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导入新课

观察与分析. 导入新课. 也许同学们并没有注意到，在我们所生活的大千世界里，双曲线也时常出现在我们的周围，请同学们观察以下图片 …. 玉枕的形状. 发电厂冷却塔的外形. 可口可乐的下半部. 双曲线的定义. 双曲线的标准方程. 双曲线的简单几何性质. 再一次认识了双曲线之后，我们将开始深入学习数学上的双曲线 . 首先来看看本节双曲线的知识结构：. 由该知识结构图可知，我们应首先学习双曲线的定义 . 我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的轨迹是椭圆 . 那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？.

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Presentation Transcript

  1. 观察与分析 导入新课 也许同学们并没有注意到，在我们所生活的大千世界里，双曲线也时常出现在我们的周围，请同学们观察以下图片…

  2. 玉枕的形状 发电厂冷却塔的外形 可口可乐的下半部

  3. 双曲线的定义 双曲线的标准方程 双曲线的简单几何性质 再一次认识了双曲线之后，我们将开始深入学习数学上的双曲线. 首先来看看本节双曲线的知识结构：

  4. 由该知识结构图可知，我们应首先学习双曲线的定义.由该知识结构图可知，我们应首先学习双曲线的定义. 我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的轨迹是椭圆.那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？

  5. 如图2.3-1，取一条拉链， 拉开它的一部分，在拉开的两边的上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线， 会得到怎样 的曲线呢？ 2.3-1

  6. 这条曲线是满足下面条件的集合： P={M||MF1|-|MF2|=常数}（左边） P={M||MF2|-|MF1|=常数}（右边） 这两支曲线 合起来叫做 双曲线. M F2 F1 2.3-1 F

  7. 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程

  8. 教学目标 知识与能力 • 让学生掌握双曲线的定义和标准方程. • 让学生掌握标准方程的推导．

  9. 过程与方法 情感态度与价值观 • 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知. • 抓住与椭圆的异同，掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的联系与区别. • 注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法.

  10. 教学重难点 重点 难点 • 双曲线的定义. • 双曲线的标准方程． • 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

  11. y M c c x O F1 F2 图2.2-1 类比椭圆的定义， 你能给出双曲线的定义吗？ 回顾旧知： 椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

  12. y M x F1 F2 O 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做 双曲线 这两个定点叫做 双曲线的焦点 两个焦点间距离叫做 双曲线的焦距

  13. y M c c x O F1 F2 图2.2-1 类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系， 建立双曲线的标准方程吗？ 回顾旧知： 由椭圆的定义，椭圆就是集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

  14. y M x F1 F2 O (-c,0) (c,0) 2.3-2 类比椭圆，我们根据双曲线的集合特征，选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程.

  15. y M x F1 F2 O 例1： (-c,0) (c,0) 如右图建立直角坐标系xOy， 使 x 轴经过两焦点F1，F2， y轴为线段F1F2的垂直平分线. 设M(x,y)是双曲线上任意一点， 双曲线的焦距为2c（c > 0），那么焦点F1，F2的坐标分别是(-c,0)，(c,0).又设点M与F1，F2得距离差的绝对值等于常数2a. 2.3-2

  16. y M x F1 F2 O (-c,0) (c,0) ① 由定义可知，双曲线就是集合 P={M||MF1|-|MF2|=2a}. 因为|MF1|= ， |MF2|= ， 所以 类比建立椭圆标准方程的化简过程， 化简①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2), 两边同除以(c2-a2），得

  17. y M x F1 F2 O (-c,0) (c,0) 由双曲线的定义可知2c>2a，即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程， 我们令c2-a2=b2，其中b>0 ，代入上式，得 ②

  18. 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都能满足方程②，以方程②的解(x, y)为坐标的点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为2a，即以该解为坐标的点都在双曲线上，由曲线与方程的关系可知，方程②是双曲线的方程我们把它叫做 它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0)F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2. 双曲线的标准方程

  19. 类比焦点在y轴上的椭圆，如图2.3-3，双曲线的焦点分别是F1(0,-c)，F2(0,c)，a，b的意义同上，这时双曲线的标准方程式什么？类比焦点在y轴上的椭圆，如图2.3-3，双曲线的焦点分别是F1(0,-c)，F2(0,c)，a，b的意义同上，这时双曲线的标准方程式什么？

  20. y M F2 x O F1 此时双曲线的方程是： 这个方程也叫双曲线的标准方程.

  21. 例2： 已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0)F2(5,0)， 双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值 等于6，求双曲线的标准方程.

  22. 解：因为双曲线的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为 因为2a=6，2c=10，所以 a=3，c=5，所以 b2=52-32=16. 因此，双曲线的标准方程：

  23. y 例2： P P x F1 O F2 设动点P到两定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离分别为d1和d2∠F1PF2=2θ，且存在常数λ(0<λ<1)，使得d1d2sin2θ=λ. 求出动点P的轨迹的曲线方程.

