6.2 树 图与最小生成树

1. 6.2 树图与最小生成树 • 一般研究无向图 • 树图：倒置的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下 • 多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分类学、组织结构等都是典型的树图

2. 6.2.1 树的定义及其性质 • 任两点之间有且只有一条路径的图称为树(tree)，记为T 树的性质： • 最少边的连通子图，树中必不存在回路 • 任何树必存在次数为 1 的点 • 具有 n个节点的树 T 的边恰好为n1 条，反之，任何有n个节点， n1 条边的连通图必是一棵树 6.2.2 图的生成树 • 树 T 是连通图 G 的生成树(spanning tree)，若 T 是 G的子图且包含图 G 的所有的节点；包含图 G 中部分指定节点的树称为 steiner tree • 每个节点有唯一标号的图称为标记图，标记图的生成树称为标记树(labeled tree) Caylay 定理：n (2)个节点，有nn2个不同的标记树

3. 6.2.2图的生成树 • 如何找到一棵生成树 • 深探法(depth first search)：任选一点标记为 0 点开始搜索，选一条未标记的边走到下一点，该点标记为 1，将走过的边标记；假设已标记到 i点，总是从最新标记的点向下搜索，若从 i点无法向下标记，即与 i点相关联的边都已标记或相邻节点都已标记，则退回到i1 点继续搜索，直到所有点都被标记 • 广探法(breadth first search)：是一种有层级结构的搜索，一般得到的是树形图

4. 6.2.3最小生成树 • 有n 个乡村，各村间道路的长度是已知的，如何敷设光缆线路使 n 个乡村连通且总长度最短 • 显然，这要求在已知边长度的网路图中找最小生成树 最小生成树的算法： • Kruskal算法：将图中所有边按权值从小到大排列，依次选所剩最小的边加入边集 T，只要不和前面加入的边构成回路，直到 T 中有 n1 条边，则 T 是最小生成树 • Kruskal算法基于下述定理 定理 3指定图中任一点vi，如果 vj是距 vi 最近的相邻节点，则关联边 eij 必在某个最小生成树中。 推论 将网路中的节点划分为两个不相交的集合V1和V2，V2=VV1，则V1和V2间权值最小的边必定在某个最小生成树中。

5. 6.2.3最小生成树 • 最小生成树不一定唯一 • 定理 3 推论是一个构造性定理，它指示了找最小生成树的有效算法 • Prim算法：不需要对边权排序，即可以直接在网路图上操作，也可以在边权矩阵上操作，后者适合计算机运算 边权矩阵上的 Prim 算法： 1、根据网路写出边权矩阵，两点间若没有边，则用表示； 2、从 v1开始标记，在第一行打  ，划去第一列； 3、从所有打  的行中找出尚未划掉的最小元素，对该元素画圈，划掉该元素所在列，与该列数对应的行打  ； 4、若所有列都划掉，则已找到最小生成树(所有画圈元素所对应的边)；否则，返回第 3 步。 • 该算法中，打  行对应的节点在 V1中，未划去的列在 V2中

6. 6.2.3最小生成树       • Prim算法是多项式算法 • Prim算法可以求最大生成树 • 网路的边权可以有多种解释，如效率 • 次数受限的最小生成树—尚无有效算法 • 最小 Steiner 树—尚无有效算法