1 / 24

Průsečík přímky a roviny

Průsečík přímky a roviny. 1. Rovina či přímka ve speciálních polohách vzhledem k průmětnám 1.1 Rovina je kolmá k jedné z průměten (promítací rovina)

mary
Download Presentation

Průsečík přímky a roviny

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Průsečík přímky a roviny 1. Rovina či přímka ve speciálních polohách vzhledem k průmětnám 1.1 Rovina je kolmá k jedné z průměten (promítací rovina) Je-li rovina  kolmá k půdorysně (nárysně), leží první (druhé) průměty všech jejích bodů na její půdorysné (nárysné) stopě. Potom první (druhý) průmět R1 (R2) průsečíku R přímky a s rovinou  je průsečíkem prvního (druhého) průmětu a1 (a2) dané přímky a apůdorysné (nárysné) stopy roviny . Druhý (první) průmět R2 (R1) průsečíku R leží na ordinále procházející průmětem R1 (R2) a na druhém (prvním) průmětu a2 (a1) dané přímky a .

  2. 1.2 Rovina je rovnoběžná s jednou z průměten (promítací rovina) Je-li rovina  rovnoběžná s půdorysnou (nárysnou), leží druhé (první) průměty všech jejích bodů na její nárysné (půdorysné) stopě. Potom druhý (první) průmět R2 (R1) průsečíku R přímky a s rovinou  je průsečíkem druhého (prvního) průmětu a2 (a1) dané přímky a anárysné (půdorysné) stopy roviny . První(druhý) průmět R1 (R2) průsečíku R leží na ordinále procházející průmětem R2 (R1)a na prvním (druhém) průmětu a1 (a2) dané přímky a .

  3. 1.3 Přímka je kolmá k jedné z průměten (promítací přímka) Je-li přímka a kolmák půdorysně (nárysně), leží první (druhé) průměty všech jejích bodů v jejím prvním (druhém) průmětu. A to z toho důvodu, že přímka a je promítací přímka a ta se ve svém prvním (druhém) průmětu zobrazí do jediného bodu. Ten musí být tedy i obrazem průsečíku R (pokud existuje) přímky a s rovinou . Odtud označme R1  a1 (R2  a2). Druhý (První) průmět R2 (R1) průsečíku R sestrojíme užitím např. jedné z hlavních přímek. Zvolíme-li horizontální hlavní přímku, pak její první (druhý) průmět je rovnoběžný s půdorysnou stopou p1 roviny  (se základnicí y12) a prochází bodem R1 (R2). Průsečíkem prvního (druhého) průmětu h1 (h2) horizontální přímky h se základnicí y12 (s nárysnou stopou n2 ) je první (druhý) průmět N1 (N2) nárysného stopníku N. Chybějící průmět N2 (N1) nárysného stopníku sestrojíme jako průsečík ordinály procházející bodem N1 (N2) a nárysné stopy n2 roviny  (základnice y12). Dále zkonstruujeme druhý (první) průmět h2 (h1) horizontální přímky h jako rovnoběžku sezákladnicí y12 (s půdorysnou stopou p1 ). Hledaný průmět R2 (R1) je průsečíkem druhých (prvních) průmětů a2, h2 (a1, h1) přímek a, h.

  4. 2. Rovina i přímka jsou v obecné poloze vzhledem k průmětnám Hledáme-li průsečík dané přímky a a obecné roviny  , užíváme tzv. krycí přímky. Přitom krycí přímkou rozumíme přímku k ležící v dané rovině , jejíž jeden průmět splývá s průmětem dané přímky a. Po zavedení krycí přímky máme dvě přímky – přímku k ležící v dané rovině  a přímku a různoběžnou s rovinou . Jejich průsečík R je právě bodem, ve kterém přímka a protíná rovinu .

