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Pattern Recognition. Lez.13: Unsupervised classification: clustering gerarchico. Clustering per “dicotomie successive”. Quando una popolazione va divisa in sottogruppi? Quando al suo interno non c’è sufficiente omogeneità.
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Pattern Recognition Lez.13: Unsupervised classification: clustering gerarchico
Clustering per “dicotomie successive” • Quando una popolazione va divisa in sottogruppi? Quando al suo interno non c’è sufficiente omogeneità. • Questa idea è alla base di un altro approccio al clustering, detto clustering gerarchico. • L’idea si concretizza in un paio di algoritmi abbastanza facili da descrivere e implementare.
La popolazione e la matrice delle distanze • Possiamo didatticamente presentare il clustering gerarchico assumendo che siano date una popolazione di N record da ripartire e una matrice D, di N x N elementi in cui ciascun elemento Dij riporta la “distanza” tra il record i-esimo e il record j-esimo. • Attenzione non sempre nelle reali implementazioni tale matrice è calcolata per intero (per ragioni di efficienza o di limiti di memoria).
Un esempio “saccheggiato” da Internet Distanze in chilometri tra città italiane
Struttura di ogni algoritmo di clustering gerarchico Passo 0: ogni record è l’unico rappresentante di una classe che lo contiene. Ci sono quinid all’inizio N classi ciascuna con un solo elemento. Passo 1: fondere assieme le due classi che sono le più vicine possibili secondo la tabella delle distanze. Passo 2: ri-calcolare le distanze tra la nuova classe, nata dalla fusione, e le altre classi. I passi 1 e 2 vanno ripetuti alternativamente fino a che tutti i record non sono stati fusi in una unica mega classe onnicomprensiva.
Un unico “punto sottile”: passo 2 • Se le distanze iniziali tra record sono ben definite cosa sono le distanze tra “classi”? • Non esiste un unico approccio alla distanza tra “cluster” e nel contesto del clustering gerarchico si parla di due approcci: • Single-linkage; • Complete-linkage; • Average-linkage;
Single-linkage (metodo della connessione o della minima distanza) • La distanza tra due gruppi di record è definita come la minima distanza osservata tra tutte le coppie formate da un elemento del primo gruppo e un elemento del secondo gruppo. La distanza è posta eguale alla distanza tra la coppia di record più vicini
Complete-linkage (metodo del diametro o della massima distanza) • La distanza tra due gruppi di record è definita come la massima distanza osservata tra tutte le coppie formate da un elemento del primo gruppo e un elemento del secondo gruppo. La distanza è posta eguale alla distanza tra la coppia di record più lontani
Average-linkage (metodo della distanza media) • La distanza tra due gruppi di record è definita come la distanza media osservata tra tutte le coppie formate da un elemento del primo gruppo e un elemento del secondo gruppo. Variante: considerare la mediana invece della media.
Simuliamo il single-linkage sulle città italiane Prima fusione
Simuliamo il single-linkage sulle città italiane Seconda fusione
Simuliamo il single-linkage sulle città italiane Terza fusione
Simuliamo il single-linkage sulle città italiane Quarta fusione
Simuliamo il single-linkage sulle città italiane Quinta fusione La sesta fusione ovviamente forma un unico blocco
La sequenza L’”albero” delle fusioni è una guida alla “partizione” in classi. Tagliando l’albero a vari livelli si possono ottenere classi più fini o più generali.
Pro e Contro • PRO • Algoritmo facile e non richiede analisi matematica complessa per la convergenza e per la ottimizzazione; • L’albero “spiega” le relazioni tra cluster ed è facile per un esperto (in generale) interpretare i risultati dell’algoritmo; • CONTRO • Quale livello di “taglio” scegliere per formare le classi? • Forte dipendenza dalla misura di similarità. • Impossibile gestire le similarità “fuzzy”. • Complessità elevata (la matrice iniziale e le successive matrici richiedono O(N2) passi per il loro aggiornamento. • (Antipole?)
