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代数专题 辽宁省高中新课程省级培训数学科讲师团赵瑞清联系电话: 024-86902426

必修课程与选修课程系列1、系列2中有关代数的内容必修课程与选修课程系列1、系列2中有关代数的内容集合、逻辑、推理与证明；函数、基本初等函数I；基本初等函数II；数列；不等式；微积分；复数

每一内容分别按以下三个方面研讨 本章教材概述课标要求与大纲要求教材内容对比分析

专题之一——集合 教材概述 1．内容调整变化： 2．基本思维方式： 3．注重学习方法的指导： 4．强化集合的语言意识和作用： 5．重视数学思想方法的教学： 6．注重体现数学的文化价值：

1．1 集合与集合的表示方法 【课标要求】 1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系． 2．通过选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

【大纲要求】 1．理解集合的概念，了解空集的意义，了解“属于”关系的意义． 2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

对比分析 1．课标中对教学要求的各种层次表述与原大纲的含义是相同的． 2．课标降低了对集合概念的教学要求．一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合． 3．明确了集合所能刻划的范围．

4 ．注意常用集合的表示方法：空集 ，正实数集R+．空集集合有限集非空集无限集 5．学习集合的目的——分类．有些问题，局部与整体之间存在着必然的因果关系．

6．集合的三种表示方法中，特征性质描述法是重点，也是课标教材的特色．6．集合的三种表示方法中，特征性质描述法是重点，也是课标教材的特色．如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有性质，则性质叫做集合A的一个特征性质．于是，集合A可以用它的特征性质描述为{ I| }．特征性质描述是用集合来刻划集合．

7．注意问题： （1）有限集与无限集表示方法的区别；（2）每一种表示方法可能不唯一；（3）各种表示方法的语言识别与转换；（4）数形结合思想是基本策略．

1．2集合之间的关系与运算 【课标要求】 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 5．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【大纲要求】 1．理解子集、补集、交集、并集的概念． 2．了解全集与空集的意义． 3．了解集合的包含、相等关系的意义． 4．掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

对比分析 1．课标对集合的包含、相等关系提高了要求； 2．思考与讨论的意图； 3．即注重充分感知，又注重说理； 4．强化对学生进行的学习方法的指导；

B C A D 例1：（课标）指出下列四个集合的关系，并用维恩图表示．A={ 是四边形}，B={ 是平行四边形}，C={ 是矩形}，D={ 是正方形}．解：

5．只要求会求简单集合的交集与并集； 例2：（课标）已知A={0，2，4，6，8}，B={0，1，2，3，4，5}，C={4，5，6} ．求：（1） A B C；（2） A B C；（3）（A B） C；（4）（A B） C．

注意补集的符号是“ ”，而不是“CUA” 6．明确给出了并集与交集的运算性质； 7．对于补集的概念的给出方式有所不同； 8．关于奇数集和偶数集的概念； 9．要注意对并集、交集定义中“一般地”的理解； 10．对探索与研究内容的处理．

专题之二——常用逻辑用语 教材概述 1．内容调整变化； 2．注重温故而知新； 3．注重结合实际和已有的数学知识； 4．是数学表达的基础语言； 5．强化对集合语言和符号化语言的运用； 6．学习逻辑语言的目的．

1．1 命题与量词 【课标要求】 1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【大纲要求】无

和，，对比分析 1．将科学猜想归为命题． 2．引进了全称量词和存在量词、全称命题和存在性命题概念． 3．给出符号化的抽象语言． 4．注重集合语言的应用．

1．2 基本逻辑联结词 【课标要求】通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．【大纲要求】理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

对比分析 1．教学要求明显降低； 2．知识内容上没有本质差异；例1：（课标）写出命题：有些三角形是直角三角形的非（否定），并判断其真假．

3．注重让学生能将符号化的抽象语言与自然语言熟练的互译．3．注重让学生能将符号化的抽象语言与自然语言熟练的互译．例2：（课标）已知： ABC是直角三角形；： ABC是等腰三角形．用自然语言表达下列命题：

1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式 【课标要求】 1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题； 2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．【大纲要求】掌握充要条件的意义，理解四种命题及其相互关系．

例（课标）试写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并注明真假．例（课标）试写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并注明真假．，如果，则；（1） b，则a·b=0．（2）设a，b为向量，如果a 对比分析 1．教学要求分别降低了一个层次； 2．内容顺序调整； 3．注重各知识间关系的阐述； 4．注重符号化语言的综合运用；