  5. Nalezení průsečíku přímky a roviny Zvolme krycí přímku k tak, že a1 k1. Potom můžeme najít první průměty stopníků přímky k (neboť přímka k leží v rovině ), a to následujícím způsobem N1  k1  y12, P1  k1  p1. Potom dohledáme jejich druhé průměty. Na ordinále procházející průmětem N1 a na nárysné stopě n2 roviny  leží druhý průmět N2 nárysného stopníku N. na ordinále procházející průmětem P1 a na základnici y12 leží druhý průmět P2 půdorysného stopníku P. Druhéprůměty stopníků leží na druhém průmětu k2 krycí přímky k. Je-li sestrojen druhý průmět k2 krycí přímky k, je také nalezen druhý průmět R2 průsečíku R přímky a s rovinou  jako průsečíkdruhých průmětů a2 a k2, přímek a a k. První průmět R1 průsečíku R leží na ordinále procházející bodem R2 a na prvním průmětu a1 přímky a . R je bod, ve kterém přímka a protíná rovinu .

  6. Příklad 10: Sestrojte průsečík přímky b s danou rovinou .

  7. Promítání dvojice rovin Dvě roviny ve trojrozměrném euklidovském prostoru mohou být rovnoběžné nebo různoběžné. 1. Dvě rovnoběžné roviny Ze stereometrie víme, že jsou-li dvě rovnoběžné roviny α // βproťaty třetí rovinou γ, která je s nimi různoběžná, pak je třetí rovina γprotíná ve dvou rovnoběžných průsečnicích. Představíme-li si, že v Mongeově promítání je třetí rovinouγjedna z průměten, pak půdorysna (nárysna) protíná rovnoběžné roviny α // βv půdorysných (nárysných) stopách (pokud existují), které jsou navzájem rovnoběžné.

  8. Příklad 10: Daným bodem A veďte rovinu α, která je rovnoběžná s rovinou β(pβ, nβ).

  9. 2. Dvě různoběžné roviny Nejsou-li dvě roviny α, β v trojrozměrném euklidovském prostoru rovnoběžné, protínají se ve společné průsečnici. Nalezení průsečnice dvou různoběžných rovin Průsečnice r dvou různoběžných rovin α, β leží v obou rovinách a je určena dvěma různými body, které leží současně v obou rovinách. Jejími stopníky jsou body, ve kterých se protínají stopy obou různoběžných rovin α, β, tj. P  pα∩ pβ, N  nα∩ nβ (pokud tyto průsečíky existují).

  10. Příklad 11: Sestrojte průsečnici a dvou různoběžných rovin α, β.

  11. Rovinný řez hranolů a jehlanů Rovinným řezem hranolu rovinou, která není rovnoběžná s žádnou hranou hranolu, je n-úhelník, jehož jednotlivé strany jsou průsečnicemi stěn hranolu s rovinou řezu. Rovinným řezem jehlanu rovinou, která neprochází vrcholem jehlanu, ani není rovnoběžná s rovinou řídicího n-úhelníku jehlanu, je n-úhelník, jehož jednotlivé vrcholy jsou průsečíky hran daného jehlanu s rovinou řezu.

  12. V Mongeově promítání rozlišujeme 2 případy konstrukcí řezu těles. Ty jsou závislé na zvolené rovině řezu. Rovina řezu může být 1. promítací, 2. obecná. 1. Řez tělesa promítací rovinou V případě, kdy je za rovinu řezu zadána promítací rovina, zobrazí se jeden pohled na řez jako úsečka. Např. v úloze, ve které hledáme řez tělesa půdorysně promítací rovinou, je prvním průmětem řezu úsečka sestrojená jako „průsečnice“ půdorysné stopy půdorysně promítací roviny a prvního průmětu tělesa. Vrcholy druhého průmětu řezu leží na ordinálách a na příslušných hranách tělesa. Viz příklad 12.

  13. Příklad 12: Zobrazte průměty kosého čtyřbokého hranolu ABCDEFGH se čtvercovou podstavou ABCD ležící v nárysně, je-li dáno: vrcholy B[0, -62, 57], D[0, -23, 28] podstavy ABCD a vrchol F[62, 5, 57] podstavy EFGH. Sestrojte řez kosého hranolu promítací rovinou  (12, 14, +∞).

