1)判断、推理型 (2)有关的几何量的计算,其中包括空间角、空间距离、体积的计算。 空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分,是立体几何板块的一个重点,也是难点。 高考地位分析 (2) 在历届高考中,空间角及其求法是每年必考的内容,与距离的计算、线面位置关系论证形成新的热点,该部分的分值约6-16分,属于中等难度。 高考要求 立体几何高考分析 理解空间角的概念、会求空间角的大小。 高考中,立体几何板块往往有4个题目:2个选择题,一个填空题和1个大题。在大题中,一般是论证题和空间角(距离)计算组成。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。

  3. “一作” “二证” “三算” 空间角的求解步骤: 1.作出所求的空间角 <定位> 2.证明所作的角符合定义 <定性> 3.构造三角形并求出所要求角<定量> 简言之,空间角的求解步骤为: “三算” “一作” “二证” 撤消

  4. 典例分析 例1. 如图,正方体 ,M、N分别为 , 的中点,求直线AM与CN所成角。 途径一 过D1作D1E//AM,作D1F//CN,显然 为异面直线AM与CN所成角。通过解 即可。 途径二 过D1作D1E//AM,再过N作NG//D1E,显然 为异面直线AM与CN所成角。通过解 即可。 方法提炼 途径一 途径二

  5. 如图棱长是1的正方体,P、Q分别是棱AB、CC1上的内如图棱长是1的正方体,P、Q分别是棱AB、CC1上的内 分点,满足 . (1)求证:A1P⊥平面AQD; (2)求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值. D1 C1 A1 B1 Q D C 由以上的作法可知 即为所求角。 A P B 典例分析 例2. [ 厦门市2004届高三年质量检查-数学(文)] 解析 (1)易证,略 ? (2)如何作出线面角 过Q作QR平行AD,交BB1与R,连接AR,易知面ADQR即为面AQD R 由(1)知A1P⊥面AQD,设A1P交AR与S,连接SQ即可。 S 只需解△QSP即可。 方法提炼

  6. P P 过D作DE ⊥PC于E,过E作EF ⊥PC于F,连接FD,由二面角的平面角的定义可知 是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可。 D A A D 易证面PAB⊥面PBC,过A作AM ⊥BP于M,显然AM ⊥面PBC,从而有AM ⊥PC,同法可得AN ⊥PC,再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q,则 为二面角B-PC-D的平面角;再利用三面角公式可解。 B C B C 典例分析 例3. 在四棱锥P-ABCD中,已知ABCD为矩形,PA ⊥平面ABCD,设PA=AB=a,BC=2a,求二面角B-PC-D的大小。 解析1 定义法 E 解析2 Q N F M 垂面法 跳转

  7. E E P P A A D D B B C C 典例分析 例3. 在四棱锥P-ABCD中,已知ABCD为矩形,PA ⊥平面ABCD,设PA=AB=a,BC=2a,求二面角B-PC-D的大小。 解析3 利用三垂线求解 把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC,显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补,转化为求二面角E-PC-D。 易证面PEDA ⊥PDC,过E作EF ⊥ PD于F,显 然PF ⊥面PDC,在面PCE内,过E作EG ⊥PC于G, 连接GF,由三垂线得GF⊥ PC 即角EGF为二面角E-P C-D的平面角,只需解△EFG即可。 F G 解析4 射影面积法 由解析3的分析过程知,△PFC为△ PEC在面PDC上的射影,由射影面积公式得sin = ,余下的问题比较容易解决! F 跳转

  8. P A D B C 典例分析 例3. 在四棱锥P-ABCD中,已知ABCD为矩形,PA ⊥平面ABCD,设PA=AB=a,BC=2a,求二面角B-PC-D的大小。 解析5 复习 利用空间余弦定理求解 在面PDC内,分别过D、B作DE ⊥PC于E,BF ⊥PC于F,连接EF即可。 F 利用平面知识求BF、EF、DE的长度,再利用空间余弦定理求出 即可。 E 方法提炼

  9. KEY: 针对训练2如图,三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O,若PB=AB=1,BC=,求二面角P-AB-C的正切值。  KEY: E  P P B A E O O C 针对训练 针对训练1已知二面角- l-  ,A为面内一点,A到 的距离为 2 ,到l 的距离为4。求二面角 - l-  的大小。 A . O D l 撤消

  10. β α ι 针对训练4在直角坐标系中,设A (-2 , 3 )、B(3 ,-2 ),沿x轴把 直角坐标平面折成大小为 的二面角后, ,则 的值为。 针对训练 针对训练3如图P为二面角α–ι–β内一点,PA⊥α, PB⊥β,且PA=5, PB=8,AB=7,求这二面角的度数。 P KEY120º B A O

  11. 专题小结 本专题主要复习空间角(包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角)的定义、求法,可总结为: 线线角,用平移,妙选顶点, 线面角,作射影,二足相连。 二面角,求法多,空间余弦, 用定义,三垂线,射影垂面。 熟化归,解三角,算准结果, 作证求,三环节,环环相扣。 求解的基本思路为: 技 巧 “移”、“补” 、“换” 空间 问题 平面 问题 化 归

  12. 二面角的平面角 1.定义 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面上分别引垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 ? 等角定理:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行,并且方向相 同,那么这两个角相等。 二面角的平面角必须满足: (1)角的顶点在棱上。 (2)角的两边分别在两个面内。 (3)角的边都要垂直于二面角的棱。 返回

  13. 方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点,利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。 中点 返回

  14. 方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平行线。常选中点或线端点,利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平行线。常选中点或线端点,利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。 方法提炼2 求直线和平面所成角要领 “找射影,二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条,所以关键在于寻该斜线在面上的射影。 撤消 返回

  15. A o o B 方法提炼3 求二面角的方法比较多,常见的有 (1) 定义法 在棱上的点分别作棱的垂线, 如例3解析1 如例3解析2 (2) 利用三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线, (3) 垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线, 如例3解析3 (2) 三垂线定理法 (点在面内) (1)定义法(点在棱上) A o B (3) 垂面法(点在空间内) A

  16. 运用公式 求解,如例3解析5 方法提炼3(续) (4) 射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解 A 如图所示, 射影DBC、斜面△ABC与两面所 成的二面角之间有:  B D H M C (5)空间余弦定理 返回

  17. 空间余弦定理脉络 n n m m 推广 c c c2=a2+b2 c2=a2+b2-2abcos    m E 推广 d n F C l 撤消 EF2=a2+b2+d 2-2abcos 

  18.  A m E d d n B m F C l 空间余弦定理证明 如图,CBF= 为二面角的平面角  ,在CBF中,由余弦定理可求得CF 再由RtECF可得 用此公式为空间余弦定理,可求异面直线上两点的距离,异面直线所成角,还可求二面角的平面角。 返回

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