5．探索与研究的内容的处理． 学习充分条件、必要条件与命题的四种形式的意义和目的？

专题之三——推理与证明 教材概述 1．是限定必选的选修内容： 2．编写特点： 3．学习的基础： 4．学生的学习要求： 5．强化学生的素质： 6．注重数学文化：

2．1合情推理与演绎推理 【课标要求】 1．结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用． 2．结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3．通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

例1：（课标）设 计算的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确．对比分析 1．合情推理的含义： 2．注重应用实例：

3．演绎推理的含义： 三段论是演绎推理的主要形式，可以用以下形式来表示：M—P（M是P）——S—M（S是M）——S—P（S是P）．例2：（课标）已知：空间四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD．

2．2直接证明与间接证明 【课标要求】 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 2．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点．

3．数学文化：（1）通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．（2）介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用．

例1：（课标）求证： 对比分析 1．重点是对方法的选择，对证明的技巧性不宜作过高的要求．

2．间接证法——反证法： 由证明 p q 转向证明：¬ q r… t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬ q 为假，推出q 为真．应用的基础是演绎推理．例2：（课标）平面上有四个点，没有三点共线．证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．

2．3数学归纳法 【课标要求】了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【大纲要求】理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【对比分析】对数学归纳法原理的认识水平要求，课标比大纲降低了一个层次，对应用的要求没有变化，要注意对问题的难度控制．

专题之四——函数 教材概述 1．内容调整变化： 2．重视与义教数学课程的衔接： 3．以集合为基本语言： 4．数学的通性、通法是本章的主线： 5．强化理性思维： 6．强化学生的应用意识： 7．注重整合信息技术．

2．1函数 【课标要求】 1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．通过具体的实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义．

【大纲要求】 1．了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解． 2．了解函数的单调性、奇偶性的概念，利用这些概念证明或判断函数的单调性、奇偶性．

变量的依赖关系 函数概念对应图形对比分析 1．函数的概念：

例1：（课标）求函数 在 0，1，2处的函数值和值域．例2：（课标）（1）已知函数求（2）已知函数求 2．函数的构成要素： 3．提高对函数概念理解要求的水平：

例3：（大纲）下列函数中哪个与函数 是同一个函数？ 4．能用集合和映射两种观点理解函数概念：例4：（课标）下列各图中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则是不是映射？是不是函数关系？ 5．明确提出了“数形结合”的思想方法及其作用，给出了“分段函数”的概念：

例5：（课标） （1）设函数y=f（x），当x≤-1时， f（x）=x+1；当-1<x<1时， f（x）=0；当x≥1时， f（x）=x-1，求函数的解析表达式并作出函数的图象．（2）把函数 y=|x-1|分区间表达，并作出函数的图象．

6．课标注重用集合语言描述、刻划函数的性质——函数的单调性 ：例6：（课标）能否说，函数在实数集上是减函数？例7：（课标）如果函数是R上的增函数，求证：时，在R上也是增函数．

例8：（课标）研究函数 的性质，并作出它的图象． 7．函数的奇偶性 ——数形结合思想方法的运用，研究的基本思维方法．研究的基本内容是：定义域、值域、图象、作图的过程与方法、单调性、奇偶性、变化趋势、变化速度等．

研究的方法是：从定义出发，确定值域，结合图象，根据相关知识，全面表述． 学习函数的单调性、奇偶性的目的、意义？

2．2一次函数和二次函数 【课标要求】 1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2．掌握用配方法研究二次函数的基本方法，会用待定系数法求未知函数． 3．用一次函数和二次函数这两个重要的函数模型，学习研究函数性质的一般方法．

4．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，进一步理解数形结合的思想方法． 【大纲要求】 1．利用二次函数的图象，明确抛物线与轴位置关系的三种情况，掌握一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系． 2．掌握一元二次不等式的解法．

对比分析 1．系统研究一次函数的性质：例1：（课标）求一次函数的y=-2x+3斜率、在y轴上的截距，并作出其图象． 2．以二次函数为载体，学习研究函数的一般方法．例2：（课标）研究二次函数f（x）=－x2－4x+3 的性质和图象．

例3：（课标）求下列函数的定义域： 例4：（大纲）x是什么数时，式子有意义？

3．强化了用图象直观理解和研究函数的性质 ：例5：（课标）已知函数f（x）=x2－2x－3，不计算函数值，试比较f（-2）和f（4），f（-3）和f（3）的大小．例6：（大纲）画出函数f(x)= x2－5x+6的图象，并根据图象说出它的单调区间，以及在各个单调区间上，函数是增函数还是减函数．

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