  14. Příklad 13: Zobrazte průměty pravidelného šestibokého jehlanu ABCDEFV s podstavou ABCDEF ležící v půdorysně, je-li dán vrchol podstavy F[14, 38, 0] a vrchol jehlanu V[49, 29, 75]. Sestrojte řez jehlanu promítací rovinou  (+∞, -46, 27).

  15. 2. Řez tělesa obecnou rovinou V případě, kdy sestrojujeme řez tělesa obecnou rovinou, užíváme k nalezení průmětů prvního bodu řezu krycí přímky. Tj. zvolíme jednu (vhodnou) hranu tělesa, zakryjeme ji krycí přímkou a pomocí úlohy „nalezení průsečíku přímky s rovinou“ sestrojíme bod řezu na zvolené hraně. Zbývající body řezu na dalších hranách tělesa sestrojíme za pomoci tzv. osové afinity (u hranolů) či perspektivní kolineace (u jehlanů) s osou afinity v půdorysné stopě. Chybějící druhé průměty bodů řezu doplníme v rovině řezu např. pomocí hlavních přímek. Nakonec určíme viditelnost stran řezu.

  16. Kolineace v E3 Definice 1: Nechť ρ a ρ’ jsou dvě různé vlastní roviny a nechť S je takový bod trojrozměrného eukleidovského prostoru E3, který neleží ani v rovině ρ, ani v rovině ρ’. Pak zobrazení f : ρ→ρ’, ve kterém je obrazem libovolného bodu A ρ, kde A≠ S, bod A’ definovaný vztahem A’ = SA∩ρ’, se nazývá kolineace mezi rovinami ρa ρ’. Poznámka: Body A, A’ nazýváme kolineárně sdružené body. Středu promítání S říkáme střed kolineace, přímce o = ρ∩ρ’ osa kolineace. Střed i osa kolineace mohou být vlastní i nevlastní.

  17. Definice 2: Perspektivní kolineace mezi rovinami ρa ρ’ je kolineace s vlastní osou o a s vlastním středem S. Definice 3: Osová afinita mezi rovinami ρa ρ’ je kolineace s vlastní osou o a s nevlastním středem S∞.

  18. Středovou (perspektivní) kolineaci lze s výhodou užít při konstrukci řezu jehlanu rovinou ρ’, která není vrcholová, ani rovnoběžná s rovinou ρ řídicíhon-úhelníku. Ve středové kolineaci určené hlavním vrcholem jehlanu a rovinami ρa ρ’ jsou řídicí n-úhelník a řez kolineárně sdruženými útvary.

  19. Osovou afinitu lze využít při konstrukci řezu hranolu rovinou ρ’, která není rovnoběžná s žádnou hranou hranolu, ani s rovinou ρ řídicího n-úhelníku. Řezem je n-úhelník, který je v afinitě roviny ρ’ na ρ určené směrem pobočných hran, afinně sdružený s řídicím n-úhelníkem hranolu.

  20. Příklad 14: Zobrazte průměty kosého čtyřbokého hranolu ABCDEFGH se čtvercovou podstavou ABCD ležící v půdorysně, je-li dáno: vrcholy A[30, 51, 0], D[68, 34, 0] podstavy ABCD a vrchol H[68, -68, 86] podstavy EFGH. Sestrojte řez kosého hranolu rovinou  (57, -48, 56).

  21. Příklad 15: Zobrazte průměty trojbokého jehlanu ABCV s podstavou rovnostranného trojúhelníka ABC ležící v půdorysně, jsou-li dány vrcholy A[60, -17, 0], C[83, 50, 0] podstavy jehlanu a výška v = 75 jehlanu. Sestrojte řez jehlanu rovinou  (90, -82, 55). Poznámka: Pro vrchol B podstavy jehlanu volte xB <xA .

More Related