1 / 18

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008. Sistem persamaan linear. 3x 1 – 7x 2 + x 3 = 0 -2x 1 + 3x 2 – 4x 3 = 0. 2x 1 – x 2 + 2x 3 = 7 x 1 + 3x 2 – 5x 3 = 0 - x 1 + x 3 = 4.

marged
Download Presentation

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008 design by budi murtiyasa 2008

  2. Sistem persamaan linear 3x1 – 7x2 + x3 = 0 -2x1 + 3x2 – 4x3 = 0 2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0 - x1 + x3 = 4 Dng notasi matriks Dng notasi matriks = = A X = G A = G X Matriks augmented : matriks koefisien A ditambah matriks konstanta G. A, matriks koefisien X, matriks variabel /peubah G, matriks konstanta (A | G) =

  3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR A X = G G = 0 ? tidak ya Sistem persamaan linear nonhomogen A X = G, dng G ≠ 0 Sistem persamaan linear homogen A X = 0 Contoh : Contoh : 2x + y – 7z = 0 3x + 2y + z = 5 x – 6y + 2z = 0 3x – 5y + 3z = 0 x + 2y – z = 0 2x + y + 2z = 0

  4. SPL Nonhomogen A X = G, G ≠ 0 Mempunyai jawab / konsisten r(A) = r(A G) Tidak mempunyai jawab / inkonsisten r(A) ≠ r(A G) Banyak Jawab r(A) = r(A G) < n Jawab tunggal r(A) = r(A G) = n • Metode penyelesaian : • dng OBE, bawa (A G) • ke bentuk echelon. • banyaknya variabel • bebas = n – r . Keterangan : n : banyaknya variabel r : rank (A G) : matriks augmented (tambahan), yaitu matriks koefisien & matriks konstanta • Metode penyelesaian : • Gauss • Gauss-Jordan • matriks invers • Aturan cramer

  5. SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 Persamaan baru menjadi : x1 – 2x2 + x3 = -5 x2 – x3 = 4 2x3 = -2 Metode Gauss : 2. lakukan subtitusi balik : • lakukan OBE, bawa (A G) menjadi • bentuk echelon 2x3 = -2 x3 = -1 x2 – x3 = 4 x2 – (-1) = 4 (A G) = ~ x2 = 3 x1 – 2x2 + x3 = -5 ~ ~ x1 – 2(3) + (- 1) = -5 x1 = 2 r(A) = 3 r(A G) = 3 n = 3 ~ Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

  6. SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 ~ r(A) = 3 r(A G) = 3 n = 3 Metode Gauss-Jordan : ~ lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon baris tereduksi. Persamaan terakhir menjadi: x1 = 2 x2 = 3 x3 = -1 (A G) = ~ ~ ~ Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}. ~ ~

  7. Sistem persamaan linear 3x1 – 7x2 + x3 = 0 -2x1 + 3x2 – 4x3 = 0 2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0 - x1 + x3 = 4 Dng notasi matriks Dng notasi matriks = = A X = G A = G X A, matriks koefisien X, matriks variabel /peubah G, matriks konstanta

  8. SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 det(A) = 6 = adj A A-1 = Metode Matriks Invers : A X = G A-1 A X = A-1 G X = A-1 G 2. Selesaikan X = A-1 G 1. Cari invers dari A (bisa dng OBE, atau bisa dng matriks adjoint). X = = Jadi : x1 = 2 x2 = 3 x3 = -1 A = , maka adj A = Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

  9. SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 | A2 | = = 18 Metode Cramer : | A3 | = = - 6 • Cari det(A), dandet(Ai) , yaitudeterminan dr A dng terlebih dahulu mengganti kolom ke i dengan matriks konstanta G 2. Selesaikan Xi = |Ai | / | A | |A| = = 6 | A1 | = = 12 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

  10. SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Persamaan baru menjadi : x1 – 2x2 + x3 = 2 – x2 – 2x3 = 5 Selesaikan sistem : x1 – 2x2 + x3 = 2 -2x1 + 3x2 – 4x3 = 1 -5x1 + 8x2 – 9x3 = 0 2. Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian subtitusikan pada persamaan baru. • lakukan OBE, bawa (A G) menjadi • bentuk echelon Misalkan x3 = α, dng α bil Real – x2 – 2α = 5 – x2 – 2x3 = 5 (A G) = ~ x2 = - 2α – 5 x1 – 2x2 + x3 = 2 r(A) = 2 r(A G) = 2 n = 3 ~ x1 – 2(- 2α – 5) + α = 2 x1 = -5α – 8 Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 Jadi penyelesaian umum : {(-5α – 8, -2α – 5, α)}. Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3 Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.