  24. 解：在三角形PF1F2中，|F1F2|=2 4=d12+d22-2d1d2cos2θ (d1-d2)2+4d1d2sin2θ (d1-d2)2=4-4λ |d1-d2|2=4-4λ(小于2的常数) 故动点P的轨迹C是以F1,F2为焦点，实轴长 的双曲线. 方程为 .

  25. 课堂小结 y M x F1 F2 O 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线， 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两个焦点间距离叫做双曲线的焦距.

  26. y M x F1 F2 O (-c,0) (c,0) 双曲线就是集合： P={M||MF1|-|MF2|=2a}. 双曲线的标准方程： 焦点在x轴上： 其中|MF1|-|MF2|=2a，c2-a2=b2.

  27. y M F2 x O F1 双曲线的标准方程： 焦点在y轴上： 其中|MF1|-|MF2|=2a，c2-a2=b2.

  28. （a>b>0） （a>0, b>0） 椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别

  29. 高考链接 (2007湖南文)已知双曲线x2-y2=2，的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A,B两点，点C的坐标是(1,0) （1）证明： 为常数； （2）若动点M满足 （其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．

  30. 解：由条件知F(2,0)，设A( x1,y1)，B(x2,y2). （I）当AB与x轴垂直时，可设A，B的坐标分别为 ， . 此时 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是 y=k(x-2)(k≠±1). 代入x2-y2-2，有(1-k2)x2+4k2+2=0.

  31. 于是 综上所述，为常数 则x1，x2是上述方程的两个实根， 所以 ， ．

  32. 设M(x,y)，则 , , 由 得 即 于是的中点坐标为 当不与x轴垂直时， 即 又因A,B为两点在双曲线上，所以 x12-y12=2，x22-y22=2两式相减得

  33. (x1-y1)(x1+y1)=(y1-y2)(y1+y2) ，即 (x1-x2)(x+2)=(y1-y2)y 将 代入上式，化简得 x2-y2=4 当AB与x轴垂直时，求得M(2,0)， 也满足上述方程． 所以点的轨迹方程是x2-y2=4．

  34. (2006北京理)已知点M(-2,0),N(2,0)，动点P满足条件 记动点P的轨迹为W，求W的方程. 解：由 知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长 ，又半焦距c=2，故虚半轴长 所以W的方程为

  35. 课堂练习 1.设F1,F2分别是双曲线 的左、右焦点．若点P在双曲线上， 且 ,则 （ ） B C. D. A. B.

  36. A. B. C. D. 2.以双曲线 的右焦点为圆心， 且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A

  37. 填空题 1.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是 F1(-3,0)，一条渐近线的方程是 则双曲线C的方程是___________ 解：设双曲线C的方程为 由题设得: 解得， 所以双曲线C的方程为

  38. 2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点 为（2，0），右顶点为 ， 则双曲线C的方程是______________ 解：设双曲线方程为 (a>0，b>0)由已知得 a= ，c= 2 ， 再由a2+b2=22，得b2=1 故双曲线C的方程为

  39. 解答题 1. AB是双曲线 x2－ ＝1 上的两点，N(1,2) 是线段AB的中点，则直线AB的方程为 _______________

  40. 解：依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2 代入 x2－ ＝1，整理得 (2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ① 记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0, 且x1＋x2＝ 由N(1,2)是AB中点得 (x1＋x2)＝1 ∴ k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知 AB的方程为y＝x＋1.

  41. 2.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点，若动点M满足（其中O为坐标原点）2.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点，若动点M满足（其中O为坐标原点） 求点M的轨迹方程.

  42. 解：由条件知F1(-2,0),F2(2,0),A(x1,y1),B(x2,y2) 设M(x,y)，则 , 由 得 即 于是AB的中点坐标为 当AB不与x轴垂直时 即

  43. 因为A,B两点在双曲线上，所以 x12-x22=2,y12-y22=2两式相减得 (x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 即(x1-x2)(x-4)(y1-y2)y 将 代入上式，化简得(x-6)2-y2=4,当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M(8,0),也满足上述方程.所以点的轨迹方程是 (x-6)2-y2=4

  44. 1.（1） （2） （3）解法一：因为双曲线的焦点在y轴上，所以，可设它的标准方程为 将点（ 2,-5 ）代入方程，得 即a2b2+4a2-25b2=0，又a2+b2=36 教材习题答案

  45. 解方程组 令m=a2，n=b2，代入方程组，得 解得 第二组不合题意，舍去，得a2=20,b2=16 所求双曲线的标准方程为

  46. 解法二：根据双曲线的定义，有 所以 又c=6，所以b2=36-20=16. 由已知，双曲线的焦点在y轴上，所以，所求双曲线的标准方程为：

  47. 2.提示：根据椭圆中，a2-b2=c2和双曲线中a2+b2=c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.2.提示：根据椭圆中，a2-b2=c2和双曲线中a2+b2=c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标. 3.由(2+m)(m+1)>0，解得m<-2，或m>-1.

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