Matematyka Ekonomia Finanse i Rachunkowość Semestr 1 i 2

1. MatematykaEkonomiaFinanse i RachunkowośćSemestr 1 i 2

2. Algebra liniowaII. Analiza matematyczna1. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 2. Rachunek całkowy 3. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennychIII. Rachunek prawdopodobieństwa

3. II. Analiza matematyczna • Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej • Rachunek całkowy • Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

4. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.1 Ciągi liczbowe. Granica ciągu Ciąg liczbowy to ponumerowany i uporządkowany zbiór liczb. Oznaczenia ciągu: (an); (a1, a2, a3, a4, …); {an} Przykłady: Ciąg arytmetyczny (ao+nr) (ao, ao+r, ao+2r, …), np. (7, 10, 13, 16, …) Ciąg geometryczny (aoqn) (ao, aoq, aoq2, aoq3 , …), np. (1, 3, 9, 27, 81, …) (n) (1, 2, 3, 4, 5, …) (1/n) (1, ½, 1/3, ¼, …) {(-1)n} (-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, …) Stały (c) (c, c, c, c, …) Def. II.1 (granicy ciągu liczbowego) Liczba g jest granicą ciągu (an), co zapisujemy: jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu g na osi liczbowej leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu

5. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.1 Ciągi liczbowe. Granica ciągu Czy wszystkie ciągi mają granicę w sensie definicji II.1? Nie Ciąg arytmetyczny (ao+nr) (ao, ao+r, ao+2r, …), np. (7, 10, 13, 16, …) Ciąg geometryczny (aoqn) (ao, aoq, aoq2, aoq3 …), np. (1, 3, 9, 27, 81, …) (n) (1, 2, 3, 4, 5, …) {(-1)n} (-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, …) Df. II.2 Ciąg liczbowy posiadający granicę nazywamy ciągiem zbieżnym Obliczanie granicy zbieżnego ciągu liczbowego W prostych przypadkach łatwo jest „zgadnąć” ile wynosi granica ciągu: (1/n) (1, ½, 1/3, ¼, …) Stały (c) (c, c, c, c, …)

6. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.1 Ciągi liczbowe. Granica ciągu Tw. II.1 (o operacjach arytmetycznych na ciągach) Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne i lim an=a, lim bn=b, to także ciągi (an+bn), (an-bn), (anbn), (an/bn), są zbieżne i posiadają granice odpowiednio: Przykłady: 1. 2.

7. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.1 Ciągi liczbowe. Granica ciągu Tw. II.2 (o trzech ciągach) Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne, lim an= lim bn=g, i an≤cn≤ bn dla prawie wszystkich n, to lim cn=g Przykład: obliczyć granicę ciągu Należy znaleźć dwa ciągi (an) i (bn), spełniające założenia twierdzenia II.2 . Jako (an) można wziąć ciąg stały o an=4. lim an=4 Jako (bn) weźmy ciąg bn = Łatwo policzyć, że lim bn=4. Zatem spełnione jest pierwsze założenie, że lim an= lim bn. Teraz trzeba sprawdzić, czy spełnione jest także drugie założenie, że an≤cn≤ bn dla prawie wszystkich n czyli czy Zatem lim cn=4. Tw. II.3 (o zachowaniu nierówności) Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne i lim an=a, lim bn=boraz an≤bn dla prawie wszystkich n, to a ≤ b

8. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.1 Ciągi liczbowe. Granica ciągu Tw. II.4 Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny Przykład zastosowania: sprawdzić, czy ciąg jest zbieżny. Można udowodnić, ciąg ten jest rosnący i ograniczony z góry, jest więc zbieżny. e – liczba Eulera e≈2,72

9. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Przypomnienie podstawowych pojęć dotyczących funkcji Funkcja jednej zmiennej y= f(x). x – argument funkcji y – wartość funkcji Funkcje można przedstawiać wzorem lub wykresem Przykłady funkcji:

10. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Przypomnienie podstawowych pojęć dotyczących funkcji Dziedzina D (zbiór argumentów) i zbiór wartości funkcji Y Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich liczb, które można wstawić do wzoru funkcji Zbiór wartości funkcji to zbiór liczb, które można otrzymać ze wzoru funkcji Przykłady: y=f(x) D Y

11. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Przypomnienie podstawowych pojęć dotyczących funkcji • Niektóre funkcje mogą posiadać pewne charakterystyczne cechy i być: • Monotoniczne (nigdy nie malejące lub nigdy nie rosnące) • Ściśle monotoniczne (stale rosnące lub stale malejące) np. y=7x, y=log x • Okresowe f(x+na)=f(x) np. funkcje trygonometryczne y=sinx, y=tgx • Parzyste f(-x)=f(x) np. y=x2, y=cosx • Nieparzyste f(-x)=-f(x) np. y=3x, y=sinx II.1.2 Granica funkcji Df. II.3 (granica funkcji wg Heinego) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(x) w punkciexo, jeżeli dla każdego ciągu liczbowego {xn} argumentów zbieżnego do xo ciąg wartości funkcji {f(xn)} jest zbieżny do g Powyższą definicję można rozszerzyć na przypadki tzw. granic niewłaściwych

12. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.2 Granica funkcji Przykłady: Obliczyć granicę funkcji f(x)=c w punkcie xo. Weźmy dowolny ciąg {xn} argumentów zbieżny do xo. Dla każdego n f(xn)=c. lim f(xn) = lim c = c, zatem 2. Obliczyć granicę funkcji w punkcie xo=0. Weźmy dowolny ciąg {xn} argumentów zbieżny do 0. Patrząc na wykres funkcji f(x) można zobaczyć, że Zatem

13. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.2 Granica funkcji 3. Obliczyć granicę funkcji w punkcie xo=2. Weźmy dwa ciągi argumentów zbieżnych do xo=2: pierwszy przez wartości mniejsze od 2, a drugi przez wartości większe od 2, co zapisujemy Z wykresu funkcji widać, że co można zapisać Funkcja f(x) ma dwie różne granice w punkcie 2: lewostronną równą 1 i prawostronną równą 4. Nie ma ona zatem (jednoznacznej) granicy w tym punkcie w sensie definicji II.3.

14. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.2 Granica funkcji Z definicji granicy funkcji wg Heinego wynika, że tw. II.1 o operacjach arytmetycznych na ciągach przenosi się na granice funkcji: Tw. II.5 Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają granice w punkcie xo, to także funkcje f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x) oraz f(x)/g(x) mają granice w punkcie xo równe odpowiednio: Tw. II.6 (o granicy funkcji złożonej) Jeżeli Przykład: obliczyć

15. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.3 Ciągłość funkcji • Df. II.4 (ciągłość funkcji wg Heinego) • Funkcja f(x) jest ciągła w punkciejeżeli • Przykłady: • Funkcje ciągłe na całej osi liczbowej: • Funkcja stała • Wielomian • sin x, cos x, ax(dla a>0), ex, … • Funkcje ciągłe w swojej dziedzinie (obszarze określoności): • tg x, ctg x, 1/x, xx, (sin x)/x, …

16. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.3 Ciągłość funkcji Z tw. II.5 wynika natychmiast Tw. II.6 Suma, różnica, iloczyn i iloraz (z zastrzeżeniem) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Tw. II.7 (o ciągłości funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie xo i funkcja h(y) jest ciągła w punkcie yo=f(xo) to funkcja złożona h[f(x)] jest ciągła w punkcie xo. Przykład: f(x) = sin(cos x) jest ciągła w każdym punkcie Tw. II.8 (o ciągłości funkcji odwrotnej) Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej rosnącej jest ciągła i rosnąca. Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej malejącej jest ciągła i malejąca.

17. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Dygresja – funkcje odwrotne • Df. II.5 (funkcji odwrotnej) • Funkcja f(x) odwracalna jeżeli istnieje funkcja g(y) taka, że g[f(x)] = xoraz f[g(y)] = y. • Funkcję g(y) nazywamy funkcją odwrotną do f(x). • Tw. II.9 (o istnieniu funkcji odwrotnej) • Funkcja f(x) posiada funkcję odwrotną g(y) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) jest różnowartościowa. • Przykłady: f(x) funkcja odwrotna • y=axx=y/a • y=exx=ln y • y=ax(a>0)x=logay • Jeżeli funkcja nie jest różnowartościowa w całej dziedzinie, można mimo to znaleźć funkcję odwrotną do f(x) dla podzbioru dziedziny funkcji f(x). • y=x2 x≥0 • y=xnx≥0 • y=sin x -π/2≤x<π/2x=arcsiny • y=cosx 0≤x<πx=arccosy • y=tgx - π/2≤x<π/2x=arctgy • y=ctg x 0≤x<πx=arcctgy

18. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.3 Ciągłość funkcji • Z przykładów i tw. II.6-II.8 wynika, że bardzo dużo funkcji jest ciągłych. • Df. II.6 (funkcji elementarnych) • Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje takie jak stała, y=x, funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne i funkcje odwrotne do nich oraz suma, różnica, iloczyn, iloraz, potęgowanie i złożenie tych funkcji. • Tw. II.7 • Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach • Czy w takim razie istnieją w ogóle funkcje nie elementarne? Tak. Są to funkcje definiowane • przedziałami („wąsami”) • Szeregami nieskończonymi • Wzorami całkowymi • itp. • Funkcje nie elementarne mogą być ciągłe, ale nie muszą. Trzeba to za każdym razem sprawdzać.

19. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.3 Ciągłość funkcji Przykłady sprawdzania ciągłości funkcji nie elementarnych zdefiniowanych w przedziałach. Sprawdźmy ciągłość obu funkcji w punkcie przejścia z jednego przedziału do drugiego tj. xo=1 funkcja jest ciągła na całej osi x funkcja jest nieciągłą w punkcie xo=1 Jak najprościej odróżnić funkcję ciągłą od nieciągłej? Wykres funkcji ciągłej można narysować bez odrywania ołówka od papieru Tw. II.8 Jeżeli funkcja h jest ciągła, to Przykład:

20. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.4 Pochodna funkcji Oznaczenia: y=f(x) – funkcja jednej zmiennej x – zmienna niezależna y – wartość funkcji f(x) Δx – przyrost zmiennej niezależnej (Δx<0 lub Δx>0, ale Δx ≠ 0 Δy= Δf – przyrost wartości funkcji Def. II.7 (ilorazu różnicowego) Iloraz różnicowy funkcji f(x) dla przyrostu Δx: Przykład: y=f(x) =x2

21. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.4 Pochodna funkcji Iloraz różnicowy to tangens kąta nachylenia siecznej do wykresu funkcji f(x) Znaczenie praktyczne: Niech zmienną niezależną x jest czas t, a funkcją f(x) – droga s(t). Iloraz różnicowy funkcji s(t) dla przyrostu Δt to prędkość średnia w odcinku czasu Δt

22. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.4 Pochodna funkcji Def. II.8 (pochodnej funkcji) Pochodna f’(x) funkcji f(x) to granica ilorazu różnicowego przy Δx dążącym do 0 Pochodna funkcji f(x) to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f(x)

23. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.4 Pochodna funkcji Przykład poprzedni: y=f(x) =x2 Znaczenie praktyczne: Niech zmienną niezależną x jest czas t, a funkcją f(x) – droga s(t). Pochodna funkcji s(t) dla przyrostu Δt to prędkość chwilowa w chwili t. Oznaczenia pochodnej funkcji y=f(x)

24. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.5 Obliczanie pochodnej funkcji (różniczkowanie) W najprostszych przypadkach można pochodną obliczać wprost z definicji 39. Przykład: funkcja stała f(x)=c Podobnie można obliczyć z definicji pochodne innych funkcji: funkcja pochodna Takie proste funkcje trafiają się rzadko. Na ogół trzeba korzystać z twierdzeń

25. II.1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej II.1.5 Obliczanie pochodnej funkcji (różniczkowanie) Tw. II.1 (o pochodnej operacji arytmetycznych) Jeżeli funkcje f(x) i g(x) posiadają pochodne f’(x) i g’(x), to: [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x) [f(x) g(x)]’ = f’(x)g’(x) [f(x)g(x)]’ = f’(x) g(x)+f(x) g’(x) Jeżeli g(x)≠0, to Przykłady: funkcja pochodna

26. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej można obliczyć pochodne kolejnych funkcji: funkcja pochodna warunki

27. Tw. II.2 (o pochodnej funkcji złożonej y=f(x)) Jeżeli funkcje u=h(x) i y=f(u) posiadają pochodne h’(x) i f’(u), to:funkcja złożonay=f[h(x)] ma pochodną y’=f’(u) h’(x), gdzie w miejsce u trzeba podstawić h(x). Przykłady: y = sin 10x y = = sin u, u=10 x y’ = cos u * 10 = 10 cos 10x Tw. 24 można stosować do funkcji wielokrotnie złożonej Przykład:

28. II.1.3 Pochodne wyższych rzędów • Def. II.3 (pochodnych wyższych rzędów) • Druga pochodna f’’(x) funkcji f(x) to pochodna pierwszej pochodnej • f’’(x)=[f’(x)]’ • Pochodna n-tego rzędu do pochodna pochodnej o jeden rząd niższej • f(n)(x)=[f(n-1)(x)]’ • Przykłady: • f(x)=xex Obliczyć f’’(x) • f’(x)=ex +xex =(x+1)ex ; f’’(x)= ex + (x+1)ex =(x+2)ex • f(x)=3x3+7x2-4x+8 Obliczyć f(4)(x) • f’(x)=9x2+7x-4; f’’(x)=18x+7; f’’’(x)=18; f(4)(x) =0

29. II.1.4 Analiza funkcji w oparciu o pochodne II. 1. 4. 1 Przyrost lub malenie funkcji – znak pierwszej pochodnej f’(x)>0 - funkcja rośnie f’(x)<0 - funkcja maleje f’(x)=0 - funkcja jest stała albo funkcja ma w tym punkcie maksimum albo funkcja ma w tym punkcie minimum

30. II. 1. 4. 2 Ekstremum funkcji (lokalne) Ekstremum to wspólna nazwa dla minimum i maksimum. Tw. II.3 (Fermata) – warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli funkcja y=f(x) ma w pewnym punkcie x0 ekstremum, to f’(x0)=0 Ale niekoniecznie odwrotnie: jeżeli f’(x0)=0, to funkcja może w tym miejscu mieć ekstremum, ale nie musi (np. funkcja stała na pewnym odcinku) Tw. II.4 (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli f’(x0)=0 i pochodna zmienia znak w x0 , to funkcja ma ekstremum w x0 . Dokładniej: Jeżeli dla x< x0f’(x)<0, f’(x0)=0, a dla x> x0f’(x)>0, to funkcja ma minimum w x0 Jeżeli dla x< x0f’(x)>0, f’(x0)=0, a dla x> x0f’(x)<0, to funkcja ma maksimum w x0 Twierdzenie oczywiste, ale na ogół niewygodne do stosowania

31. Tw. II.5 (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum) postać uproszczona Jeżeli f’(x0)=0 i f’’(x0)≠0 , to funkcja ma ekstremum w x0 . Dokładniej: Jeżeli f’(x0)=0 i f’’(x0)>0 , to funkcja ma minimum w x0 Jeżeli f’(x0)=0 i f’’(x0)<0 , to funkcja ma maksimum w x0 Twierdzenie nieoczywiste, ale bardzo wygodne do stosowania Przykład: f(x)=x2-3x+4 f’(x)= 2x-3 f’(x)=0 dla 2x=3 czyli x0= 1,5 f’’(x0)=2>0 Funkcja ma minimum w punkcie x0= 1,5

32. II. 1. 4. 3 Wklęsłość i wypukłość funkcji Def. II.4 (pochodnych wyższych rzędów) Gdy druga pochodna f’’(x)>0 dla a<x<b, to mówimy, żefunkcja f(x) jest wypukła na odcinku (a,b) Gdy druga pochodna f’’(x)<0 dla a<x<b, to mówimy, żefunkcja f(x) jest wklęsła na odcinku (a,b)