  11. SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Selesaikan sistem : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1 2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 5 Misalkan x2 = α, dan x4 = β dng α, β bil Real – x3 – 2x4 = - 1 – x3 – 2β = - 1 x3 = - 2β + 1 Solusi : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 (A G) = ~ x1 – α + 2 (-2β + 1) – 3β = -2 x1 = α + 7β – 4 r(A) = 2 r(A G) = 2 n = 4 ~ Jadi penyelesiaan umum : {(α + 7β – 4, α, - 2β + 1, β)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x2 dan x4 misal diambil nilai α = 1, dan β = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-3, 1, 1, 0)}. Persamaan baru menjadi : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 – x3 – 2x4 = - 1

  12. SPL Nonhomogen yang tidak mempunyai jawab / penyelesaian. Selesaikan sistem : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1 2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 3 Apakah ada nilai x yang memenuhi ? Sistem tidak punya penyelesaian. Solusi : (A G) = ~ r(A) = 2 r(A G) = 3 n = 4 ~ r(A) ≠ r(A G); tidak punya penyelesaian. Mengapa ? Persamaan baru yg terakhir dpt dibaca : 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 2

  13. SPL Homogen A X = 0 Selalu mempunyai jawab / konsisten Sebab pasti r(A) = r(A 0) Jawab tunggal / hanya jawab trivial / jawab nol r(A) = n Banyak Jawab. Selain jawab trivial, ada jawab non trivial r(A) < n banyaknya var.bebas = n – r Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga menjadi bentuk echelon.

  14. SPL Homogen dangan Jawab Tunggal /hanya jawab trivial / hanya jawab nol Selesaikan sistem : x1 – 2x2 + x3 = 0 -x1 + 3x2 – 2x3 = 0 2x1 + x2 – 4x3 = 0 Sistem hanya mempunyai jawab nol, Dari persamaan baru dapat dibaca : x1 – 2x2 + x3 = 0 x2 – x3 = 0 – x3 = 0 Solusi : ~ (A 0) = Dengan subtitusi balik diperoleh : x3 = 0, x2 = 0, dan x1 = 0 r(A) = 3 r(A 0) = 3 n = 3 ~ Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah, Jadi khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A; dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol).

  15. SPL Homogen dengan banyak Jawab Selesaikan sistem : x1 – 2x2 + x3 = 0 -x1 + 3x2 – 2x3 = 0 2x1 + x2 – 3x3 = 0 Dari persamaan baru dapat dibaca : x1 – 2x2 + x3 = 0 x2 – x3 = 0 Misalkan x3 = α, dng α bil Real Solusi : Dengan subtitusi balik diperoleh : ~ A = x2 – x3 = 0 x2 = α x1 = α x1 – 2x2 + x3 = 0 r(A) = 2 n = 3 ~ Jadi penyelesaian umum : {(α, α , α)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3 misal diambil nilai α = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(1, 1, 1)}.

  16. SPL Homogen dengan banyak Jawab Selesaikan sistem : -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0 x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = 0 2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= 0 Misalkan x2 = α, dan x4 = β dng α, β bil Real – x3 – 2x4 = 0 – x3 – 2β = 0 x3 = - 2β Solusi : ~ -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0 A = -x1 + α – 3(-2β) + β = 0 x1 = α + 7β r(A) = 2 n = 4 ~ Jadi penyelesaian umum : {(α + 7β, α, - 2β, β)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x2 dan x4 Persamaan baru menjadi : - x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0 – x3 – 2x4 = 0 misal diambil nilai α = 0, dan β = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(7, 0, -2, 1)}.

  17. Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan : x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0 2x1 – 5x2 + 3x3 + 4x4 = 0 3x1 – 8x2 + 4x3 + 6x4 = 0 -4x1 + 11x2 – 5x3 – 8x4 = 0 Misalkan x3 = α, dan x4 = β dng α, β bil Real x2 + x3 = 0 x2 + α = 0 Solusi : x2 = - α A = ~ x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0 x1 – 3(-α) + α+ 2β = 0 x1 = - 4α – 2β r(A) = 2 n = 4 ~ Jadi penyelesaian umum : {(- 4α – 2β, -α, α, β)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3 dan x4 misal diambil nilai α = 1, dan β = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-6, -1, 1, 1)}. Persamaan baru menjadi : x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0 x2 + x3 = 0

  18. Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan : x1 + 3x2 + 3x3 = 0 x1 + 4x2 + 3x3 = 0 x1 + 3x2 + 4x3 = 0 Solusi : Sistem tersebut hanya mempunyai jawab trivial (jawab nol). Jadi x1 = x2 = x3 = 0.

More Related