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模糊集与模糊系统

模糊集与模糊系统. Yuehui Chen Computational Intelligence Lab. School of Information Science and Engineering Jinan University, Jinan 250022, P.R.China Email: yhchen@ujn.edu.cn Http://cilab.ujn.edu.cn. 模糊理论（ 1 ）. 一、集合与特征函数. 1 、论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。. 2 、集合 在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。.

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模糊集与模糊系统

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  1. 模糊集与模糊系统 Yuehui ChenComputational Intelligence Lab.School of Information Science and EngineeringJinan University, Jinan 250022, P.R.ChinaEmail: yhchen@ujn.edu.cnHttp://cilab.ujn.edu.cn

  2. 模糊理论（1）

  3. 一、集合与特征函数 1、论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。

  4. 2、集合 在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。

  5. 3、特征函数 设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令 1 当u∈A CA(u)= 0 当u A 则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有： A={ u | CA(u)=1 } {

  6. 4、隶属度 特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。

  7. 例1、设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，A={ 1,3,5 }，求其特征函数。 解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5 CA(u)= 0 当u=2,4 {

  8. 二、模糊集与隶属函数 1、隶属函数 设U是论域，μA是将任何u∈U映射为[0，1]上某个值的函数，即： μA：U→[0，1] u→μA(u) 则称μA为定义在U上的一个隶属函数

  9. 2、模糊集 设A={ μA (u) | u∈U } 则称A为论域U上的一个模糊集。

  10. 3、隶属度 μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。

  11. 例2、设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。

  12. 解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有： A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1

  13. 例3、设有论域：U={ 缟山，刘水，秦声 } 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。

  14. 解：假设他们的平均成绩分别为：98分，72分，86分，设映射为平均成绩除以100。则有隶属度：解：假设他们的平均成绩分别为：98分，72分，86分，设映射为平均成绩除以100。则有隶属度： μA(缟山)=0.98，μA(刘水)=0.72，μA(秦声)=0.86 模糊集A={ 0.98, 0.72, 0.86 }

  15. 三、模糊集表示法 1、扎德表示法1 设论域U是离散的且为有限集： U={ u1, u2, …, un, } 模糊集为：A={μA(u1), μA(u2), … , μA(un) } 则可将A表示为：

  16. A=μA(u1)/ u1+μA(u2)/ u2+ … +μA(un)/ un 或 A={ μA(u1)/ u1，μA(u2)/ u2，… ，μA(un)/ un } 或 A= μA(ui)/ ui 或 A= μA(u)/ u u∈U

  17. μA(ui)/ ui表示ui对模糊集A的隶属度。当某个隶属度为0时，可以略去不写。 如： A=1/ u1+0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4 B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4 它们是相同的模糊集。

  18. 2、扎德表示法2 设论域U是连续的，则其模糊集可用实函数表示。

  19. 例4、设有人的年龄论域U=[0,100], 求其“年老”和“年轻”这两个模糊概念的隶属函数。

  20. 解： 0 0≤u≤50 μ年老(u)＝ (1+(5/(u-50))2)-1 50<u≤100 {

  21. 解： 1 0≤u≤25 μ年轻(u)＝ (1+((u-25)/5)2)-1 25<u≤100 {

  22. 四、模糊集运算 U上所有模糊集的全体记为δ(U)，即： δ(U)={ A | μA: U→[0，1] }

  23. 1、包含运算 设A,B∈δ(U)，若对任意u∈U，都有： μB(u)≤μA(u) 则称A包含B，记为：B A

  24. 2、并、交、补运算 设A,B∈δ(U)，分别称A∪B, A∩B为A与B的并集、交集，称 A为A的补集。

  25. 它们的隶属函数分别为： μA∪B (u)= max {μA (u), μB(u) } u∈U μA∩B (u)= min {μA (u), μB(u) } u∈U μ A (u)= 1-μA (u)

  26. 例5、设U={ u1,u2,u3 } A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3 求：A∩B, A∪B及 A

  27. 解： A∩B =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 A∪B =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3 A=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3

  28. 模糊理论（2）

  29. 一、模糊集的λ水平截集 1、λ水平截集 设A∈δ(U)，λ∈[0, 1], 且 Aλ={ u | u∈U, μA(u)≥λ} 则称Aλ为A的一个λ水平截集，λ称为阈值或置信水平。

  30. 2、λ水平截集性质 （1）设A,B∈δ(U)，则有： (A∪B)λ= Aλ∪Bλ (A∩B) λ= Aλ∩Bλ （2）若λ1，λ2∈[0, 1], 且λ1<λ2, 则 Aλ1 Aλ2

  31. 3、核、支集 设A∈δ(U)，且 Ker A={ u | u∈U, μA(u)=1} Supp A={ u | u∈U, μA(u)>0} 则称Ker A为模糊集A的核，Supp A为模糊集A的支集。

  32. 4、正规模糊集 若KerA≠Φ，则称A为正规模糊集。

  33. 例1、设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 且λ分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的λ水平截集、核及支集。

  34. 解： （1）λ水平截集 A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }

  35. 二、模糊度 1、模糊度定义 设A∈δ(U)，d是定义在δ(U)上的一个实函数，如果它满足如下条件： （1）对任意A∈δ(U)， 有d(A)∈[0,1]； （2）当且仅当A是一个普通集合时，d(A)=0； （3）若A的隶属函数μA(u)≡0.5，则d(A)=1；

  36. （4）若A,B∈δ(U)，且对任意u∈U, 满足 uB(u)≤μA(u)≤0.5 或 uB(u)≥μA(u)≥0.5 则有 d(B)≤d(A) （5）对任意A∈δ(U)，有 d(A)=d( A) 则称d为定义在δ(U)上的一个模糊度，d(A)称为A的模糊度。

  37. 2、模糊度计算公式 （1）海明(haming)模糊度 其中，n是论域U中元素的个数， 1 μA (ui)≥0.5 μA 0.5(ui)= 0 μA (ui)＜0.5 {

  38. （2）欧几里德(Euclid)模糊度

  39. （3）明可夫斯基(Minkowski)模糊度

  40. 例2、设U={ u1,u2,u3,u4 } A= 0.8/u1+0.9/u2+0.1/u3+0.6/u4 求A的模糊度

  41. 解： （1）海明模糊度 d(A)=2/4(| 0.8-1|+|0.9-1|+ |0.1-0|+|0.6-1|) =(0.2+0.1+0.1+0.4)/2 =0.4

  42. （2）欧几里德(Euclid)模糊度 =0.47

  43. 三、模糊关系 1、模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μA (u)在R上连续，且具有如下性质： （1）A是凸模糊集，即对任意λ∈[0，1]，A的λ水平截集Aλ是闭区间； （2）A是正规模糊集，即存在u∈R，使 μA (u)=1 则称A为一个模糊数。

  44. 2、笛卡尔乘积与关系 设U与V是两个集合，则称 U×V={ (u,v) | u∈U, v∈V } 为U与V的笛卡尔乘积。 若R U×V，则称R为从U到V的一个关系。记为：

  45. 例3、设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 } V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q, K } 求U×V 解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（梅花, K） }

  46. 3、模糊关系 设Ui是（i=1,2,…n）论域，R是 U1×U2×…×Un上的一个模糊子集，则称R为U1×U2×…×Un上的一个n元模糊关系，记为： R= ∫ μR(u1, u2, …, un ) / (u1, u2, …, un) U1×U2×…×Un μR(u1, u2, …, un )是模糊关系R的隶属函数

  47. 例4、设有一组学生U: U={ 张三，李四，王五} 他们对球类运动V: V={ 篮球，排球，足球，乒乓球} 有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表示：

  48. 4、模糊关系的合成 设R1与R2分别是U×V及V×W上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为：R1·R2 其隶属函数为 μR1·R2(u,w)= { μR1 (u,v) μR2 (v,w) }

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